Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#301

Άσκηση 128

(α) Πόσοι αναγραμματισμοί υπάρχουν της λέξης ΣΗΜΕΡΑ; (Π.χ. το ΗΜΡΑΕΣ είναι ένας τέτοιος αναγραμματισμός. Δεν είναι απαραίτητο ο αναγραμματισμός να έχει νόημα.)

(β) Πόσοι αναγραμματισμοί υπάρχουν της λέξης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

(γ) Σε πόσους από τους αναγραμματισμούς της λέξης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ δεν εμφανίζονται δυο συνεχόμενα όμοια γράμματα. (Π.χ. απαγορεύουμε τον αναγραμματισμό ΜΑΑΘΗΜΑΤΙΚ κ.τ.λ.)

Γιώτα · #302

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Και μια ακόμα λύση για την άσκηση 123:

Έχουμε:

$5(x^{2}+y^{2}+2xy)=2x+4y+5xy+9\Leftrightarrow 5y^{2}+(5x-4)y+5x^{2}-2x-9=0 \Delta =(5x-4)^{2}-20(5x^{2}-2x-9)=-75x^{2}+196 \Delta \geq 0\Rightarrow \left|x \right|\leq \frac{14\sqrt{3}}{15}\Rightarrow -\sqrt{3}\leq \frac{-14\sqrt{3}}{15}\leq x\leq \frac{14\sqrt{3}}{15}\leq \sqrt{3}$

Και αφού ο χ είναι ακέραιος, θα πρέπει x=-1 ή x=0 ή x =1

* Αν x=-1 τότε έχουμε: $5y^{2}-9y+5+2-9=0\Leftrightarrow 5y^{2}-9y-2=0$

$\Delta ' =81+40=121$

Άρα $y=\frac{9\pm \sqrt{121}}{10}=\frac{9\pm 11}{10}=2$ (εφ όσον ο y ε'ιναι ακέραιος

*Αν x=0 τότε ομοίως βρίσκουμε y=-1

*Αν x=1 όμοια βρίσκουμε ότι y=1

Πολύ ωραία η λύση σας ,αλλά έχω δυο απορίες.
1η
$\Delta =(5x-4)^{2}-20(5x^{2}-2x-9)=-75x^{2}+196$
Άρα:
$\Delta \geq 0\Rightarrow-75x^{2}+196\geq 0\Rightarrow x^{2}\leq 2,6133...$
Επομένως επειδή χ ακέραιος οι μονές τιμές που μπορεί να πάρει είναι 1. -1 ,0 .
Καθώς
$2^2\leq 2,6133....$ είναι άτοπο
Και $(-2)^2\leq 2,61333...$ άτοπο
Θα μπορούσα να το διαχειριστώ και έτσι ;
2η
Επειδή και εγώ ξεκίνησα να λύνω με τον ίδιο τρόπο την άσκηση( δηλ. με τη βοήθεια της διακρίνουσας) αλλά παίρνοντας ως μεταβλητή το χ , με αποτέλεσμα να μην οδηγηθώ πουθενά , επειδή η διακρίνουσας βγήκε συνάρτηση του y^2

και του

.
Οπότε εκεί σταμάτησα.
Εσείς πως σκεφτήκατε να χρησιμοποιήσετε ως μεταβλητή το

.
Υπάρχει κάποιος τρόπος ή και εσείς ξεκινήσατε πρώτα με το χ και είδατε ότι δεν μπορεί να προχωρήσει.

#303

Γιώτα έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Και μια ακόμα λύση για την άσκηση 123:

Έχουμε:

$5(x^{2}+y^{2}+2xy)=2x+4y+5xy+9\Leftrightarrow 5y^{2}+(5x-4)y+5x^{2}-2x-9=0 \Delta =(5x-4)^{2}-20(5x^{2}-2x-9)=-75x^{2}+196 \Delta \geq 0\Rightarrow \left|x \right|\leq \frac{14\sqrt{3}}{15}\Rightarrow -\sqrt{3}\leq \frac{-14\sqrt{3}}{15}\leq x\leq \frac{14\sqrt{3}}{15}\leq \sqrt{3}$

