Διαδοχική ρίψη δύο αμερόληπτων χρωματιστών ζαριών

[dimplak]

Σήμερα, αναζητώντας με μία μαθήτρια μου το δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης ρίψης δύο αμερόληπτων ζαριών, μου ανέφερε, βλέποντας τον πίνακα εισόδου της σελίδας 36 του νέου σχολικού βιβλίου Αλγεβρας Α Λυκείου, ότι δε χρειάζεται να πάρουμε 36 ζέυγη αλλά συνολικά 21, σκεπτόμενη ότι τα (1,2) και (2,1) για παράδειγμα είναι ίδια.

Της απάντησα ότι τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, αναλύοντας τι εννοούμε με τον όρο αυτό, και μόνο με αυτήν την προυπόθεση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας.

Τότε με ρώτησε γιατί να μην θεωρήσουμε διπλή φορά και τα ζεύγη (1,1), ... , (6,6);

Τι μπορούμε να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση;

Πως πρέπει να διατυπωθεί το πείραμα ώστε ο δειγματικός χώρος να εχει 21 στοιχεία;

Μήπως δίνοντας το εξής παράδειγμα πείραματος τύχης: Έχω δύο χρωματιστά αμερόληπτα ζάρια, ένα μπλε και ένα κόκκινο. Διαλέγω ένα κ το ρίχνω, μετά παίρνω το άλλο και το ρίχνω. (72 στοιχεία;)

Έχει σημασία να ορίσουμε τη δηλώνουν οι δύο συντεταγμένες κάθε ζεύγους. Το ότι ρίχνουμε δύο αμερόληπτα ζάρια ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ έχει νόημα να μιλάμε για πρώτη και δεύτερη συντεταγμένη;

[Christos.N]

Καλέ μου φίλε.

Με το παράδειγμα σου "δύο χρωματιστά ζάρια" ο δειγματικός χώρος που προκύπει πάλι 36 είναι, π.χ.. κόκκινο 1 μπλέ 2 και αντίστροφα κόκκινο 2 μπλέ 1.

στις "διπλές" πάλι λειτουργεί, κόκκινο 1 και μπλέ 1 απλά δεν αντιστρέφεται αφού είναι ταυτόσημο.

Τώρα απο παλιότερη συζήτηση με ταβλαδόρους το θέμα είναι ότι 21 είναι τα διαφορετικά αθροίσματα. Όμως ο δειγματικός χώρος παραμένει ίδιος 36 σε πλήθος.

Φιλικά.

[dimplak]

Αυτό που ρωτάω είναι πως μπορείς στο συγκεκριμένο παράδειγμα να εξηγήσεις με απλά λόγια την έννοια του ισοπίθανου ενδεχόμενου.

[Λάμπρος Ευσταθίου]

Τότε με ρώτησε γιατί να μην θεωρήσουμε διπλή φορά και τα ζεύγη (1,1), ... , (6,6);

Τι μπορούμε να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση;

Έχει σημασία να ορίσουμε τη δηλώνουν οι δύο συντεταγμένες κάθε ζεύγους. Το ότι ρίχνουμε δύο αμερόληπτα ζάρια ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ έχει νόημα να μιλάμε για πρώτη και δεύτερη συντεταγμένη;

Όταν θέλουμε να φέρουμε "ασσόδυο" {1,2}, υπάρχουν δυο επιλογές:
-το πρώτο ζάρι 1 και το δεύτερο ζάρι 2, δηλαδή (1,2)
-το πρώτο ζάρι 2 και το δεύτερο ζάρι 1, δηλαδή (2,1)

και άρα έχουμε 2 δυνατά αποτελέσματα που ικανοποιούν το απλό ενδεχόμενο {1,2} με Ρ[{1,2}]=1/18.


Όταν θέλουμε να φέρουμε "διπλές" {2,2}, υπάρχει μια και μόνο επιλογή:
-το πρώτο ζάρι 2 και το δεύτερο ζάρι 2, δηλαδή (2,2)

και άρα έχουμε μόνο 1 δυνατό αποτέλεσμα που ικανοποιεί το απλό ενδεχόμενο {2,2} με Ρ[{2,2}]=1/36.


Ταυτόχρονα ή μη, εδώ δεν έχει καμία σημασία, εξάλλου η δυο ρίψεις είναι ανεξάρτητες! Δεν επηρεάζει η μία την έκβαση της άλλης.

Μόνο όταν μας ενδιαφέρει η διάταξη (δηλαδή τι νούμερο θα φέρουμε πρώτο και τι δεύτερο), έχει νόημα. Αλλά τότε (1,2) διάφορο του (2,1) και Ρ[(1,2)]=Ρ[(2,1)]=1/36 =Ρ[(2,2)].

[Λάμπρος Ευσταθίου]

Όμως ο δειγματικός χώρος παραμένει ίδιος 36 σε πλήθος.

Ο δειγματικός χώρος μπορεί να αλλάζει κάθε φορά ανάλογα με τα ερωτήματα που μας απασχολούν.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση έχει 11 απλά (μη ισοπίθανα) ενδεχόμενα και είναι ο Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.

Πως πρέπει να διατυπωθεί το πείραμα ώστε ο δειγματικός χώρος να εχει 21 στοιχεία;

Όταν δεν μας ενδιαφέρει η διάταξη, ο δειγματικός χώρος έχει 21 απλά (μη ισοπίθανα) ενδεχόμενα και είναι ο Ω={{i,j}|i,j=1,2,...,6 με i<=j} ή αναλυτικότερα
Ω={{1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,2},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,3},{3,4},{3,5},{3,6},{4,4},{4,5},{4,6},{5,5},{5,6},{6,6}}.

Όταν μας ενδιαφέρει η διάταξη, ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={(i,j)|i,j=1,2,...,6} με τα γνωστά 36 απλά και ισοπίθανα ενδεχόμενα.

[Christos.N]

Στη συγκεκριμένη περίπτωση έχει 11 απλά (μη ισοπίθανα) ενδεχόμενα και είναι ο Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.

Μόλις μου ξεκλείδωσε κάτι που δεν μπορούσα να το εκφράσω εως τώρα, σε ευχαριστώ πολύ!!!