ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Κώστας Παππέλης · #21

Μόνο εγώ βλέπω πως υπάρχει πρόβλημα στη λύση στο 3το θέμα της Γ Λυκείου??

Εάν έχουμε δύο ακεραίους με ίδια απόλυτη τιμή η πρώτη ανισότητα δεν ισχύει!!!

#22

Κώστα έχεις δίκιο. Στην λύση που έκανα πιο πάνω, το έλαβα υπόψη. Μάλλον η επιτροπή αντί «τετραγώνων διαφορετικών ακεραίων» σκεφτόταν «τετραγώνων διαφορετικών φυσικών».

simantiris j. · #23

Kαλημέρα

!Κατά τη γνώμη μου τα θέματα της Α΄ήταν πολύ καλά όχι μόνο γιατί ήταν πρωτότυπα και της πρέπουσας δυσκολίας αλλά και επειδή υπήρχε αναβάθμιση της θεωρίας αριθμών με 1+1/2

θέματα σε πείσμα της γενικότερης υποβάθμισης της στα σχολεία.

Κώστας Παππέλης · #24

Δημήτρη τώρα την είδα τη λύση με συγχωρείς. Προφανώς έχεις δίκιο και πρέπει να αντικατασταθεί η λύση στις επίσημες με τη δική σου!

gavrilos · #25

Καλησπέρα.Καλά αποτελέσματα σε όσους συμμετείχαν.Συγχαρητήρια στην επιτροπή για τα θέματα.Στη Β' Λυκείου όπου έδωσα,τα θέματα ήταν όπως θα έπρεπε ως προς το βαθμό δυσκολίας.Η διαβάθμιση ήταν ωστόσο λίγο ατυχής.Το 2ο θέμα υποθέτω πως θα δυσκόλεψε αρκετά όσους δεν έχουν ασχοληθεί παραπάνω με διαγωνισμούς(κατά τα άλλα ήταν πολύ ωραίο).Προσωπικά,θα ήθελα μια δυσκολότερη γεωμετρία.Καλά αποτελέσματα και πάλι!

#26

Οι περιπτώσεις στο Θέμα 4 της Α λυκείου της επίσημης λύσης μπορούν να αποφευχθούν αν παρατηρήσει κανείς ότι ουσιαστικά η (3) δίνει

$x-w=2\, +$ πολ/σιο του 10.

κι άρα αναγκαστικά θα είναι x-w=2

, αφού $x-w\in \{1,2,3\}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

simantiris j. · #27

Ας δούμε και μια άλλη λύση για το 4ο της Α΄λυκείου:
Αφαιρώντας τις 2 σχέσεις που προκύπτουν παίρνουμε $100(x+y+z+w)-2=999x+90y-90z-999w\Rightarrow x-w\equiv 2(mod10)\Rightarrow x=w+2\Rightarrow w\leq 7$ αφού x-w<10

.
Η εξίσωση γίνεται
$999(x-w)+90(y-z)=100(x+w+y+z)-2\Rightarrow 200+9(y-z)=10(y+z+2w+2)\Rightarrow 10\mid 9(y-z)\Rightarrow y\equiv z(mod10)\Rightarrow y=z$ πάλι αφού y-z<10

.
Tέλος η σχέση γίνεται $2y+2w+2=20\Rightarrow y+w=9$
Παίρνοντας τώρα 7 τιμές για το

βρίσκουμε ότι ο μόνος αριθμός που επαληθεύει τις αρχικές σχέσεις είναι ο 6554

ΛΕΩΝΙΔΑΣ · #28

Καλησπέρα, έδινα στην Γ' Λυκειου. Απλά να παρατηρήσω οτι και εγώ αλλά και δύο κορυφαίοι Μαθηματικοί στο εξεταστικό κέντρο που έδινα, κάναμε ακριβώς το ίδιο λάθος με τις επίσημες λύσεις στο 3ο. Ωστόσο υπήρχε μαθήτρια που το έλυσε σωστά ( ή τουλάχιστον παρατήρησε οτι μπορεί να ειναι και αρνητικοί γιατί νομίζω βρήκε 27).

#29

Ακόμα μια για το 4ο της Α λυκείου

Αντιγράφω από εδώ

Έστω s=x+y+z+w

.

Είναι

1000w+100z+10y+x=227s+16

(1)

και

1000x+100y+10z+w=327s+14

(2)

οπότε με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε

1001(x+w)+110(y+z)=554s+30=554(x+y+z+w)+30

κι άρα

$\boxed{447(x+w)-444(y+z)=30}$ (*)

Εργαζόμενοι modulo 444 ( ή απλώς, modulo 37, αφού το 37 διαιρεί τον 444), παίρνουμε

$3(x+w)\equiv 30 \pmod{444}$ κι άρα x+w=10

,

ενώ modulo 445 η (*) δίνει

$x+w+s\equiv 30 \pmod{445}$ , κι άρα x+w+s=30

.

