Ερώτηση

Theoxaris Malamidis · #1

Καλησπέρα , θα ήθελα για πολλοστή φορά να ζητήσω την βοήθεια σας έχω το εξής πρόβλημα στις επόμενες ημέρες γράφω μαθηματικά αλλά δεν θα έχω επιστημονικό κομπιουτεράκι αλλά ένα απλό θα μου χρειαστεί σε κάποια είδη ασκήσεων να υπολογίσω τιμές λογαρίθμων χωρίς κομπιουτεράκι καθώς με αυτόν τον τρόπο συντομεύεται σε πολύ μεγάλο βαθμό η λύση ενός προβλήματος . Επομένως η ερώτηση μου είναι πως θα υπολογίζω μια τιμή ενός λογαρίθμου π.χ. το $\displaystyle ln2$ με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη προσέγγιση;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Υ.Γ. Δεν ήξερα που να βάλω το σχετικό μήνυμα για αυτό το έβαλα στα γενικά μηνύματα.

Christos.N · #2

Αν επιτρέπεται, σε τι επίπεδο μαθηματικών αναφερόμαστε;

Εννοώ είναι λυκειακό, προπτυχιακό θετικών - κοινωνικών, κ.τ.λ..

Theoxaris Malamidis · #3

Είναι προπτυχιακό επίπεδο.

Christos.N · #4

π.χ.

Θ.Μ.Τ στο διάστημα [1,2]

$\displaystyle{ \left. \begin{array}{l} \frac{1}{\xi } = \frac{{\ln 2}}{1} \Rightarrow \ln 2 = \frac{1}{\xi }, \\ 1 < \xi < 2 \Rightarrow \frac{1}{2} < \frac{1}{\xi } < 1 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \frac{1}{2} < \ln 2 < 1 }$

άλλο όριο μπορείς να έχεις με το ίδιο θεώρημα στο $\displaystyle{ \left[ {\frac{1}{2},2} \right] }$

Σ. Διονύσης · #5

Μπορείς και με σειρές Taylor.
π.χ για το ln2

$\displaystyle{ln(x+1)=x-\frac{1}{2}x^2}+\frac{1}{3}x^3-...=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}}$ , για $-1<x\leq 1$

Συγγνώμη και πάλι

. Δε ξέρω τι σκεφτόμουνα. Ισχύει ότι: $ln2=\eta (1)$

Tolaso J Kos · #6

Christos.N έγραψε:π.χ.

Θ.Μ.Τ στο διάστημα

$\displaystyle{ \left. \begin{array}{l} \frac{1}{\xi } = \frac{{\ln 2}}{1} \Rightarrow \ln 2 = \frac{1}{\xi }, \\ 1 < \xi < 2 \Rightarrow \frac{1}{2} < \frac{1}{\xi } < 1 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \frac{1}{2} < \ln 2 < 1 }$

άλλο όριο μπορείς να έχεις με το ίδιο θεώρημα στο $\displaystyle{ \left[ {\frac{1}{2},2} \right] }$

κ. Χρήστο αυτό βγαίνει και πολύ απλά...
Αφού $\displaystyle{1<2<e}$ και ο λογάριθμος είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση άρα προκύπτει αμέσως ότι $\displaystyle{0<ln2<1}$ .

Theoxaris Malamidis · #7

Κ.Χρήστο ευχαριστώ για την απάντηση αλλά ψάχνω κατι πιο συγκεκριμένο δηλαδή σε μια άσκηση θα έχω το εξής
$\displaystyle t=\frac{lns-lnp}{ln(1+i)}$ θα πρέπει να βρώ τις τιμές του.

Με μια γρήγορη ματιά στο wiki σχετικά με όσα είπατε κ.Διονύση δεν έβγαλα ακόμα ακρή δηλαδή δεν είμαι σε θέση να βρω ας πούμε το $\displaystyle ln2$ .

Christos.N · #8

Theoxaris Malamidis έγραψε:Κ.Χρήστο ευχαριστώ για την απάντηση αλλά ψάχνω κατι πιο συγκεκριμένο δηλαδή σε μια άσκηση θα έχω το εξής
$\displaystyle t=\frac{lns-lnp}{ln(1+i)}$ θα πρέπει να βρώ τις τιμές του.

