υπάρχει συνάρτηση;

gouvieros · #1

Να εξεταστεί αν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb R \to \mathbb R$ , δυο φορές παραγωγίσιμη με θετικές τιμές και αρνητική την πρώτη και δεύτερη παράγωγο στο $\mathbb R$ .

#2

Γειά σας
'Οχι δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Διότι αν επιλέξουμε x_0

θα είναι
$\,f\left( x\right) \leq f^{\prime }\left( x_{0}\right) \left( x-x_{0}\right) +f\left( x_{0}\right)$
(διότι η γραφική παράσταση είναι κάτω από κάθε εφαπτομένη). Αφού $f^{\prime }\left( x_{0}\right)<0$ το όριο στο $+\infty$ του β΄μέλους είναι $-\infty$ που σημαίνει ότι η συνάρτηση θα πάρει και αρνητικές τιμές.
Μαυρογιάννης

#3

gouvieros έγραψε:Να εξεταστεί αν υπάρχει συνάρτηση f: R->R , δυο φορές παραγωγίσιμη με θετικές τιμές και αρνητική την πρώτη και δεύτερη παράγωγο στο R.

Να μία εποπτική “απόδειξη”, μόνο που για ευκολία θα εξετάσω την –f στη θέση της f. Το ερώτημα λοιπόν είναι: Να εξεταστεί αν υπάρχει συνάρτηση f: R->R , δυο φορές παραγωγίσιμη με αρνητικές τιμές και θετική την πρώτη και δεύτερη παράγωγο στο R.

Απάντηση: Έχουμε δύο άλογα που το ένα είναι σταματημένο (στην αρχή των αξόνων). Το άλλο τρέχει με θετική ταχύτητα (f '(x) > 0) και μάλιστα η ταχύτητά του όλο αυξάνει (δηλαδή έχει θετική επιτάχυνση f ''(x) > 0). Έεεε λοιπόν, όλοι θα συμφωνήσουν ότι το δεύτερο άλογο θα βρεθεί μπροστά από το πρώτο (f(x) > 0), όπου και αν αρχίσει την κούρσα. ‘Οπερ έδει δείξε αλόγως.

Και μια που μιλάμε εύλογα, να άλλη από τον ιππόδρομο: Δύο άλογα ξεκίνησαν μια κούρσα συγχρόνως και τερμάτισαν ακριβώς την ίδια στιγμή (ισοπαλία). Δείξτε ότι κάποια στιγμή τα άλογα είχαν ακριβώς την ίδια ταχύτητα.
Μπορεί να σας φαίνεται παρ-άλογο αλλά, υπ’ όψιν, τα άλογα δεν ξέρουν το Θεώρημα Rolle. Οπότε χλιμιντρίζουν χωρίς αυτό, σκεπτόμενα πρακτικά. Βοηθήστε τα να λύσουν το πρόβλημα σωστά, στη γλώσσα τους, όχι πράσινα άλογα.

Άντε και με την ελπίδα ο κ. Αλογοσκούφης να δώσει 5% για την Παιδεία. Χωρίς δι-άλογο δεν γίνεται τίποτα.

Τώρα θυμήθηκα: Δίπλα στον Ιππόδρομο έχει έναν σταθμό του ηλεκτρικού. Ένα τρένο έφυγε προς μία κατεύθυνση, αλλά αργότερα ξαναγύρισε στην ίδια θέση (f(t0) = f(t1)). Δείξτε ότι για να γυρίσει στην αρχική θέση το τρένο, τότε κάπου πρέπει να σταματήσει, έστω στιγμιαία ( f '(t) = 0). Αυτό το φαινόμενο το ξέρει και ο τελευταίος οδηγός τρένου. Στη γλώσσα τους ονομάζεται ξε-Rolle-άρισμα.