Άρα

κι η (1) δίνει τον αριθμό $327\cdot 20+14=6554$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#30

achilleas έγραψε:Ακόμα μια για το 4ο της Α λυκείου

....

$\boxed{447(x+w)-444(y+z)=30}$ (*)

...

Παραλλαγή επίλυσης της παραπάνω:

Διαρώντας με 3 παίρνουμε

149(x+w)-148(y+z)=10

Προφανώς

είναι μια λύση της 149n-148m=10

,

οπότε όλες οι ακέραιες λύσεις είναι της μορφής n=148k+10

και

με $k\in \mathbb{Z}$ .

Οι ελάχιστες θετικές ακέραιες λύσεις είναι προφανώς οι n=m=10

κι άρα

, οπότε

κτλ.

Επεξεργασία: (6:55μμ): Η ακόμη πιο απλά είναι

x+w=148(y+z-x-w)+10

,

κι αφού 0<x+w<19

αναγκαστικά y+z-x-w=0

, οπότε

, κι άρα

κτλ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

manousos · #31

Γεια σας,

με χαρά είδα τις λύσεις του Ευκλείδη στο mathematica.gr καθώς έψαχνα στο site της ΕΜΕ άλλα δεν άνοιγε(?)
τέλος πάντων θα ήθελα να ρωτήσω αν μπορεί να μου πει κάνεις εμπειρικά αν ξέρει αν με 2 θέματα στην Α Λυκείου περνάει κανείς στην επόμενη φάση ;
Επίσης μετά από πόσες μέρες περίπου βγαίνουν τα αποτελέσματα ;

ευχαριστώ

kostas232 · #32

Συμμετείχα φέτος στον Ευκλείδη της Α' Λυκείου. Πολύ ενδιαφέροντα θέματα. Τα έλυσα όλα εκτός από το τέταρτο(σε αυτό έβγαλα μονάχα μία "ταπεινή" ισότητα). Θα δώσω εδώ τη δική μου "περιπετειώδη" λύση του β) ερωτήματος του πρώτου προβλήματος, απλά και μόνο ως μία παραλλαγή.
Σκέφτομαι ως εξής: Έστω ότι ο $Εικόνα$ είναι τέλειο τετράγωνο. Τότε θα ήταν
$Εικόνα$
δηλαδή $Εικόνα$
Δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο το $Εικόνα$ και η διακρίνουσα είναι
$Εικόνα$
οπότε έχουμε ακέραιες λύσεις εάν $Εικόνα$ και
$Εικόνα$
δηλαδή $Εικόνα$
Από εκεί έβγαλα τις περιπτώσεις
Α) $\displaystyle{\begin{cases}2d-c=1\\2d+c=3.\end{cases}}$ ,οπότε $Εικόνα$ άτοπο γιατί βγάζει $Εικόνα$ και είναι $Εικόνα$ και
Β) $\displaystyle{\begin{cases}2d-c=-1\\2d+c=-3\end{cases}}$ , οπότε $Εικόνα$ , πάλι άτοπο για τον ίδιο λόγο.
Συμπεραίνω έτσι ότι δεν είναι δυνατόν ο $Εικόνα$ να είναι τέλειο τετράγωνο.

Nick1990 · #33

Γ Λυκείου Γεωμετρία:

Έστω ότι οι

και

τέμνονται στο

. Έστω ακόμα ότι η

τέμνει το μεγάλο κύκλο στο

. Αρκεί να δείξω ότι και ο μικρός κύκλος περνάει από το

. Αυτό είναι άμεσο διότι $DT \perp AT$ ενώ ο μικρός κύκλος είναι ο κύκλος των 9 σημείων για το τρίγωνο ADS

( $\angle{AED} = \angle{SMD} = \frac{\pi}{2}$ , AK = KD

).

giwrgosswt · #34

Γεια σας! Σχετικά με το Θέμα 3 της γ λυκείου έχω μια απορία. Έχω την εντύπωση ότι στην προτελευταία σειρά αφαιρείτε το 19 από το σύνολο Α χωρίς αυτό να υπάρχει. Εγώ εργάστηκα παρόμοια με εσάς αλλά μπερδεύτηκα και αφαίρεσα από αυτό το άθροισμα ένα 2 και ένα 3 ( 12=2^2+3^2

μέσα στο άγχος μου) και τελικά το έβγαλα 27 το κ. Απ' ο,τι φαίνεται περιπλέκεται αρκετά το πράγμα με το ότι είναι ακέραιοι. Παρεμπιπτόντως η εκφώνηση αυτό υποδεικνύει και όχι αυτό που κάνουν οι επίσημες λύσεις.