Και αφού ο χ είναι ακέραιος, θα πρέπει x=-1 ή x=0 ή x =1

* Αν x=-1 τότε έχουμε: $5y^{2}-9y+5+2-9=0\Leftrightarrow 5y^{2}-9y-2=0$

$\Delta ' =81+40=121$

Άρα $y=\frac{9\pm \sqrt{121}}{10}=\frac{9\pm 11}{10}=2$ (εφ όσον ο y ε'ιναι ακέραιος

*Αν x=0 τότε ομοίως βρίσκουμε y=-1

*Αν x=1 όμοια βρίσκουμε ότι y=1

Πολύ ωραία η λύση σας ,αλλά έχω δυο απορίες.
1η
$\Delta =(5x-4)^{2}-20(5x^{2}-2x-9)=-75x^{2}+196$
Άρα:
$\Delta \geq 0\Rightarrow-75x^{2}+196\geq 0\Rightarrow x^{2}\leq 2,6133...$
Επομένως επειδή χ ακέραιος οι μονές τιμές που μπορεί να πάρει είναι 1. -1 ,0 .
Καθώς
$2^2\leq 2,6133....$ είναι άτοπο
Και $(-2)^2\leq 2,61333...$ άτοπο
Θα μπορούσα να το διαχειριστώ και έτσι ;
2η
Επειδή και εγώ ξεκίνησα να λύνω με τον ίδιο τρόπο την άσκηση( δηλ. με τη βοήθεια της διακρίνουσας) αλλά παίρνοντας ως μεταβλητή το χ , με αποτέλεσμα να μην οδηγηθώ πουθενά , επειδή η διακρίνουσας βγήκε συνάρτηση του και του .
Οπότε εκεί σταμάτησα.
Εσείς πως σκεφτήκατε να χρησιμοποιήσετε ως μεταβλητή το .
Υπάρχει κάποιος τρόπος ή και εσείς ξεκινήσατε πρώτα με το χ και είδατε ότι δεν μπορεί να προχωρήσει.

Γιώτα, ως προς το πρώτο ερώτημα, σωστά το έχεις δει.

Ως προς το δεύτερο, πράγματι, όταν το θεώρησα τριώνυμο ως προς χ δεν μου άρεσε η διακρίνουσα, ενω όταν το θεώρησα ως προς y είδα ότι περπατάει.

Από ότι έχω λοιπόν αντιληφθεί έχεις για τα καλά μπει στο νόημα και θα έχεις μια άριστη πορεία στο μέλλον.

ΕΝΑ ΜΕΓΑΛΟ ΜΠΡΑΒΟ

#304

Άσκηση 129

Να βρείτε τον ακέραιο αριθμό

από την παρακάτω σχέση :

$\displaystyle \frac { 2008x+2009}{2010x+2011}= \frac { 2009x+2010}{2011x+2012}$

Μπάμπης

#305

S.E.Louridas έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 127

Πόσες είναι οι παραγοντοποιήσεις του 441.000 σε δύο παράγοντες μεγαλύτερους της μονάδας που οι παράγοντες αυτοί να είναι πρώτοι μεταξύ τους;

(*) Δύο θετικοί ακέραιοι m, n >1 είναι πρώτοι μεταξύ τους, όταν ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους είναι 1, συμβολίζουμε (m,n)=1.

S.E.Louridas

Λίγα λόγια πάνω στην συγκεκριμένη άσκηση αλλά και σε αρκετές παρόμοιες ασκήσεις. Μια στρατηγική επίλυσης προβλημάτων συνοψίζεται στο εξής: «Αν δεν μπορείς να λύσεις ένα πρόβλημα, τότε βρες και λύσε ένα πιο εύκολο πρόβλημα το οποίο σχετίζεται με το αρχικό.»

Για παράδειγμα εδώ ίσως να φοβίζει ο αριθμός 441.000. Προσπαθήστε λοιπόν να λύσετε το ίδιο πρόβλημα με πιο μικρούς αριθμούς μέχρι να ανακαλύψετε τι συμβαίνει.