Οι οδηγοί των συρμών ξέρουν και άλλο ένα τρενοθεώρημα: Όταν δύο αμαξοστοιχίες κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση, με το πίσω τρένο να τρέχει γρηγορότερα, τότε είμαστε σε τροχιά σύγκρουσης. Γι’ αυτό ο οδηγός της πίσω αμαξοστοιχίας πρέπει να πατήσει επειγόντως τα φρένα του. Αν τα τρένα αποφύγουν την σύγκρουση κυριολεκτικά παρά μία τρίχα, δείξτε ότι εκείνη τη παραλίγο μοιραία στιγμή, τα τρένα έχουν την ίδια απόσταση από την αφετηρία (f(t) = g(t)) και την ίδια ταχύτητα (f '(t) = g '(t)).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

#4

Πολύ όμορφη η απάντηση του Μιχάλη

Γι΄ αυτό θα σας πώ κι' εγώ μια ιστορία
ΟΙ ΔΑΣΚΑΛΟΙ
Mια μέρα που πήγαινα στο μπακάλικό μου, είναι δίπλα ξέρετε σ’ ένα γραφείο που μένουν κάτι δάσκαλοι, ο Αλέκος, ο Δημήτρης και ο Νίκος ( λίγο μυστήριοι, αλλά καλοί ανθρώποι), άκουσα την παρακάτω κουβέντα. Τους είχε δώσει ένα πρόβλημα, λέγανε, το παιδί πού ’χα στη δούλεψή μου (τι τα ‘θελε τόσα γράμματα το αναθεματισμένο κι έλεγα να του αφήσω το μπακάλικο!) και τούτοι εδώ παλεύανε να δούνε ποιανού είναι η καλύτερη λύση. Είχανε γράψει και το πρόβλημα σ’ ένα πίνακά τους απ΄ όπου το αντέγραψα κι εγώ.
$\exists f^{\prime \prime}(x) \forall x \in [0,1],f(0)=0,f(1)=1,f^{\prime }(0)=0,f^{\prime }(1)=0 \Rightarrow \exists \xi \in [0,1] : |f^{\prime \prime}(\xi )| \ge 4$
Τελείως ακαταλαβίστικο! Αλλά κι’ αυτά που συζητούσανε ίδια ήτανε. Λέγανε πως η ανάλυση μοιάζει με πόρνη!! Αν θέλει ο θεός! Εγώ ξέρω ότι αναλύσεις κάνουμε στο γιατρό για να δούμε αν ήμαστε καλά. Κουβέντες του Δημήτρη βέβαια. Πολύ ρομαντικός! Ο Νίκος έλεγε ότι αυτά είναι αηδίες και η λύση πρέπει να υπάρχει εκεί έξω και όχι μέσα στα σύμβολα. Πάλι δεν καταλάβαινα. Έξω πού, δηλαδή? Δίπλα ήταν το μπακάλικο κι εγώ στα ράφια είχα τυρί φέτα και όχι τέτοια περίεργα. Μάλλον ο μπαγάσας ο πιτσιρικάς φταίει που θα μου το χαλάσει το μαγαζί. Ο Αλέκος πάλι, τους έλεγε ότι η λύση πρέπει να είναι γενική, να την καταλαβαίνει ο πολύς ο κόσμος για να έχει εκπαιδευτική αξία. Εκεί έμπλεξε και την πολιτική ξεκινώντας μια κουβέντα για την αριστερά!! Τώρα είναι που τα ‘χασα τελείως. Σκέφτηκα: καλά ο μπακαλόγατος τους μπέρδεψε τόσο πολύ? Αν του αφήσω το μαγαζί ,τι θα κάνει ,θα το ρημάξει τελείως. Τι άλλο όμως να κάνω πάλι? Την άλλη μέρα σ’ ένα τεφτέρι είχε γράψει τις τρεις λύσεις, χωρίς να σημειώσει ποιανού ήταν ποια.Μήπως μπορείτε να με βοηθήσετε να καταλάβω ποιος έκανε την κάθε λύση ? Κι ακόμη αν βρείτε και καμιά τέταρτη, φέρτε τη. Θα τους πω πως είναι δικιά μου και θα βάλω στοίχημα ένα κασόνι μπύρες. Δίπλα είναι το μπακάλικο …

#5

Κάποιες σκέψεις για την άσκηση του παιδιού του μπακάλικου!

