Τιμή

mick7 · #1

Στο τρίγωνο ABC

,

και

. Έστω

ένα σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου.

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος AX^2 + BX^2 + CX^2

.

KARKAR · #2

Δεν βάζω παραπομπή , πάντως το θέμα έχει συζητηθεί στο forum και μάλιστα σε πολύ "χαμηλότερο " φάκελο ...

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 25, 2026 4:53 pm
Δεν βάζω παραπομπή , πάντως το θέμα έχει συζητηθεί στο forum και μάλιστα σε πολύ "χαμηλότερο " φάκελο ...

.
Ορθότατα. Θα συμπληρώσω ότι όχι μόνο έχει εμφανιστεί πολλές φορές στο εδώ φόρουμ αλλά υπάρχει και σε όλες τις παλιές Γεωμετρίες. Πρόκειται, άλλωστε για επώνυμο αποτέλεσμα. Βλέπε παρακάτω.
.

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 25, 2026 4:02 pm
Στο τρίγωνο , , και. Έστω ένα σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου.

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος .

.
Το Θεώρημα Leibniz μας λέει ότι AX^2 + BX^2 + CX^2= 3GX^2 +AG^2 + BG^2 + CG^2

, όπου

το κέντρο βάρους του τριγώνου. Έπεται ότι το ελάχιστο λαμβάνεται όταν το

συμπέσει με το

(δηλαδή όταν GX=0

).

Δηλαδή το ελάχιστο είναι το AG^2 + BG^2 + CG^2

, το οποίο από άλλο επώνυμο θεώρημα, του Lagrange, ισούται με $\dfrac {1}{3}(a^2+b^2+c^2)$ . Εδώ $\dfrac {50}{3}$ .

Όλα τα παραπάνω είναι γνωστά και κοινά.

KARKAR · #4

Μιας και δόθηκε απάντηση , δείτε κι άλλες προσεγγίσεις του θέματος εδώ .

Τιμή

Τιμή

Re: Τιμή

Re: Τιμή

Re: Τιμή

Μέλη σε σύνδεση