Μονοτονία

[michelm]

Άσκηση: Έστω f:R->R με f΄(x)#0 για κάθε x. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη.
Λύση: 1ος τρόπος
Αν υποθέσουμε ότι η f δεν είναι "1-1" τότε εύκολα με τη
βοήθεια του Θ.Rolle φτάνουμε σε άτοπο,
άρα η f είναι "1-1" οπότε με τη βοήθεια του Θ.Ενδ.Τιμών
αποδεικνύουμε ότι για οποιαδήποτε α<β<γ είναι
f(α)<f(β)<f(γ) ή f(α)>f(β)>f(γ) οπότε η f είναι
γν.μονότονη (η απόδ.γίνεται
αποκλείοντας π.χ. f(β)<f(α)<f(γ) (1) αφού αν αλήθευε
η (1) τότε θα υπήρχε ξ στο (β.γ) ώστε f(ξ)=f(α) που είναι
άτοπο αφου η f είναι "1-1")
2ος τρόπος
Η f δεν έχει ακρότατα γιατί αν είχε τότε σύμφωνα με το
Θ.Fermat θα μηδενιζόταν η παράγωγος, άτοπο.
Άρα αφου f συνεχής στο R και δεν έχει ακρότατα τότε
δεν αλλάζει μονοτονία άρα είναι γν,μονότονη.

Παρατηρείτε κάποιο πρόβλημα στη λύση; ιδιαίτερα στο 2ο τρόπο

[k-ser]

Ο 1ος τρόπος εντάξει.

Στο 2ο τρόπο:
Έχουμε μια συνάρτηση f συνεχή στο IR η οποία δεν έχει τοπικά ακρότατα.
Η συνάρτηση αυτή θα διατηρεί μονοτονία στο IR.
Απόδειξη.
Έστω ότι αυτό δεν συμβαίνει.
Τότε, θα υπάρχουν α, β, γ με α<β<γ ,
ώστε f(α) μεταξύ των f(β), f(γ) ή f(γ) μεταξύ των f(α), f(β)
συνεπώς
η συνάρτηση f δεν θα έχει ακρότατο στο [α,γ] και στο α και στο γ.
Όμως, η f, λόγω συνέχειας θα έχει στο [α,γ] και ελάχιστο και μέγιστο. Ένα τουλάχιστον εξ' αυτών θα συμβαίνει σε εσωτερικό σημείο του [α,γ]. Έτσι όμως, η f θα είχε τοπικό ακρότατο, το οποίο είναι άτοπο.

[Μπάμπης Στεργίου]

Τελικά ο πρώτος τρόπος είναι και ο πιο γενικός , αφού επεκτείνεται και για συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες σε διάστημα και όχι υποχρεωτικά στο IR.Ο δεύτερος τρόπος του michelm είναι γενικά σωστός, αλλά σε σχολικό επίπεδο έχει ένα μικρό κενό που συμπλήρωσε ο Κώστας.Στην ουσία λοιπόν οδηγούμαστε στον πρώτο τρόπο.

ΣΧΟΛΙΟ(λόγω εξετάσεων!)
Δεν φαντάζομαι να τεθεί θέμα που να προϋποθέτει αυτό το θεώρημα, ούτε και να ζητηθεί να αποδειχθεί το ίδιο !
Η ύλη είναι μεγάλη και υπάρχουν εκατοντάδες ωραία θέματα που μπορούν να γεννηθούν σε ένα βράδυ από μια επιτροπή αξιόλογων συναδέλφων. Θα είναι απερισκεψία να ξεφύγουν τέτοια ερωτήματα που στην ουσία αγγίζουν δύσκολα σημεία του απειροστικού λογισμού.
Ελπίζω να πρυτανεύσει η κοινή λογική και να κυλήσουν όλα όπως πρέπει.

Μπάμπης

[Τηλέγραφος Κώστας]

Μπαμπη εχει πεσει παρομοιο θεμα το 2005 επαναλητικες

Τελικά ο πρώτος τρόπος είναι και ο πιο γενικός , αφού επεκτείνεται και για συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες σε διάστημα και όχι υποχρεωτικά στο IR.Ο δεύτερος τρόπος του michelm είναι γενικά σωστός, αλλά σε σχολικό επίπεδο έχει ένα μικρό κενό που συμπλήρωσε ο Κώστας.Στην ουσία λοιπόν οδηγούμαστε στον πρώτο τρόπο.

ΣΧΟΛΙΟ(λόγω εξετάσεων!)
Δεν φαντάζομαι να τεθεί θέμα που να προϋποθέτει αυτό το θεώρημα, ούτε και να ζητηθεί να αποδειχθεί το ίδιο !
Η ύλη είναι μεγάλη και υπάρχουν εκατοντάδες ωραία θέματα που μπορούν να γεννηθούν σε ένα βράδυ από μια επιτροπή αξιόλογων συναδέλφων. Θα είναι απερισκεψία να ξεφύγουν τέτοια ερωτήματα που στην ουσία αγγίζουν δύσκολα σημεία του απειροστικού λογισμού.
Ελπίζω να πρυτανεύσει η κοινή λογική και να κυλήσουν όλα όπως πρέπει.

Μπάμπης

[Μπάμπης Στεργίου]

Μπαμπη εχει πεσει παρομοιο θεμα το 2005 επαναλητικες

Εννοείς αυτό με το '' αν η , ότι η f είναι 1 - 1 '';
Αυτό είναι καλό ερώτημα στο θεώρημα Rolle.Πιο πολύ αναφέρομαι στο θεώρημα του απειροστικού λογισμού :

'' αν η f είναι συνεχής και 1-1 στο διάστημα Δ, τότε αυτή είναι γνησίως μονότονη ''.

Αυτό δεν θα έπρεπε να το δούμε σε εξετάσεις, αλλά κανείς δεν εγγυάται το αντίθετο.

Συμφωνώ όμως με την κεντρική ιδέα του μηνύματός σου :

'' Τίποτα μην αποκλείεις στις εξετάσεις . Όλα μπορεί να πέσουν, με την μια ή την άλλη μορφή !!! ''

Έτσι ακριβώς είναι ! Και μάλιστα αυτή την γενική αρχή δεν την ξεχνώ ποτέ, ειδικά αν

προετοιμάζω υποψήφιους !

Μπάμπης

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Καλημέρα σε όλους.
Το 2005 νομίζω στα θέματα του Ιουλίου (άρρωστοι) μπήκε το ερώτημα αυτό και μάλιστα για την ιστορία του (πως και γιατί μπήκε, πότε είχε ξαναπροταθεί και είχε απορριφθεί )φίλε μου Μπάμπη έχω να σου πώ πολλά, από πρώτο χέρι.
Θωμάς