: .png (20.64 KiB) Προβλήθηκε 5875 φορές

Σταματώντας εδώ, θυμήκα το γνωστό ανέκδοτο: "Πώς κυνηγούν ελέφαντες οι μαθηματικοί;" Απάντηση: "Αποδεικνύουν στον πίνακα την ύπαρξη ελέφαντα και αναθέτουν ως άσκηση για το σπίτι το κυνήγι στους μαθητές".

Αύριο, με το καλό, βγαίνουμε για κυνήγι...

Γιώργος Ρίζος

#6

Rigio έγραψε:Κάποιες σκέψεις για την άσκηση του παιδιού του μπακάλικου!

Γιώργο,

δεν νομίζω ο Ροδόλφος να ζητά απόδειξη per se, γιατί η άσκηση είναι γνωστή και κλασική. Π.χ. υπάρχει στον Νεγρεπόντη, Απειροστικός , τ. ΙΙα σελίς 31, άσκηση 18-80.

Αυτό που ζητά είναι να δώσεις διαισθητική απόδειξη, κάτι σαν τα άλογα που έγραφα παραπάνω. Το λέει ο ίδιος όταν γράφει

Ο Αλέκος πάλι, τους έλεγε ότι η λύση πρέπει να είναι γενική, να την καταλαβαίνει ο πολύς ο κόσμος για να έχει εκπαιδευτική αξία.

Καληνύχτα σε όλους.

Φιλικά,

Μιχάλης.

#7

Στο συνημμένο υπάρχουν 3 λύσεις και στο τέλος εξηγούμε ποιανού ήταν πια
Πράγματι το πρόβλημα είναι κλασικό αλλά νομίζω ότι οι λύσεις παρουσιάζουν κάποιο ενδιαφέρον. Στην πραγματικότητα οι ιδέες που κρύβονται πίσω από κάθε λύση είναι
1η) κάτι σαν ομογενοποίηση των οριακών συνθηκών που είχα δει σε ένα μάθημα Δ.Ε
2η) θεώρημα ώθησης-ορμής που παλιά υπήρχε και μέσα στην ύλη της φυσικής του λυκείου
3η) "ξεπαραγώγιση" ανισοτήτων μέσω μονοτονίας οδηγούν σε νέες ανισότητες
Βέβαια ο μπακαλόγατος δεν κατέταξε με αυτό το σκεπτικό τους λύτες αλλά σύμφωνα με τον χαρακτήρα τους που τον πρώτο θεωρούσε ρομαντικό και λιγάκι αλλοπαρμένο τον δεύτερο αποτελεσματικό και πραγματιστή τον δε τρίτο φιλοσοφημένο και εκπαιδευτικό
Όπως λέμε περιμένουμε 4η)

#8

R BORIS έγραψε:
$\exists f^{\prime \prime}(x) \forall x \in [0,1],f(0)=0,f(1)=1,f^{\prime }(0)=0,f^{\prime }(1)=0 \Rightarrow \exists \xi \in [0,1] : |f^{\prime \prime}(\xi )| \ge 4$

Πολύ ωραίες και οι τρεις λύσεις του Ροδόλφου. Δίνω μια διαφορετική.