Με μια γρήγορη ματιά στο wiki σχετικά με όσα είπατε κ.Διονύση δεν έβγαλα ακόμα ακρή δηλαδή δεν είμαι σε θέση να βρω ας πούμε το $\displaystyle ln2$ .

Είναι η πιο κατατοπιστική απάντηση στο ερώτημα σου, αν θέλεις να υπολογίσεις το ln2

μπορείς με χρήση της δυναμοσειράς να το υπολογίσεις:

Σ. Διονύσης έγραψε: $\displaystyle{ln(x+1)=x-\frac{1}{2}x^2}+\frac{1}{3}x^3-...=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}}$ , για $-1<x\leq 1$

$\displaystyle{ln2=ln(1+1)=1-\frac{1}{2}1^2}+\frac{1}{3}1^3=0.833...}$

Αν θες περισσότερη ακρίβεια αναπτύσεις περισσότερους όρους.

Theoxaris Malamidis · #9

Christos.N έγραψε:
Theoxaris Malamidis έγραψε:Κ.Χρήστο ευχαριστώ για την απάντηση αλλά ψάχνω κατι πιο συγκεκριμένο δηλαδή σε μια άσκηση θα έχω το εξής
$\displaystyle t=\frac{lns-lnp}{ln(1+i)}$ θα πρέπει να βρώ τις τιμές του.

Με μια γρήγορη ματιά στο wiki σχετικά με όσα είπατε κ.Διονύση δεν έβγαλα ακόμα ακρή δηλαδή δεν είμαι σε θέση να βρω ας πούμε το $\displaystyle ln2$ .

Είναι η πιο κατατοπιστική απάντηση στο ερώτημα σου, αν θέλεις να υπολογίσεις το μπορείς με χρήση της δυναμοσειράς να το υπολογίσεις:

Σ. Διονύσης έγραψε: $\displaystyle{ln(x+1)=x-\frac{1}{2}x^2}+\frac{1}{3}x^3-...=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}}$ , για $-1<x\leq 1$
$\displaystyle{ln2=ln(1+1)=1-\frac{1}{2}1^2}+\frac{1}{3}1^3=0.833...}$

Αν θες περισσότερη ακρίβεια αναπτύσεις περισσότερους όρους.

Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις!

Christos.N · #10

Tolaso J Kos έγραψε: κ. Χρήστο αυτό βγαίνει και πολύ απλά...
Αφού $\displaystyle{1<2<e}$ και ο λογάριθμος είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση άρα προκύπτει αμέσως ότι $\displaystyle{0<ln2<1}$ .

Αποστόλη γεια σου, ναι έχεις δίκιο το ζητούμενο παραμένει όμως να είναι ένα βέλτιστο φράγμα ,ανάλογα με τις ανάγκες μας. Όταν με το καλό βρεθώ στην βιβλιοθήκη μου θα βρω ,αν θυμηθώ που είναι, πως αντιμετώπιζαν αυτό το πρόβλημα τη δεκαετία του

που δεν υπήρχαν υπολογιστές, ήταν ένα βιβλίο του πατέρα μου όταν έδινε εξετάσεις στο μικρό πολυτεχνείο.

#11

Christos.N έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε: κ. Χρήστο αυτό βγαίνει και πολύ απλά...
Αφού $\displaystyle{1<2<e}$ και ο λογάριθμος είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση άρα προκύπτει αμέσως ότι $\displaystyle{0<ln2<1}$ .
Αποστόλη γεια σου, ναι έχεις δίκιο το ζητούμενο παραμένει όμως να είναι ένα βέλτιστο φράγμα ,ανάλογα με τις ανάγκες μας. Όταν με το καλό βρεθώ στην βιβλιοθήκη μου θα βρω ,αν θυμηθώ που είναι, πως αντιμετώπιζαν αυτό το πρόβλημα τη δεκαετία του που δεν υπήρχαν υπολογιστές, ήταν ένα βιβλίο του πατέρα μου όταν έδινε εξετάσεις στο μικρό πολυτεχνείο.

