Να αποδείξετε...

#1

δε θυμάμαι αν την έχουμε ξαναδεί ,δεν ξέρω αν τη δίνω στο σωστό φάκελο...

Να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{\bf\color{blue}\cos(\frac{\pi}{7})-\cos(\frac{2\pi}{7})+\cos(\frac{3\pi}{7})=\frac{1}{2}}$

S.E.Louridas · #2

Ένας τρόπος υπολογισμού είναι αυτός που ακολουθεί, παρατηρούμε ότι:
$\cos \frac{\pi }{7} = \cos ( - \frac{\pi }{7}),t = \frac{\pi }{7} \Rightarrow 4t = \pi - 3t,$
οπότε η αντίστοιχη πολυωνυμική εξίσωση που έχει σαν ρίζες τους αριθμούς
$- 1,\cos \frac{\pi }{7} = \cos ( - \frac{\pi }{7}),\cos \frac{{3\pi }}{7},\cos \frac{{5\pi }} {7},$ είναι η
$8x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 3x + 1 = 0 \Rightarrow \cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{3\pi }} {7} + \cos \frac{{5\pi }}{7} - 1 = - \frac{1}{2} \Rightarrow ...$

S.E.Louridas

rastaffari · #3

Η σχέση ειναι ισοδύναμη με την cos(2Π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2
Έστω Σ=cos(2Π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)
άρα 2Σ*sin(Π/7)=sin(3Π/7)-sin(Π/7)+sin(5Π/7)-sin(3Π/7)+sin(Π)-sin(5Π/7)=-sin(Π/7)
άρα Σ=-1/2

Καλό Βράδυ
Παναγιώτης

Ιστοσελίδα · #4

Η εξίσωση

έχει ρίζες τις $\cos\frac{\pi+2k\pi}{7}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{7} , k=0, \cdots , 6$

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης ισούται με

, άρα

$-1+2(\cos\frac{\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{5\pi}{7})=0 \Rightarrow \cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}=\dfrac{1}{2}.$

Να αποδείξετε...

Να αποδείξετε...

Re: Να αποδείξετε...

Re: Να αποδείξετε...

Re: Να αποδείξετε...

Μέλη σε σύνδεση