α) Εξετάζουμε την f στο [0, ½] . Έστω ότι για κάθε x στο διάστημα αυτό ισχύει $f^{\prime \prime}(x) < 4$ . Αν ορίσουμε g στο [0, ½] ως $g(x) = f^{\prime} (x)- 4x$ , τότε υπάρχει κάποιο ξ στο (0, ½) με $g(x) - g(0) = g ^{\prime}(\xi)(x-0) = (f ^{\prime \prime}(\xi) -4) (x -0) < 0$ . Δηλαδή, $g(x) < g(0) = f ^{\prime}(0)-4.0=0$ και άρα $f ^{\prime}(x) < 4x$ . Ολοκληρώνοντας έχουμε
$\int_{0}^{\frac{1}{2}}{f^{\prime}(t)dt}< \int_{0}^{\frac{1}{2}}{4tdt}$ , άρα $(\frac{1}{2})- f(0) < \frac{1}{2}$ και άρα $f (\frac{1}{2}) < \frac{1}{2}$ . (*)

β) Εξετάζουμε την f στο [1/2, 1] . Έστω ότι για κάθε x στο διάστημα αυτό ισχύει $f ^{\prime \prime}(x) > - 4$ . Αν ορίσουμε h στο [1/2, 1] ως $h(x) = f ^{\prime}(x)- 4(1-x)$ , τότε υπάρχει κάποιο ξ στο (1/2, 1) με $h(1) -h(x) = h ^{\prime}(\xi)(1-x) = (f ^{\prime \prime}(\xi) + 4)(1-x) > 0$ . Δηλαδή, $h(x) < h(1)= f ^{\prime}(1)- 4(1-1) = 0$ , και άρα $f ^{\prime}(x) < 4(1-x)$ . Ολοκληρώνοντας έχουμε
$\int_{\frac{1}{2}}^{1}{f ^{\prime}(t)dt}< \int_{\frac{1}{2}}^{1}{4(1-t)dt}$ , άρα $f(1) -f(\frac{1}{2}) < \frac{1}{2}$ και άρα $f (\frac{1}{2}) > \frac{1}{2}$ . (**)

Οι (*) και (**) είναι ασύμβατες.

Συμπέρασμα: Θα ισχύει είτε $f ^{\prime \prime}(\xi)\ge 4$ στο [0, ½] είτε $f ^{\prime \prime}(\xi) \le -4$
στο [1/2, 1]. Όπως και να είναι, κάπου ισχύει $|f ^{\prime \prime}(\xi)| \ge 4$ .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

#9

Mihalis_Lambrou έγραψε:
R BORIS έγραψε:
$\exists f^{\prime \prime}(x) \forall x \in [0,1],f(0)=0,f(1)=1,f^{\prime }(0)=0,f^{\prime }(1)=0 \Rightarrow \exists \xi \in [0,1] : |f^{\prime \prime}(\xi )| \ge 4$
Πολύ ωραίες και οι τρεις λύσεις του Ροδόλφου. Δίνω μια διαφορετική.

α) Εξετάζουμε την f στο [0, ½] . Έστω ότι για κάθε x στο διάστημα αυτό ισχύει $f^{\prime \prime}(x) < 4$ . Αν ορίσουμε g στο [0, ½] ως $g(x) = f^{\prime} (x)- 4x$ , τότε υπάρχει κάποιο ξ στο (0, ½) με $g(x) - g(0) = g ^{\prime}(\xi)(x-0) = (f ^{\prime \prime}(\xi) -4) (x -0) < 0$ . Δηλαδή, $g(x) < g(0) = f ^{\prime}(0)-4.0=0$ και άρα $f ^{\prime}(x) < 4x$ . Ολοκληρώνοντας έχουμε
$\int_{0}^{\frac{1}{2}}{f^{\prime}(t)dt}< \int_{0}^{\frac{1}{2}}{4tdt}$ , άρα $(\frac{1}{2})- f(0) < \frac{1}{2}$ και άρα $f (\frac{1}{2}) < \frac{1}{2}$ . (*)

