το κυνήγι του ...ξ

Ιστοσελίδα · #1

Κυκλοφόρησε στην γειτονιά μας και σας την παρουσιάζω

Η συνάρτηση $\displaystyle{ f }$ είναι συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{ \left[ {0,10} \right] }$ και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ \left( {0,10} \right) }$ και επιπλέον ισχύουν: $\displaystyle{ f(0) = 0 }$ και $\displaystyle{ f(10) = 20 }$
Να δείξετε ότι υπάρχουν $\displaystyle{ \xi _1 ,\xi _2 ,\xi _3 ,\xi _4 \in \left( {0,10} \right) }$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{ \frac{1}{{f^{\prime}(\xi _1 )}} + \frac{1}{{f^{\prime}(\xi _2 )}} + \frac{1}{{f^{\prime}(\xi _3 )}} + \frac{1}{{f^{\prime}(\xi _4 )}} = 2 }$

mathxl · #2

Μία λύση Σπύρο
Κόντρα μπάσο ΘΕΤ στην f φορές
$\displaystyle{\exists {x_1} \in \left( {0,10} \right):f\left( {{x_1}} \right) = 15}$

$\displaystyle{\exists {x_2} \in \left( {0,{x_1}} \right):f\left( {{x_2}} \right) = 10}$

$\displaystyle{\exists {x_3} \in \left( {0,{x_2}} \right):f\left( {{x_3}} \right) = 5}$

Σούμπιτους 4 ΘΜΤ σε διαδοχικά διαστήματα
$\displaystyle{{\xi _1} \in \left( {0,{x_3}} \right):f'\left( {{\xi _1}} \right) = \frac{{f\left( {{x_3}} \right) - f\left( 0 \right)}}{{{x_3} - 0}} = \frac{5}{{{x_3}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{f'\left( {{\xi _1}} \right)}} = \frac{{{x_3}}}{5}}$

$\displaystyle{{\xi _2} \in \left( {{x_3},{x_2}} \right):f'\left( {{\xi _2}} \right) = \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_3}} \right)}}{{{x_2} - {x_3}}} = \frac{5}{{{x_2} - {x_3}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{f'\left( {{\xi _2}} \right)}} = \frac{{{x_2} - {x_3}}}{5}}$

$\displaystyle{{\xi _3} \in \left( {{x_2},{x_1}} \right):f'\left( {{\xi _3}} \right) = \frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{5}{{{x_1} - {x_2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{f'\left( {{\xi _3}} \right)}} = \frac{{{x_1} - {x_2}}}{5}}$

$\displaystyle{{\xi _4} \in \left( {{x_1},10} \right):f'\left( {{\xi _4}} \right) = \frac{{f\left( {10} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{10 - {x_1}}} = \frac{5}{{10 - {x_1}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{f'\left( {{\xi _4}} \right)}} = \frac{{10 - {x_1}}}{5}}$

προσθέτουμε κατά μέλη και παίρνουμε το γκλάμουρους αποτέλεσμα

#3

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Κυκλοφόρησε στην γειτονιά μας και σας την παρουσιάζω

Η συνάρτηση $\displaystyle{ f }$ είναι συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{ \left[ {0,10} \right] }$ και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ \left( {0,10} \right) }$ και επιπλέον ισχύουν: $\displaystyle{ f(0) = 0 }$ και $\displaystyle{ f(10) = 20 }$
Να δείξετε ότι υπάρχουν $\displaystyle{ \xi _1 ,\xi _2 ,\xi _3 ,\xi _4 \in \left( {0,10} \right) }$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{ \frac{1}{{f^{\prime}(\xi _1 )}} + \frac{1}{{f^{\prime}(\xi _2 )}} + \frac{1}{{f^{\prime}(\xi _3 )}} + \frac{1}{{f^{\prime}(\xi _4 )}} = 2 }$

Μια απόδειξη:

καταρχάς από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχουν $\displaystyle{x_1,x_2,x_3\in (0,10)}$ ώστε $\displaystyle{f(x_1)=5,f(x_2)=10,f(x_3)=15.}$

Τώρα εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής για την $\displaystyle{f}$ στα διαστήματα $\displaystyle{[0,x_1],[x_1,x_2],[x_2,x_3],[x_3,20]}$ (ενδέχεται τα δύο μεσαία διαστήματα να είναι ανάποδα)

και προκύπτει ότι υπάρχουν $\displaystyle{\xi _1,\xi _2,\xi _3,\xi _4}$ ώστε

$\displaystyle{f^{\prime}(\xi _1)=\frac{f(x_1)-f(0)}{x_1-0}=\frac{5}{x _1}}$ και ανάλογα

$\displaystyle{f^{\prime}(\xi _2)=\frac{5}{x_2-x_1}}$ ,

$\displaystyle{f^{\prime}(\xi _3)=\frac{5}{x_3-x_2}}$ ,

$\displaystyle{f^{\prime}(\xi _4)=\frac{5}{10-x_3}.}$

Το συμπέρασμα έπεται.