Tolaso J Kos · #12

Christos.N έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε: κ. Χρήστο αυτό βγαίνει και πολύ απλά...
Αφού $\displaystyle{1<2<e}$ και ο λογάριθμος είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση άρα προκύπτει αμέσως ότι $\displaystyle{0<ln2<1}$ .
Αποστόλη γεια σου, ναι έχεις δίκιο το ζητούμενο παραμένει όμως να είναι ένα βέλτιστο φράγμα ,ανάλογα με τις ανάγκες μας. Όταν με το καλό βρεθώ στην βιβλιοθήκη μου θα βρω ,αν θυμηθώ που είναι, πως αντιμετώπιζαν αυτό το πρόβλημα τη δεκαετία του που δεν υπήρχαν υπολογιστές, ήταν ένα βιβλίο του πατέρα μου όταν έδινε εξετάσεις στο μικρό πολυτεχνείο.

Σωστά, τα φράγματα είναι χαλαρά... αλλά βελτιώνονται σίγουρα.
Δε πιστεύω να τους ζητήσει κάτι παράξενο... αντιθέτως πιστεύω θα τους το δίνει κιόλας ότι $\displaystyle{\ln 2 \approx 0.7}$

Σ. Διονύσης · #13

Η δυναμοσειρά που έγραψα παραπάνω λέγεται σειρά Mercator και προκύπτει από το θεώρημα Taylor. Επειδή όμως συγκλίνει μόνο στα

που γράφω παραπάνω και κυρίως επειδή ο ρυθμός σύγκλισης είναι πολύ μικρός δεν είναι τόσο εύχρηστη. Καλύτερα να χρησιμοποιείς τη αντίστοιχη δυναμοσειρά του Euler που συγκλίνει για κάθε

και συγκλίνει γρήγορα!

$\displaystyle{ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \qquad ,\forall x}$

σου αφήνω την απόδειξη της παραπάνω ως άσκηση αν και είναι εύκολη.

Christos.N · #14

gbaloglou έγραψε:
Christos.N έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε: .....

Το σχήμα αυτό σε αυτήν την δημοσίευση είναι άγνωστο στους περισσότερους στις μέρες μας,κάποτε βρισκόταν σε πολλά σπίτια ανθρώπων,πρόκειται για υπολογιστή τσέπης

Theoxaris Malamidis · #15

Σ. Διονύσης έγραψε:Η δυναμοσειρά που έγραψα παραπάνω λέγεται σειρά Mercator και προκύπτει από το θεώρημα Taylor. Επειδή όμως συγκλίνει μόνο στα που γράφω παραπάνω και κυρίως επειδή ο ρυθμός σύγκλισης είναι πολύ μικρός δεν είναι τόσο εύχρηστη. Καλύτερα να χρησιμοποιείς τη αντίστοιχη δυναμοσειρά του Euler που συγκλίνει για κάθε και συγκλίνει γρήγορα!

$\displaystyle{ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \qquad ,\forall x}$

σου αφήνω την απόδειξη της παραπάνω ως άσκηση αν και είναι εύκολη.

Δεν ξέρω καν τι είναι δυναμοσειρές ούτε σύγκλιση και τέτοια

το πρόβλημα μου είναι άλλο θα χρησιμοποιήσω το άλλο που έγραψες πιο πάνω σε ευχαριστώ ξανά.

Σ. Διονύσης · #16

Theoxaris Malamidis έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:Η δυναμοσειρά που έγραψα παραπάνω λέγεται σειρά Mercator και προκύπτει από το θεώρημα Taylor. Επειδή όμως συγκλίνει μόνο στα που γράφω παραπάνω και κυρίως επειδή ο ρυθμός σύγκλισης είναι πολύ μικρός δεν είναι τόσο εύχρηστη. Καλύτερα να χρησιμοποιείς τη αντίστοιχη δυναμοσειρά του Euler που συγκλίνει για κάθε και συγκλίνει γρήγορα!

$\displaystyle{ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \qquad ,\forall x}$

σου αφήνω την απόδειξη της παραπάνω ως άσκηση αν και είναι εύκολη.
Δεν ξέρω καν τι είναι δυναμοσειρές ούτε σύγκλιση και τέτοια το πρόβλημα μου είναι άλλο θα χρησιμοποιήσω το άλλο που έγραψες πιο πάνω σε ευχαριστώ ξανά.