β) Εξετάζουμε την f στο [1/2, 1] . Έστω ότι για κάθε x στο διάστημα αυτό ισχύει $f ^{\prime \prime}(x) > - 4$ . Αν ορίσουμε h στο [1/2, 1] ως $h(x) = f ^{\prime}(x)- 4(1-x)$ , τότε υπάρχει κάποιο ξ στο (1/2, 1) με $h(1) -h(x) = h ^{\prime}(\xi)(1-x) = (f ^{\prime \prime}(\xi) + 4)(1-x) > 0$ . Δηλαδή, $h(x) < h(1)= f ^{\prime}(1)- 4(1-1) = 0$ , και άρα $f ^{\prime}(x) < 4(1-x)$ . Ολοκληρώνοντας έχουμε
$\int_{\frac{1}{2}}^{1}{f ^{\prime}(t)dt}< \int_{\frac{1}{2}}^{1}{4(1-t)dt}$ , άρα $f(1) -f(\frac{1}{2}) < \frac{1}{2}$ και άρα $f (\frac{1}{2}) > \frac{1}{2}$ . (**)

Οι (*) και (**) είναι ασύμβατες.

Συμπέρασμα: Θα ισχύει είτε $f ^{\prime \prime}(\xi)\ge 4$ στο [0, ½] είτε $f ^{\prime \prime}(\xi) \le -4$
στο [1/2, 1]. Όπως και να είναι, κάπου ισχύει $|f ^{\prime \prime}(\xi)| \ge 4$ .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

Μιχάλη μόλις κερδίσαμε ένα κασόνι μπύρες στην υγειά μας!!!

#10

R BORIS έγραψε: Μιχάλη μόλις κερδίσαμε ένα κασόνι μπύρες στην υγειά μας!!!

Ροδόλφε, δύο εκδοχές βλέπω.

Είτε όταν έλθεις Κρήτη θα σε κεράσουμε ένα κρασί. Και αν είναι καλοκαίρι, θα βρεθούν εδώ πολλά μέλη της Λέσχης. Π.χ., για να πω τον πιο νέο, θα είναι ο Αλέξανδορς (cretanman) αλλά όχι μόνο. Εννοείται ότι η πρόσκληση επεκτείνεται σε όλους.

Είτε να ακολουθήσουμε την πρόσκληση του Μπάμπη να βρεθούμε στα Άγραφα. Φαίνεται
ότι εκει κρατούν χαρτί, μολύβι, κανόνα και διαβήτη. Τι άλλο θέλεις;

Μιχάλης.

#11

R BORIS έγραψε:
$\exists f^{\prime \prime}(x) \forall x \in [0,1],f(0)=0,f(1)=1,f^{\prime }(0)=0,f^{\prime }(1)=0 \Rightarrow \exists \xi \in [0,1] : |f^{\prime \prime}(\xi )| \ge 4$

Και μία «απόδειξη» με άλογα.

Το πρόβλημα: Ένα άλογο τερμάτισε μία κούρσα 1 χιλιομέτρου σε ένα λεπτό. Μόνο που ξεκίνησε άσχημα, με μηδέν ταχύτητα. Στο τέρμα έφτασε πολύ κουρασμένο, τόσο που προς το τέλος πήγαινε όλο και πιο σιγά μέχρι που έπεσε ξερό (μηδενική ταχύτητα) ακριβώς στην γραμμή του τέρματος. Να δείξουμε ότι είτε κάποια στιγμή το άλογο είχε επιτάχυνση μεγαλύτερη από 4χλμ/λεπτό/λεπτό είτε κάποια στιγμή, το κουρασμένο, είχε τεράστια επιβράδυνση, πάνω από 4χλμ/λεπτό/λεπτό.