Α.Κυριακόπουλος · #306

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Άσκηση 115.
Θεωρούμε ένα τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ . Παίρνουμε, στην πλευρά του ${\rm A}{\rm B}$ ένα σημείο $\Delta$ με ${\rm A}\Delta = \frac{5}{{12}}{\rm A}{\rm B}$ , στην πλευρά του ${\rm B}\Gamma$ ένα σημείο ${\rm E}$ με $\displaystyle{{\rm B}{\rm E} = \frac{1}{3}{\rm B}\Gamma }$ και στην πλευρά του $\Gamma {\rm A}$ ένα σημείο ${\rm Z}$ με $\Gamma {\rm Z} = \frac{1}{4}\Gamma {\rm A}$ . Τα τμήματα ${\rm A}{\rm E}$ και ${\rm B}{\rm Z}$ τέμνονται στο σημείο ${\rm K}$ , τα ${\rm B}{\rm Z}$ και $\Gamma \Delta$ στο σημείο $\Lambda$ και τα $\Gamma \Delta$ και ${\rm A}{\rm E}$ στο σημείο ${\rm M}$ . Να αποδείξετε ότι: $({\rm K}\Lambda {\rm M}) = ({\rm A}{\rm M}\Delta ) + ({\rm B}{\rm K}{\rm E}) + (\Gamma \Lambda {\rm Z}).$

ΛΥΣΗ.Ονομάζουμε ${\upsilon _\alpha }$ το ύψος του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ από το ${\rm A}$ . Έχουμε: $({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = \frac{1}{2}{\rm B}\Gamma \cdot {\upsilon _\alpha }$ και $({\rm A}{\rm B}{\rm E}) = \frac{1}{2}{\rm B}{\rm E} \cdot {\upsilon _\alpha } = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}{\rm B}\Gamma \cdot {\upsilon _\alpha } = \frac{1}{3}({\rm A}{\rm B}\Gamma )$ . Όμοια βρίσκουμε ότι: $({\rm B}\Gamma {\rm Z}) = \frac{1}{4}({\rm A}{\rm B}\Gamma )$ και $(\Gamma {\rm A}\Delta ) = \frac{5}{{12}}({\rm A}{\rm B}\Gamma )$ . Έτσι, προσθέτοντας κατά μέλη, βρίσκουμε:
$\displaystyle{\begin{array}{l} ({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = ({\rm A}{\rm B}{\rm E}) + ({\rm B}\Gamma {\rm Z}) + (\Gamma {\rm A}\Delta ) \Rightarrow ({\rm A}{\rm M}\Delta ) + (\Delta {\rm B}{\rm K}{\rm M}) + ({\rm B}{\rm K}{\rm E}) + ({\rm E}\Gamma \Lambda {\rm K}) + (\Gamma \Lambda {\rm Z}) + \\ + ({\rm Z}{\rm A}{\rm M}\Lambda ) + ({\rm K}\Lambda {\rm M}) = ({\rm A}\Delta {\rm M}) + (\Delta {\rm B}{\rm K}{\rm M}) + ({\rm B}{\rm E}{\rm K}) + ({\rm B}{\rm K}{\rm E}) + ({\rm E}\Gamma \Lambda {\rm K}) + (\Gamma {\rm Z}\Lambda ) + \\ + (\Gamma \Lambda {\rm Z}) + ({\rm Z}{\rm A}{\rm M}\Lambda ) + ({\rm A}{\rm M}\Delta ) \Rightarrow ({\rm K}\Lambda {\rm M}) = ({\rm A}{\rm M}\Delta ) + ({\rm B}{\rm K}{\rm E}) + (\Gamma \Lambda {\rm Z}). \\ \end{array}}$

: sx.1.PNG (11.9 KiB) Προβλήθηκε 2296 φορές

Γιώτα · #307

Άσκηση 129 - ΛΥΣΗ

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Άσκηση 129

Να βρείτε τον ακέραιο αριθμό από την παρακάτω σχέση :

$\displaystyle \frac { 2008x+2009}{2010x+2011}= \frac { 2009x+2010}{2011x+2012}$

Μπάμπης

Κάνω χιαστή:
$(2008x+2009)(2011x+2012)=(2010x+2011)(2009x+2010)\Leftrightarrow$
(2008x+2009)(2009x+2x+2010+2)=(2008x+2x+2009+2)(2009x+2010)