Όπως νομίζεις. Απλά για να μην μείνουμε σε ένα απλό παράδειγμα, είπα να δώσω κάτι πιο γενικό με το οποίο υπολογίζονται όλες οι τιμές των λογαρίθμων. Ο ρυθμός σύγκλισης εκφράζει το πόσο γρήγορα μπορούμε να προσεγγίσουμε μια τιμή που θέλουμε. Δηλαδή, χοντρικά, μια σειρά έχει μεγάλο ρυθμό σύγκλισης όταν μπορούμε να πάρουμε αυτό που θέλουμε όσο πιο γρήγορα γίνεται, δηλαδή με όσο το δυνατόν λιγότερους όρους αναπτύξουμε. Στην πρώτη σειρά με 14 όρους προσεγγίζουμε το $ln2\approx 0.6587}$ . Αντίθετα με τη σειρά Euler με 2 μόλις όρους έχουμε καλύτερο αποτέλεσμα:

Για $\displaystyle{x=\frac{1}{3}}$

$\displaystyle{ln2=\frac{2}{3}+\frac{2}{81}\approx 0.691358}$

Theoxaris Malamidis · #17

Σ. Διονύσης έγραψε:
Theoxaris Malamidis έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:Η δυναμοσειρά που έγραψα παραπάνω λέγεται σειρά Mercator και προκύπτει από το θεώρημα Taylor. Επειδή όμως συγκλίνει μόνο στα που γράφω παραπάνω και κυρίως επειδή ο ρυθμός σύγκλισης είναι πολύ μικρός δεν είναι τόσο εύχρηστη. Καλύτερα να χρησιμοποιείς τη αντίστοιχη δυναμοσειρά του Euler που συγκλίνει για κάθε και συγκλίνει γρήγορα!

$\displaystyle{ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \qquad ,\forall x}$

σου αφήνω την απόδειξη της παραπάνω ως άσκηση αν και είναι εύκολη.
Δεν ξέρω καν τι είναι δυναμοσειρές ούτε σύγκλιση και τέτοια το πρόβλημα μου είναι άλλο θα χρησιμοποιήσω το άλλο που έγραψες πιο πάνω σε ευχαριστώ ξανά.
Όπως νομίζεις. Απλά για να μην μείνουμε σε ένα απλό παράδειγμα, είπα να δώσω κάτι πιο γενικό με το οποίο υπολογίζονται όλες οι τιμές των λογαρίθμων. Ο ρυθμός σύγκλισης εκφράζει το πόσο γρήγορα μπορούμε να προσεγγίσουμε μια τιμή που θέλουμε. Δηλαδή, χοντρικά, μια σειρά έχει μεγάλο ρυθμό σύγκλισης όταν μπορούμε να πάρουμε αυτό που θέλουμε όσο πιο γρήγορα γίνεται, δηλαδή με όσο το δυνατόν λιγότερους όρους αναπτύξουμε. Στην πρώτη σειρά με 14 όρους προσεγγίζουμε το $ln2\approx 0.6587}$ . Αντίθετα με τη σειρά Euler με 2 μόλις όρους έχουμε καλύτερο αποτέλεσμα:

Για $\displaystyle{x=\frac{1}{3}}$

$\displaystyle{ln2=\frac{2}{3}+\frac{2}{81}\approx 0.691358}$

Τελικά θα πάρω τον δεύτερο

αν δε σου κάνει κόπο γράψτε το λίγο πιο αναλυτικά πως αναπτύσσεται, ζητώ συγνώμη από το φόρουμ εάν το απασχόλησα με κάτι το απλό.
Ευχαριστώ και πάλι

Σ. Διονύσης · #18

Theoxaris Malamidis έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:
Theoxaris Malamidis έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:Η δυναμοσειρά που έγραψα παραπάνω λέγεται σειρά Mercator και προκύπτει από το θεώρημα Taylor. Επειδή όμως συγκλίνει μόνο στα που γράφω παραπάνω και κυρίως επειδή ο ρυθμός σύγκλισης είναι πολύ μικρός δεν είναι τόσο εύχρηστη. Καλύτερα να χρησιμοποιείς τη αντίστοιχη δυναμοσειρά του Euler που συγκλίνει για κάθε και συγκλίνει γρήγορα!