- «Τετριμμένο», είπε ο Σέρλοκ Χολμς που παρακολουθούσε την κούρσα στη ταινία που τράβηξε με την καινούργια του κινηματογραφική κάμερα. «Κοίταξε, πες ότι στο πρώτο μισό της λεπτό της κούρσας, η επιτάχυνση ήταν κάτω από 4χλμ/λεπτό/λεπτό. Τότε το άλογό μας θα ήθελε πάνω από μισό λεπτό για να φτάσει στη μέση της διαδρομής.»
- «Δεν το ‘πιασα αυτό!» απάντησε ο Γουάτσον. «Αφού το άλογο έχει σκαμπανεβάσματα στη ταχύτητά του, πως έβγαλες το συμπέρασμα; Χόλμς, μου φαίνεται ότι με δουλεύεις.»
- «Όχι» απάντησε ο Χόλμς. «Αυτή τη στιγμή δεν σε δουλεύω. Αυτό που είπα είναι το αποτέλεσμα μαθηματικού συλλογισμού. Κοίτα αυτό το πράσινο άλογο δίπλα στο δικό μας. Υπολόγισα με λογαρίθμους ότι έχει επιτάχυνση ακριβώς 4. Άρα σε μισό λεπτό θα φτάσει στη μέση της διαδρομής και ...».
-«Άντε πάλι, και πως το συμπεραίνεις αυτό κύριε ντέτεκτιβ;» διέκοψε ο Γουάτσον.
- «Άσε με να τελειώσω Γουάτσον. Όπως σου έχω πει πολλές φορές πρέπει να σκέφτεσαι κατ’ αναλογία με παρόμοιες καταστάσεις. Η βαρύτητα όπως ξέρεις έχει και αυτή σταθερή επιτάχυνση. Όλοι ξέρουμε ότι αν αφήσεις να πέσει ένα σώμα με μηδενική αρχική ταχύτητα τότε σε χρόνο t θα διανύσει απόσταση $\frac{1}{2}gt^2$ . Ξέχασες την Φυσική σου; Ξέχασες τα συμπεράσματα του Γαλιλαίου μετά το πείραμα στον Πύργο της Πίζας; Άντε μη πω τίποτα!»
Για μια στιγμή ο Γουάτσον έμεινε σιωπηλός. Μετά του ήρθε η αναλαμπή καθώς σκέφτηκε ότι δεν έχει σημασία αν η επιτάχυνση είναι 9,81 ή αν είναι 4. Σημασία έχει ότι είναι σταθερή. Μετά φώναξε,
- «Το ΄πιασα! Το πράσινο άλογο σε μισό λεπτό θα κάνει $\frac{1}{2}.4.(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$ χιλιόμετρα, δηλαδή σε μισό λεπτό θα φτάσει στο μισό της διαδρομής. Το δικό μας άλογο που έχει επιτάχυνση μικρότερη από του πράσινου, θα είναι πάντα πίσω του. Σωστά; Άρα το άλογό μας σε μισό λεπτό δεν θα φτάσει καν τη μέση».
Ο Χόλμς επιβεβαίωσε ότι ο συνομιλητής του έβγαλε σωστό συμπέρασμα.
- «Καλά», συνέχισε ο Γουάτσον, «αλλά τι μπορείς να πεις για το δεύτερο μισό λεπτό; Φοβάμαι δεν μπορείς να πεις τίποτα απολύτως, κακόμοιρε Χολμς, αφού ούτε καν ξέρεις που βρίσκεται το άλογο. Το μόνο που ξέρεις είναι ότι σε μισό λεπτό δεν έφτασε τη μέση. Άλλο να ξέρεις που δεν είναι το άλογο και άλλο να μην ξέρεις που είναι!».
- «Σε αυτή την περίπτωση ο συλλογισμός έχει ακόμα μεγαλύτερο ενδιαφέρον», απάντησε ο Σέρλοκ Χόλμς, τραβώντας μια βαθειά ρουφηξιά στην πίπα του, ικανοποιημένος από τη συμπερασματολογία του. «Για να σου δώσω να το καταλάβεις», συνέχισε. «ας παίξουμε την ταινία ανάποδα, από το τέλος της κούρσας προς τα πίσω. Βλέπεις; Τώρα το άλογο φαίνεται να πηγαίνει ανάποδα και εκεί που στην πραγματικότητα επιβραδυνόταν τώρα φαίνεται σαν να επιταχύνεται».
- «Σιγά το βαθύ συμπέρασμα» ειρωνεύτηκε ο Γουάτσον, «και τι έγινε».
- «Τι έγινε; Θα με σκάσεις Γουάτσον! Μόνος σου το είπες πριν. Αν η επιτάχυνση που στην πραγματικότητα είναι ανάποδη επιβράδυνση ήταν κάτω από 4χλμ/λεπτό/λεπτό, τότε το άλογο σε μισό λεπτό δεν θα έφτανε ούτε στη μέση της διαδρομής, πηγαίνοντας ανάποδα. Εσύ το είπες!».
- «Εύρηκα» αναφώνησε ο Γουάτσον, «όταν το ρολόι δείχνει μισό λεπτό κούρσας, την μια φορά το άλογο φέρεται να είναι πριν από τη μέση, και την άλλη, όταν κοιτάμε την ταινία από τα πίσω προς τα μπρος, διαπιστώνουμε ότι θα είναι μετά τη μέση. Αυτό δεν γίνεται. Σωστά;»
- «Τετριμμένο. Και όπως έχω πει πολλές φορές, όταν εξαλείψεις εκείνο που είναι αδύνατον να συμβεί, αυτό που μένει, όσο περίεργο και αν ακούγεται, είναι η αλήθεια. Έλα Γουάτσον, γράψε τα αυτά στη βιογραφία μου τώρα αμέσως γιατί έχουμε πολύ δουλειά. Ο ιππόδρομος κρύβει πολλές παγίδες».