#4

….Μία απάντηση σύντομη….
από Θ.Ε.Τ. υπάρχουν ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}},{{x}_{3}}\in (0,10)$ ώστε $f({{x}_{1}})=5,\,f({{x}_{2}})=10,\,f({{x}_{3}})=15$ .
Τώρα εφαρμόζωντας Θ.Μ.Τ στα $[0,\,{{x}_{1}}],\,[{{x}_{1}},\,{{x}_{2}}],\,[{{x}_{2}},\,{{x}_{3}}],\,[{{x}_{3}},\,10]$ και παίρνοντας τις αντίστροφες τιμές προκύπτει $\frac{1}{{f}'({{\xi }_{1}})}+\frac{1}{{f}'({{\xi }_{2}})}+\frac{1}{{f}'({{\xi }_{3}})}+\frac{1}{{f}'({{\xi }_{4}})}=\frac{{{x}_{1}}}{5}+\frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{5}+\frac{{{x}_{3}}-{{x}_{2}}}{5}+\frac{10-{{x}_{3}}}{5}$ = $\frac{10}{5}=2$ …..
αυτά στα γρήγορα γιατί έχω και να διορθώσω....

sxima · #5

Μήπως κάποιο από τα προηγούμενα μέλη που έδωσαν τις ωραίες, πράγματι λύσεις , μπορεί να μας καταθέσει
λίγο την αρχική του σκέψη του για το πως εμπνευστηκε τις τιμές 5 , 10 , 15 για την f και όχι κάποιες άλλες;
(π.χ 6, 17, 19)

mathxl · #6

Σκοπός είναι να μερίσουμε το "σύνολο τιμών"- "καταχρηστικά" σε 4 ίσα μέρη ώστε να σχηματίζονται 4 ομώνυμα κλάσματα οπότε διαρούμε το 20-0=20 με το 4 και τσουπ ...να το 5 και μετά κρυφτούλι. Πέντε δίκα πεκαπέντε είκοσι φτου και βγαίνω

Ιστοσελίδα · #7

Να ρωτήσω και εγώ ο Χριστιανός ο οποίος έτσι ναι μεν την έλυσα, άλλα έχω μια ψιλοαποριούλα με την διάταξη. Γιατί $\displaystyle{ x_1 < x_2 < x_3 }$ ;

mathxl · #8

Σπύρο πρόσεξε την σειρά εφαρμογής των ΘΕΤ και σε ποια διαστήματα τα εφαρμόζουμε

#9

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Κυκλοφόρησε στην γειτονιά μας και σας την παρουσιάζω

Η συνάρτηση $\displaystyle{ f }$ είναι συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{ \left[ {0,10} \right] }$ και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ \left( {0,10} \right) }$ και επιπλέον ισχύουν: $\displaystyle{ f(0) = 0 }$ και $\displaystyle{ f(10) = 20 }$
Να δείξετε ότι υπάρχουν $\displaystyle{ \xi _1 ,\xi _2 ,\xi _3 ,\xi _4 \in \left( {0,10} \right) }$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{ \frac{1}{{f^{\prime}(\xi _1 )}} + \frac{1}{{f^{\prime}(\xi _2 )}} + \frac{1}{{f^{\prime}(\xi _3 )}} + \frac{1}{{f^{\prime}(\xi _4 )}} = 2 }$

Η διατύπωση επιτρέπει τα $\displaystyle{\xi _1 ,\xi _2 ,\xi _3 ,\xi _4 \in \left( {0,10} \right)}$ να είναι ίσα. Έτσι, κάνουμε ένα ΘΜΤ, βρήσκουμε ένα ξ, το παίρνουμε 4 φορές, και, καθαρίσαμε!!

Η πρόταση γενικεύεται. Εδώ, έχουμε την περίπτωση με ν = 4

#10

Να πούμε πως αν αντι να έχουμε αριθμητές ίσους(=1) είχαμε τους ,a,b,c,d βρίσκουμε τετμημενες Γ<Δ <Ε του [Α,Β]

Γ-Α)/α=(Δ-Γ)/b=(Ε-Δ)/c=(B-E)/d=(B-A)/(a+b+c+d) και εφαρμόζουμε το ΘΜΤ στα [Α,Γ]...

G.Tsikaloudakis · #11

Γενίκευση:
1η:
Aν f παραγωγίσιμη στο (0,1) ,συνεχής στο [0,1]

με f(0)=0 ,f(1)=1, τότε για κάθε θετικό ακέραιο
ν υπάρχουν $\xi _1 ,\xi _2 ,....\xi _\nu \in (0,1){\rm{ }}{\rm{,}}\xi _1 < \xi _2 < .... < \xi _\nu$

τέτοιοι ώστε $\frac{1}{{f'(\xi _1 )}} + {\rm{ }}\frac{1}{{f'(\xi _2 )}} + ... + \frac{1}{{f'(\xi _\nu )}} = \nu _{}$
(βλέπε παράγωγοι Γ. Τσικαλουδάκη)