Έστω

,

$(ax+b)[bx+c+2(x+1)]=[ax+b+2(x+1)](bx+c)\Leftrightarrow$
$abx^2+acx+2ax(x+1)+b^2x+bc+2b(x+1)=abx^2+b^2x+2bx(x+1)+acx+cb+2c(x+1) \Leftrightarrow$
$2ax(x+1)+2b(x+1)=2bx(x+1)+2c(x+1)\Leftrightarrow$
$2ax(x+1)+2b(x+1)-2bx(x+1)-2c(x+1)=0\Leftrightarrow 2(x+1)(ax+b-bx-c)=0$

Άρα ή
$x+1=0\Leftrightarrow x=-1$ ή
$ax+b-bx-c=0\Leftrightarrow 2008x+2009-2009x-2010=0\Leftrightarrow x=-1$

S.E.Louridas · #308

Γιά την ΑΣΚΗΣΗ 127

Ο Demetres ανέφερε την Σημαντικώτατη Μεθοδολογική στρατηγική επίλυσης σε τέτοιες περιπτώσεις που είναι:
''Λίγα λόγια πάνω στην συγκεκριμένη άσκηση αλλά και σε αρκετές παρόμοιες ασκήσεις. Μια στρατηγική επίλυσης προβλημάτων συνοψίζεται στο εξής: «Αν δεν μπορείς να λύσεις ένα πρόβλημα, τότε βρες και λύσε ένα πιο εύκολο πρόβλημα το οποίο σχετίζεται με το αρχικό.»
Για παράδειγμα εδώ ίσως να φοβίζει ο αριθμός 441.000. Προσπαθήστε λοιπόν να λύσετε το ίδιο πρόβλημα με πιο μικρούς αριθμούς μέχρι να ανακαλύψετε τι συμβαίνει.''
Θά ήθελα και γώ με την σειρά μου, πρίν ανέβει η Λύση, να πώ ότι όταν δίνονται αριθμοί όπως εδώ που δόθηκε ο αριθμός 441.000 ή γιά τον απλούστερο που θα επιλέξουμε γιά να καθοδηγηθούμε, θα πρέπει να ήμαστε έτοιμοι να τούς αναλύουμε σε γινόμενο δυνάμεων που οι βάσεις τους να είναι αριθμοί πρώτοι.

S.E.Louridas

#309

Δίνω και μια ακόμα λύση για την άσκηση 129 (που ήδη μας έχει λύσει η Γιώτα)

Μια σπουδαία ιδιότητα των αναλογιών είναι η εξής:

Αν $\frac{x}{y}=\frac{z}{w}$ τότε $\frac{x}{y}=\frac{z}{w}=\frac{x\pm z}{y\pm w}$

(με την προϋπόθεση να μην μηδενίζεται κάποιος παρονομαστής)

Έχουμε λοιπόν

$\frac{2008x+2009}{2010x+2011}=\frac{2009x+2010}{2011x+2012}=\frac{2008x+2009-2009x-2010}{2010x+2011-2011x-2012}=\frac{-x-1}{-x-1}=1$

Άρα $\frac{2008x+2009}{2010x+2011}=1\Leftrightarrow 2008x+2009=2010x+2011\Leftrightarrow 2x=-2\Leftrightarrow x=-1$

H τιμή όμως αυτή που βρήκαμε μηδενίζει τον παρονομαστή κάποιων από τα παραπάνω κλάσματα και άρα δεν μπορούμε να την δεχτούμε. Μοιάζει λοιπόν η εξίσωση αδύνατη. Όμως η ιδιότητα των αναλογιών που χρησιμοποιήσαμε ισχύει με την προϋπόθεση ότι ο παρονομαστής του κλάσματος που προκύπτει να είναι διάφορος του μηδενός.
Με άλλα λόγια αν οι παρονομαστές των δύο ίσων κλασμάτων είναι ίσοι τότε δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την ιδιότητα.
Εξετάζοντας λοιπόν την περίπτωση να είναι ίσοι οι παρονομαστές της δοσμένης εξίσωσης, βρίσκουμε χ=-1 .Η τιμή αυτή παρατηρούμε ότι επαληθεύει την εξίσωση. Άρα τελικά είναι η λύση της.