$\displaystyle{ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \qquad ,\forall x}$

σου αφήνω την απόδειξη της παραπάνω ως άσκηση αν και είναι εύκολη.
Δεν ξέρω καν τι είναι δυναμοσειρές ούτε σύγκλιση και τέτοια το πρόβλημα μου είναι άλλο θα χρησιμοποιήσω το άλλο που έγραψες πιο πάνω σε ευχαριστώ ξανά.
Όπως νομίζεις. Απλά για να μην μείνουμε σε ένα απλό παράδειγμα, είπα να δώσω κάτι πιο γενικό με το οποίο υπολογίζονται όλες οι τιμές των λογαρίθμων. Ο ρυθμός σύγκλισης εκφράζει το πόσο γρήγορα μπορούμε να προσεγγίσουμε μια τιμή που θέλουμε. Δηλαδή, χοντρικά, μια σειρά έχει μεγάλο ρυθμό σύγκλισης όταν μπορούμε να πάρουμε αυτό που θέλουμε όσο πιο γρήγορα γίνεται, δηλαδή με όσο το δυνατόν λιγότερους όρους αναπτύξουμε. Στην πρώτη σειρά με 14 όρους προσεγγίζουμε το $ln2\approx 0.6587}$ . Αντίθετα με τη σειρά Euler με 2 μόλις όρους έχουμε καλύτερο αποτέλεσμα:

Για $\displaystyle{x=\frac{1}{3}}$

$\displaystyle{ln2=\frac{2}{3}+\frac{2}{81}\approx 0.691358}$
Τελικά θα πάρω τον δεύτερο αν δε σου κάνει κόπο γράψτε το λίγο πιο αναλυτικά πως αναπτύσσεται, ζητώ συγνώμη από το φόρουμ εάν το απασχόλησα με κάτι το απλό.
Ευχαριστώ και πάλι

$\displaystyle{ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+...\right)=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}}$

#19

Christos.N έγραψε:
gbaloglou έγραψε:
Christos.N έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε: .....
Το σχήμα αυτό σε αυτήν την δημοσίευση είναι άγνωστο στους περισσότερους στις μέρες μας,κάποτε βρισκόταν σε πολλά σπίτια ανθρώπων,πρόκειται για υπολογιστή τσέπης

Παραφράζοντας τον ποιητή ... είναι σε σπίτια πολλών ανθρώπων τα εργαλεία μας

[Πιστεύω πως κάποτε το είχα μάθει το κανονάκι -- όχι το μουσικό, το μαθηματικό

-- αλλά δεν μπορώ πια να το βρω στα πράγματα του πατέρα μου

(Στο σχολείο πάντως δουλεύαμε με τους πίνακες λογαρίθμων που ήταν ενσωματωμένοι στο σχολικό βιβλίο, το περί ου ο λόγος εργαλείο υποθέτω πως δεν είχε φτάσει ποτέ στις σχολικές τάξεις...)]

Γιώργος Μπαλόγλου

alexandropoulos · #20

Theoxaris Malamidis έγραψε:Καλησπέρα , θα ήθελα για πολλοστή φορά να ζητήσω την βοήθεια σας έχω το εξής πρόβλημα στις επόμενες ημέρες γράφω μαθηματικά αλλά δεν θα έχω επιστημονικό κομπιουτεράκι αλλά ένα απλό θα μου χρειαστεί σε κάποια είδη ασκήσεων να υπολογίσω τιμές λογαρίθμων χωρίς κομπιουτεράκι καθώς με αυτόν τον τρόπο συντομεύεται σε πολύ μεγάλο βαθμό η λύση ενός προβλήματος . Επομένως η ερώτηση μου είναι πως θα υπολογίζω μια τιμή ενός λογαρίθμου π.χ. το $\displaystyle ln2$ με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη προσέγγιση;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Υ.Γ. Δεν ήξερα που να βάλω το σχετικό μήνυμα για αυτό το έβαλα στα γενικά μηνύματα.

Αναζήτησε το σχολικό βιβλίο της Β Λυκείου (Η. ΝΤΖΙΩΡΑΣ) 1975 -1978 ή κάτι αντίστοιχο εκείνης της εποχής και θα βρείς αναλυτικά τρόπους "υπολογισμού" λογαρίθμων.

Ερώτηση

Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Μέλη σε σύνδεση