Κώστας Βακαλόπουλος · #12

Με τη παρακάτω λύση απαντάω και στον φίλο που θέλει το γιατί χρησιμοποιήσαμε τα: 5,10,15 αλλά και για τη διάταξη των x1,x2,x3:
Επιλέγουμε αριθμούς y1,y2,y3 στο (0,20) για να εφαρμόσουμε Θ.Ε.Τ. έτσι ώστε: y1-f(0)=20:4=5, y2-y1=5 άρα y2=10, y3-y2=5 άρα y3=15 (Επαλήθευση:f(10)-y3=20-15=5) (Προφανώς βάλαμε 20:4 για να είναι τα κλάσματα μετά την αντιστροφή ομώνυμα! Το ανέφερε και ο φίλος πριν !)
ΠΡΟΣΟΧΗ τώρα!
Εφαρμόζουμε Θ.Ε.Τ διαδοχικά στα διαστήματα:[0,10],[χ1,10],[χ2,10] ως εξής:
1ον) f(0)<y1<f(10) άρα υπάρχει χ1 στο (0,10) ώστε f(x1)=y1=5
2ον) 5=y1<f(x1)<y2<f(10) άρα υπάρχει χ2 στο (x1,10) ώστε f(x2)=y2=10
3ον) 10=y2<f(x3)<f(10) άρα υπάρχει χ3 στο (χ2,10) ώστε f(x3)=y3=15
ΕΤΣΙ εξασφαλήσαμε τη διάταξη των χ1,χ2,χ3 που θέλαμε.
Στη συνέχεια η άσκηση λύνεται όπως προαναφέρθηκε εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [0,χ1], [χ1,χ2],[χ2,χ3],[χ3,10] κατα τα γνωστά...
Ευχαριστώ για την φιλοξενία,
Κώστας Βακαλόπουλος

#13

sxima έγραψε:Μήπως κάποιο από τα προηγούμενα μέλη που έδωσαν τις ωραίες, πράγματι λύσεις , μπορεί να μας καταθέσει
λίγο την αρχική του σκέψη του για το πως εμπνευστηκε τις τιμές 5 , 10 , 15 για την f και όχι κάποιες άλλες;
(π.χ 6, 17, 19)

Δες εδώ και αν δεν ικανοποιηθείς στείλε Π.μ

viewtopic.php?f=53&t=419

G.Tsikaloudakis · #14

Σπύρο καλημέρα.
Η Άσκηση κυκλοφορεί πανελλαδικά εδώ και αρκετά χρόνια.
Φιλικά Γιώργος.

Κώστας Βακαλόπουλος · #15

Κώστας Βακαλόπουλος έγραψε:Με τη παρακάτω λύση απαντάω και στον φίλο που θέλει το γιατί χρησιμοποιήσαμε τα: 5,10,15 αλλά και για τη διάταξη των x1,x2,x3:
Επιλέγουμε αριθμούς y1,y2,y3 στο (0,20) για να εφαρμόσουμε Θ.Ε.Τ. έτσι ώστε: y1-f(0)=20:4=5, y2-y1=5 άρα y2=10, y3-y2=5 άρα y3=15 (Επαλήθευση:f(10)-y3=20-15=5) (Προφανώς βάλαμε 20:4 για να είναι τα κλάσματα μετά την αντιστροφή ομώνυμα! Το ανέφερε και ο φίλος πριν !)
ΠΡΟΣΟΧΗ τώρα!
Εφαρμόζουμε Θ.Ε.Τ διαδοχικά στα διαστήματα:[0,10],[χ1,10],[χ2,10] ως εξής:
1ον) f(0)<y1<f(10) άρα υπάρχει χ1 στο (0,10) ώστε f(x1)=y1=5
2ον) 5=y1<f(x1)<y2<f(10) άρα υπάρχει χ2 στο (x1,10) ώστε f(x2)=y2=10
3ον) 10=y2<f(x3)<f(10) άρα υπάρχει χ3 στο (χ2,10) ώστε f(x3)=y3=15
ΕΤΣΙ εξασφαλήσαμε τη διάταξη των χ1,χ2,χ3 που θέλαμε.
Στη συνέχεια η άσκηση λύνεται όπως προαναφέρθηκε εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [0,χ1], [χ1,χ2],[χ2,χ3],[χ3,10] κατα τα γνωστά...
Ευχαριστώ για την φιλοξενία,
Κώστας Βακαλόπουλος

το κυνήγι του ...ξ

το κυνήγι του ...ξ

Re: το κυνήγι του ...ξ

Re: το κυνήγι του ...ξ

Re: το κυνήγι του ...ξ

Re: το κυνήγι του ...ξ

Re: το κυνήγι του ...ξ

Re: το κυνήγι του ...ξ

Re: το κυνήγι του ...ξ

Re: το κυνήγι του ...ξ

Re: το κυνήγι του ...ξ

Re: το κυνήγι του ...ξ

Re: το κυνήγι του ...ξ

Re: το κυνήγι του ...ξ

Re: το κυνήγι του ...ξ

Re: το κυνήγι του ...ξ

Μέλη σε σύνδεση