(Μπάμπη, πράγματι ήταν απαραίτητη η επισήμανση) (αρκετά διδακτική η άσκηση)

#310

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Demetres έγραψε:Άσκηση 124
Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός . Να δειχθεί ότι υπάρχουν ακέραιοι με $1 \leqslant n \leqslant 4$ ώστε $|m-nx| \leqslant 1/3$ .
Και για να την "δυσκολέψουμε" λίγο (*) δείξτε ότι αν $N\in \mathbb N^ *$ , τότε υπάρχουν ακέραιοι με $1 \leqslant n \leqslant N+1$ ώστε $|m-nx| \leqslant 1/N$ .
(*) Ίδια τεχνική, αλλά η γενίκευση προδίδει κάπως το ζητούμενο.

Έστω οι

αριθμοί $x-[x],2x-[2x],...,\left(N+1 \right)x-[\left(N+1 \right)x]$ . Όλοι τους ανήκουν στο διάστημα $\left[0,1 \right]$ . Το $\left[0,1 \right]$ χωρίζεται σε Ν υποδιαστήματα $\displaystyle{\left[0,\frac{1}{N} \right],\left[\frac{1}{N},\frac{2}{N} \right],...,\left[\frac{N-1}{N} ,1\right]}$ .

Από την αρχή της περιστεροφωλιάς δύο από τους N+1

αριθμούς, έστω οι kx-[kx],sx-[sx]

με $1\leq k<s\leq N+1$ θα ανήκουν στο ίδιο υποδιάστημα πλάτους $\displaystyle{\frac{1}{N}}$ .
Άρα $\displaystyle{\left|\left(s-k \right)x-\left([sx]-[kx] \right) \right|\leq \frac{1}{N}}$ .

Θέτουμε n=s-k

και

. Τότε $1\leq n=s-k\leq N$ .

#311

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Demetres έγραψε:Άσκηση 124
Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός . Να δειχθεί ότι υπάρχουν ακέραιοι με $1 \leqslant n \leqslant 4$ ώστε $|m-nx| \leqslant 1/3$ .
Και για να την "δυσκολέψουμε" λίγο (*) δείξτε ότι αν $N\in \mathbb N^ *$ , τότε υπάρχουν ακέραιοι με $1 \leqslant n \leqslant N+1$ ώστε $|m-nx| \leqslant 1/N$ .
(*) Ίδια τεχνική, αλλά η γενίκευση προδίδει κάπως το ζητούμενο.
Έστω οι αριθμοί $x-[x],2x-[2x],...,\left(N+1 \right)x-[\left(N+1 \right)x]$ . Όλοι τους ανήκουν στο διάστημα $\left[0,1 \right]$ . Το $\left[0,1 \right]$ χωρίζεται σε Ν υποδιαστήματα $\displaystyle{\left[0,\frac{1}{N} \right],\left[\frac{1}{N},\frac{2}{N} \right],...,\left[\frac{N-1}{N} ,1\right]}$ .

Από την αρχή της περιστεροφωλιάς δύο από τους αριθμούς, έστω οι με $1\leq k<s\leq N+1$ θα ανήκουν στο ίδιο υποδιάστημα πλάτους $\displaystyle{\frac{1}{N}}$ .
Άρα $\displaystyle{\left|\left(s-k \right)x-\left([sx]-[kx] \right) \right|\leq \frac{1}{N}}$ .

Θέτουμε και . Τότε $1\leq n=s-k\leq N$ .

Επειδή τις σελίδες αυτού του θέματος διαβάζουν και μαθητές Γυμνασίου, ας εξηγήσουμε το σύμβολο [χ] που χρησιμοποίησε ο Παύλος πιο πάνω:

Το σύμβολο λοιπόν [χ] διαβάζεται: Το ακέραιο μέρος του (πραγματικού) αριθμού χ.

Για παράδειγμα, έχουμε: [3,254]=3, [0,376]=0 , [-2,35]=-3, [7]=7

Δηλαδή το ακέραιο μέρος ενός δεκαδικού αριθμού είναι ο αμέσως προηγούμενος ακέραιος από αυτόν τον αριθμό.