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#12

Απλά υπέροχο

Μιχάλη

greek_sorcerer · #13

Μπράβο κύριε Λάμπρου!!

Λάμπρος Κατσάπας · #14

Μια λύση εκτός ύλης.

Από Taylor και για $x \in (0,1)$ έχουμε

$f(x)=f(0)+{f}'(1)x+{f}''(\xi )\dfrac{x^2}{2}$

για κάποιο $\xi \in(0,1)$ και

$f(x)=f(1)+{f}'(1)(x-1)+{f}''(\zeta )\dfrac{(x-1)^2}{2}$

για κάποιο $\zeta \in(0,1).$

Θέτωντας $x=\dfrac{1}{2}$ στις παραπάνω, αφαιρώντας κατά μέλη και χρησιμοποιώντας τα δεδομένα παίρνουμε

$\dfrac{{f}''(\zeta )-{f}''(\xi )}{8}=-1\Rightarrow {f}''(\zeta )-{f}''(\xi )=-8$
Παίρνοντας απόλυτες τιμές και κάνοντας χρήση της τριγωνικής ανισότητας έχουμε

$\left |{f}''(\zeta ) \right |+\left |{f}''(\xi ) \right |\geq 8$

και παίρνοντας το μεγαλύτερο από τα $\left |{f}''(\zeta ) \right |$ και $\left |{f}''(\xi ) \right |$ έχουμε το ζητούμενο.

Αν αυτά είναι ίσα τότε πάλι έχουμε το ζητούμενο.

υπάρχει συνάρτηση;

υπάρχει συνάρτηση;

Re: υπάρχει συνάρτηση;

Re: υπάρχει συνάρτηση;

Re: υπάρχει συνάρτηση;

Re: υπάρχει συνάρτηση;

Re: υπάρχει συνάρτηση;

Re: υπάρχει συνάρτηση;

Re: υπάρχει συνάρτηση;

Re: υπάρχει συνάρτηση;

Re: υπάρχει συνάρτηση;

Re: υπάρχει συνάρτηση;

Re: υπάρχει συνάρτηση;

Re: υπάρχει συνάρτηση;

Re: υπάρχει συνάρτηση;

Μέλη σε σύνδεση