#35

Γιώργο, ασφαλώς και έχεις δίκιο. Θα επανέλθω.

Επεξεργασία: Έβαλα μια λύση με 27 στοιχεία στην αρχική μου ανάρτηση. Με 28 στοιχεία αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος δεν γίνεται. Η απόδειξή μου όμως είναι μια μακροσκελής ανάλυση περιπτώσεων την οποία δεν έγραψα. Θα δω αργότερα αν υπάρχει κάτι πιο όμορφο. (Τελικά το σωστό είναι με 28 στοιχεία.)

#36

Nick1990 έγραψε:Γ Λυκείου Γεωμετρία:

Έστω ότι οι και τέμνονται στο . Έστω ακόμα ότι η τέμνει το μεγάλο κύκλο στο . Αρκεί να δείξω ότι και ο μικρός κύκλος περνάει από το . Αυτό είναι άμεσο διότι $DT \perp AT$ ενώ ο μικρός κύκλος είναι ο κύκλος των 9 σημείων για το τρίγωνο ( $\angle{AED} = \angle{SMD} = \frac{\pi}{2}$ , ).

: Ευκλείδης 75_Γ Λυκείου.png (24.43 KiB) Προβλήθηκε 5449 φορές

Καταπληκτική λύση:

Νίκος

ziggs · #37

Καλησπέρα. Έδωσα σήμερα στον ευκλείδη της β γυμνασίου. Θέλω να ρωτήσω αν λύση με ισότητα τριγώνων στο θέμα 4.2 είναι σωστή ή θα θεωρηθεί λάθος αφού δεν είναι στο σχολικό βιβλίο. Διάβασα από 2 ελληνικά βιβλία για ολυμπιάδες (για β και γ γυμνασίου). Ευχαριστώ.

Nick1990 · #38

Doloros έγραψε:
Nick1990 έγραψε:Γ Λυκείου Γεωμετρία:

Έστω ότι οι και τέμνονται στο . Έστω ακόμα ότι η τέμνει το μεγάλο κύκλο στο . Αρκεί να δείξω ότι και ο μικρός κύκλος περνάει από το . Αυτό είναι άμεσο διότι $DT \perp AT$ ενώ ο μικρός κύκλος είναι ο κύκλος των 9 σημείων για το τρίγωνο ( $\angle{AED} = \angle{SMD} = \frac{\pi}{2}$ , ).

Ευκλείδης 75_Γ Λυκείου.png
Καταπληκτική λύση:

Νίκος

Σας ευχαριστώ!

Ανδρέας Πούλος · #39

Παραλλαγή ως προς το ευκολότερο της λύσης που προτείνει ο kostas232.

Έστω ότι ο αριθμός μας είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού, δηλαδή $n^{2}+n+1=k^{2}$ , (1)
Πρέπει k > n

, άρα υπάρχει φυσικός

, ώστε

.
Η σχέση (1) γράφεται ως εξής $n^{2}+n+1=n^{2}+2na+a^{2} \Rightarrow a^{2}+2na -n-1 = 0$ . (2)
Αν θεωρήσουμε την (2) ως δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο τον

και παράμετρο τον

,
θα έχει ως διακρίνουσα Δ την παράσταση $4n^{2}+4n+4=(2n+1)^{2} +3$ .
Αυτή όμως δεν είναι τέλειο τετράγωνο,άρα η τετραγωνική της είναι είναι άρρητη ποσότητα.
Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός

δεν είναι φυσικός, αλλά άρρητος, συνεπώς η αρχική μας υπόθεση είναι λανθασμένη.
Βέβαια, πάλι υπάρχει ένα μικρό "κενό" στο ισχυρισμό ότι η $(2n+1)^{2} +3$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο, το οποίο καλύπτεται εύκολα.
(εφαρμόζουμε τον τύπο της παραγοντοποίησης ως διαφορά τετραγώνων και θα πρέπει το γινόμενο να ισούται με 3, κάτι που δεν ισχύει).
Προφανώς, η απλούστερη λύση είναι αυτή που προτάθηκε από την επιτροπή διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε.
Ο σκοπός αυτής της ανάρτησης είναι η επίδειξη μιας άλλης τεχνικής, που βασίζεται στις ιδιότητες του τριωνύμου.

Ανδρέας Πούλος

#40

Η λύση της επιτροπής για τη θεωρία αριθμών!

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Μέλη σε σύνδεση