Αν ο αριθμός χ είναι ακέραιος, τότε ισχύει [χ]=χ

Μάλιστα, ισχύει η εξής ανισότητα: $\left[x \right]\leq x<\left[x \right]+1$

Επίσης αν χ είναι πραγματικός αριθμός και κ ακέραιος, τότε $\left[x+k \right]=[x]+k$

marmix · #312

συγγνωμη αλλα θελω να κανω μια παρενθεση...
αυτα ολα τα θεματα θεωρουνται γυμνασιου???
εγω μολις τελειωσα την 3η γυμνασιου και τις 2 χρονιες που συμμετειχα στον αρχιμηδη δεν εχω αντιμετωπισει παρομοια θεματα με ορισμενα απο αυτα!!

υ.γ.Δεν παραπαπονουμαι για τα θεματα,απλως ρωταω.

#313

marmix έγραψε:<...> δεν εχω αντιμετωπισει παρομοια θεματα με ορισμενα απο αυτα!!

To mathematica είναι ένα μεγάλο σχολείο. Όλοι μαθαίνουν από αυτό.

Επίσης, και το λέω με απόλυτη επίγνωση, η συμβολή του mathematica στα μαθηματικά δρώμενα του τόπου είναι σπάνια και αξιοσημείωτη.

Χαιρόμαστε που βρίσκουν βήμα εδώ οι διψώντες για μάθηση.

Φιλικά,

Μιχάλης

#314

Θα ήθελα και εγώ να πώ, ότι όπως λέει και ο Μιχάλης, το mathematica είναι ένα μεγάλο σχολείο όχι μόνο για τους μαθητές μας αλλά και για εμας τους εκπαιδευτικούς που προετοιμάζουμε τα παιδιά για τέτοιους διαγωνισμούς. Στις σελίδες αυτές μπαίνουν θέματα που μπορούν να αντιμετωπιστούν από μαθητές Γυμνασίου αλλά και άλλα που δεν μπορούν βέβαια να αντιμετωπιστούν, όμως με κατάλληλη συζήτηση με τους καθηγητές θα μπορέσουν να ανοίξουν νέοι ορίζοντες στην γνώση. Ας μην απογοητεύονται λοιπόν οι μικροί μας φίλοι, γιατί προετοιμάζουμε το έδαφος για κάτι πιο σπουδαίο από το συνηθισμένο.

Α.Κυριακόπουλος · #315

ΑΣΚΗΣΗ 130 :
Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y, z

και

,για τις οποίους ισχύουν:
$x + y + z + w = - 4~~ (1) ~~ \underline{\kappa \alpha \iota} ~~ {x^8} + {y^8} + {z^8} + {w^8} = 4 ~~ (2)$

vzf · #316

ΑΣΚΗΣΗ 131 :
Άν a,b,c

είναι περιττοί ακέραιοι, αποδείξτε ότι η ax^2+bx+c=0

δεν έχει ρητή λύση.

ΑΣΚΗΣΗ 132 :
Oι τιμές των a,b,c,d

είναι

όχι απαραίτητα με αυτή τη σειρά. Ποιά είναι η μέγιστη πιθανή τιμή του ab+bc+cd+da;

ΑΣΚΗΣΗ 133 :
Αποδείξτε ότι αν $r \geq s\geq t$ τότε $\displaystyle r^2-s^2+t^2 \geq(r-s+t)^2$

spiros filippas · #317

vzf έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 131 :

Άν είναι περιττοί ακέραιοι, αποδείξτε ότι η δεν έχει ρητή λύση.

Αρκεί να δείξουμε οτί η διακρίνουσα του τριωνύμου δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Πρίν πάμε όμως σε αυτό θα κάνουμε την εξης παρατήρηση: Τα δυνατά υπόλοιπα ενός τέλειου τετραγώνου στην διαίρεση του με το 8 είναι 0,1 καί 4. Πράγματι, κάνοντας τις πράξεις σε κάθε περίπτωση ( n=8k+1, n=8k+2...) καταλήγουμε σε αυτο το συμπέρασμα.

Επιστρέφουμε στο πρόβλημα καί έχουμε D=b^2-4ac

Aφού όμως a,b,c περιττοί ακέραιοι μπορούμε να γράψουμε:

b^2=8l+1

(ως τετράγωνο περιττού)

c=2m+1

Άρα

$D=8l+1-4(2n+1)(2m+1)=8l+1-4(2k+1)=8l+1-8k-4=\pi o\lambda 8-3=\pi o\lambda 8+5$

το οποιό δεν μπορεί να είναι τελειο τετράγωνο συμφωνα με τα παραπάνω.

