Μονοτονία

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Απάντηση
Plutarch
Δημοσιεύσεις: 37
Εγγραφή: Τρί Φεβ 10, 2009 11:25 am

Μονοτονία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Plutarch » Κυρ Φεβ 27, 2011 12:30 pm

Συνάντησα την παρακάτω άσκηση:
Να δείξετε ότι η f(x)=ln(1+x^2)-e^{-x}+1 είναι γνησίως αύξουσα.
Η λύση που σκέφτηκα είναι η παρακάτω:
f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}+e^{-x}\Rightarrow f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}+\frac{1}{e^x}\Rightarrow f'(x)=\frac{x^2+2e^xx+1}{(1+x^2)e^x}
ο παρανομαστής (1+x^2)e^x>0 άρα εξετάζω τον αριθμητή ως προς το πρόσημο. θέτω g(x)=x^2+2e^xx+1
Για x\geq0 \Rightarrow g(x)>0 για x<0 θεωρώ την g(x) σαν δευτεροβάθμια με \alpha=1, \beta=e^{-x}, \gamma=1, η διακρίνουσα είναι Δ=(2e^x)^2-4\cdot1 \cdot1=4e^{2x}-4=4(e^{2x}-1)<0 για x<0. Άρα g(x)>0 και για x<0 άρα g(x)>0 για κάθε x \in R
Επειδή f'(x)=\frac{g(x)}{(1+x^2)e^x} \Rightarrow f'(x)>0 άρα f(x) γνησίως αύξουσα
Υπάρχει κάποιο λάθος στο συλλογισμό? Υπάρχει άλλος τρόπος αντιμετώπισης του θέματος?


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6970
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Μονοτονία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Φεβ 27, 2011 12:50 pm

Μέχρι την εύρεση της παραγώγου θα έκανα το ίδιο.(Δε θα έκανα ομώνυμα τα κλάσματα)
Απο εκεί και πέρα:
Αν \displaystyle{ x \ge 0 } τότε προφανώς: \displaystyle{ f'(x) > 0 }
Τώρα αν \displaystyle{ x < 0 } έχω πως \displaystyle{ x^2 + 1 \ge - 2x \Rightarrow \frac{{ - 2x}}{{x^2 + 1}} \le 1 \Rightarrow \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \ge - 1(1) } αλλά και \displaystyle{ e^x < 1 \Rightarrow \frac{1}{{e^x }} > 1(2) }
Προσθέτοντας (1) και (2) έχω:

\displaystyle{ f'(x) > 0 }
Συνεπώς για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει: \displaystyle{ f'(x) > 0 }
Αρα η f γνήσια αύξουσα στο \mathbb{R}.

ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ:Μετά την ανάσυρση της άσκησης στις 12/02/2013 διόρθωσα μερικές παλιές μου "ατασθαλίες" στον κώδικα Latex.
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Τρί Φεβ 12, 2013 8:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Κυριαζής
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18258
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μονοτονία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 27, 2011 12:59 pm

Σωστό είναι (εκτός από ένα τυπογραφικό λάθος για την τιμή του β).

Με την ευκαιρία όμως, θα σου πρότεινα μικρή βελτίωση στην γραφή, με απεμπολή των περιττών.

Για παράδειγμα η
f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}+e^{-x}\Rightarrow f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}+\frac{1}{e^x}\Rightarrow f'(x)=\frac{x^2+2e^xx+1}{(1+x^2)e^x}

είναι σωστή αλλά έχει περιττή χρήση των "συνεπάγεται". Είναι καλύτερα να την γράψεις με ισότητες ως

f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}+e^{-x}= \frac{2x}{1+x^2}+\frac{1}{e^x} =\frac{x^2+2e^xx+1}{(1+x^2)e^x}.

Επίσης, όταν γράφεις την περίπτωση x<0 καλύτερα να αποφύγεις την διακρίνουσα και να γράψεις (πράγμα που είναι ακριβώς το ίδιο!)

x^2+2e^xx+1 = (x+e^x)^2 +1- e^{2x} > 0

και τελειώσαμε!

Στα μαθηματικά υπάρχει ένας άγραφος κανόνας που λέει ότι πρέπει να γράφουμε λιτά, χωρίς τα περιττά.

Η υπερβολική χρήση του "συνεπάγεται" σε περιπτώσεις που θα μπορούσαμε να βάλουμε ισότητα, είναι ένα παράδειγμα που το βλέπουμε πάρα πολύ συχνά σε μαθητές. Αργά ή γρήγορα κάποιοι (αλλά δυστυχώς όχι όλοι) αντιλαμβάνονται την λιτότερη γραφή.

Ελπίζω με αυτά να βοήθησα.

Φιλικά,

Μιχάλης


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες