Μετρικές συναρτήσεις

[chris t]

Αν είναι μετρικές στο , να εξετάσετε αν και είναι επίσης μετρικές.

Παρόλο που φαίνονται προφανείς οι αποδείξεις (πληρούνται τα 4 κριτήρια), προς έκπληξή μου κάπου είδα ( μέσω αντιπαραδείγματος) ότι η δεν είναι πάντα. Ο προβληματισμός μου έγκειται στο ότι αυτό ή το ξέρεις ή όχι. Υπάρχει τρόπος, πέρα από πειραματισμούς, να γνωρίζουμε πότε μία συνάρτηση δεν είναι μετρική; Ευχαριστώ!

[AlexandrosG]

Καλησπέρα.

Έχεις δίκιο σε όσα γράφεις.

Η συνάρτηση είναι μετρική ενώ η συνάρτηση δεν είναι. Η απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας της μετρικής έχει λίγο δουλειά ενώ στην η τριγωνική είναι η μόνη ιδιότητα που δεν αποδεικνύεται. Γι΄αυτό και βρήκες αντιπαράδειγμα.
Για την τελευταία σου ερώτηση δεν γνωρίζω κάτι. Απλά κοιτάς αν ισχύουν οι ιδιότητες.

Ένα αντιπαράδειγμα από εμένα.

Έστω τρίγωνο .

Θέτουμε .

Βλέπουμε ότι οι είναι μετρικές αλλά η δεν είναι.

[Mihalis_Lambrou]

Αν είναι μετρικές στο , να εξετάσετε αν και είναι επίσης μετρικές.
<...>
Ο προβληματισμός μου έγκειται στο ότι αυτό ή το ξέρεις ή όχι. <...>

Νομίζω ότι η άσκηση είναι αρκετά απλή για να δηλώσουμε "ή το ξέρεις ή όχι" . Πρόκειται, άλλωστε, για άσκηση σε όλα τα εισαγωγικά βιβλία Μετρικών Χώρων. Ακολουθεί απόδειξη για το max. Κάνω μόνο την τριγωνική γιατι οι άλλες ιδιότητες είναι άμεσες.

Ισχύει . Όμοια
. Άρα το max των δύο αριστερών μελών (που βέβαια ισούται μα κάποιον από τους δύο όρους) είναι από το δεξί μέλος. Δηλαδή ισχύει το αποδεικτέο.

Μ.