#318

Demetres έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 114 :

Έστω $n \geqslant 4$ θετικός ακέραιος και αριθμοί $x_1,\ldots,x_n$ ώστε κάθε ένας από αυτούς να ισούται είτε με 1 είτε με -1. Αν $x_1x_2x_3x_4 + x_2x_3x_4x_5 + \cdots + x_nx_1x_2x_3 = 0$ να δειχθεί ότι ο είναι πολλαπλάσιο του 4.

Έχει ήδη απαντηθεί σωστά από τον Σπύρο, αλλά μιας και ο σκοπός της άσκησης είναι να εξοικειωθούμε με την χρήση αναλλοίωτων δίνω και μια διαφορετική απάντηση.

Ας πάρουμε κάποιο x_i

που ισούται με -1 και ας το αλλάξουμε σε +1. Υπάρχουν ακριβώς τέσσερις όροι που περιλαμβάνουν το x_i

και θα αλλάξουν όλοι πρόσημο. Αν π.χ. ήταν και οι τέσσερις ίσοι με 1 θα γίνουν και οι τέσσερις ίσοι με -1, αν τρεις ήταν ίσοι με 1 και ένας με -1 τότε τρεις θα γίνουν ίσοι με -1 και ένας με 1 κ.τ.λ. Τι αλλαγή γίνεται στο άθροισμα $S = x_1x_2x_3x_4 + x_2x_3x_4x_5 + \cdots + x_nx_1x_2x_3$ ; Το

δεν είναι αναλλοίωτο αλλά αν κοιτάξουμε μία προς μια τις πιθανές περιπτώσεις, είτε θα αυξηθεί κατά 4 ή 8, είτε θα μειωθεί κατά 4 ή 8 είτε θα μείνει το ίδιο. Σε όλες λοιπόν τις περιπτώσεις αυτό που μένει αναλλοίωτο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του

με το 4. Και εφ' όσων αρχικά είχαμε S = 0

τότε όσες αλλαγές και να κάνουμε θα έχουμε τελικά ότι το

είναι πολλαπλάσιο του 4. Αν όμως κάνουμε όλες τις αλλαγές από -1 σε 1 το

θα γίνει ίσο με

. Άρα λοιπόν το

πρέπει απαραίτητα να είναι πολλαπλάσιο του 4.

#319

vzf έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 131 :

Άν είναι περιττοί ακέραιοι, αποδείξτε ότι η δεν έχει ρητή λύση.

Άλλη λύση, διαφορετική από την ωραία αντιμετώπιση του Σπύρου παραπάνω:

Αν $\frac{p}{q}$ ρητή ρίζα, μπορούμε χωρίς βλάβη να υποθέσουμε οτι οι p,q

δεν είναι και οι δύο άρτιοι.

Είναι ap^2+bpq+cq^2=0

.

- Αν p,q

περιττοί τότε 0=ap^2+bpq+cq^2

=(περιττός) +(περιττός) +(περιττός) =(περιττός) , άτοπο.
-Aν

άρτιος,

περιττός τότε 0=ap^2+bpq+cq^2

=(άρτιος) + (άρτιος) +(περιττός) =(περιττός), άτοπο.
-Aν

περιττός,

άρτιος τότε 0=ap^2+bpq+cq^2

= (περιττός) + (άρτιος) + (άρτιος) =(περιττός), άτοπο.

Φιλικά,

Μιχάλης

konstantinos21 · #320

vzf έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 133 :
Αποδείξτε ότι αν $r \geq s\geq t$ τότε $\displaystyle r^2-s^2+t^2 \geq(r-s+t)^2$

Ισοδύναμα έχουμε ότι:
$\left( r-s \right)\left( r+s \right)+{{t}^{2}}\ge {{\left( r-s \right)}^{2}}+2t\left( r-s \right)+{{t}^{2}}\Leftrightarrow$
$\left( r-s \right)\left( r+s \right)-{{\left( r-s \right)}^{2}}-2t\left( r-s \right)\ge 0\Leftrightarrow$
$\left( r-s \right)\left( r+s-r+s-2t \right)\ge 0\Leftrightarrow 2\left( r-s \right)\left( s-t \right)\ge 0$

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Μέλη σε σύνδεση