Εμβαδόν Ορθογωνίου τριγώνου

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #1

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle {\rm{AB\Gamma }}$ με $\widehat {\rm A} = {90^0}$ και ${\rm B}\Gamma = 5\,cm$ . Αν η διχοτόμος $\displaystyle {\rm A}\Delta$ της γωνίας ${\rm A}$ $\left( {\Delta \in {\rm B}\Gamma } \right)$ έχει μήκος $\displaystyle 2cm$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ .

#2

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 12, 2025 5:48 pm
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle {\rm{AB\Gamma }}$ με $\widehat {\rm A} = {90^0}$ και ${\rm B}\Gamma = 5\,cm$ . Αν η διχοτόμος $\displaystyle {\rm A}\Delta$ της γωνίας ${\rm A}$ $\left( {\Delta \in {\rm B}\Gamma } \right)$ έχει μήκος $\displaystyle 2cm$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ .

Νομίζω ότι πέρασε αρκετό διάστημα για μαθητές.

: Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου.ΓΛ.png (10.08 KiB) Προβλήθηκε 961 φορές

$\displaystyle {(b + c)^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc \Leftrightarrow$ $\boxed{(b+c)^2=25+2bc}$ (1)

$\displaystyle A{D^2} = bc - BD \cdot DC \Leftrightarrow 4 = bc - \frac{{5c}}{{b + c}} \cdot \frac{{5b}}{{b + c}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} 4 = bc - \frac{{25bc}}{{25 + 2bc}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle {(bc)^2} - 4(bc) - 50 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{bc > 0} bc = 2 + 3\sqrt 6,$ απ' όπου $\boxed{(ABC) = \frac{{2 + 3\sqrt 6 }}{2}}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλησπέρα στους συνονόματους και σε όλους!
Ελαφρά παραλλαγή της λύσης του Γιώργου. Από τον τύπο της διχοτόμου προς την υποτείνουσα

έχουμε $AD^{2}=\dfrac{2(bc)^2}{(b+c)^2}$

Με χρήση και της σχέσης (1)

από #2, Θέτοντας bc=k

παίρνουμε την εξίσωση k^2-4k-50=0

με θετική ρίζα $bc=k=2+3\sqrt{6}$

οπότε (ABC) =k/2..

Φιλικά, Γιώργος.

#4

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 12, 2025 5:48 pm
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle {\rm{AB\Gamma }}$ με $\widehat {\rm A} = {90^0}$ και ${\rm B}\Gamma = 5\,cm$ . Αν η διχοτόμος $\displaystyle {\rm A}\Delta$ της γωνίας ${\rm A}$ $\left( {\Delta \in {\rm B}\Gamma } \right)$ έχει μήκος $\displaystyle 2cm$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ .

.

: emv orth.png (3.6 KiB) Προβλήθηκε 899 φορές

.
Ας το δούμε, χάριν ποικιλίας, με Αναλυτική, με δεδομένα την υποτείνουσα

και την διχοτόμο

. Το

είναι στην διχοτόμο y=x

, και στην

, της οποίας η εξίσωση είναι $y=-\dfrac {b}{c}(x-c)$ . Λύνοντας θα βρούμε $D\left ( \dfrac {bc}{b+c},\,\dfrac {bc}{b+c} \, \right )$ . Άρα από το iισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο AED

έχουμε $AD=AE\sqrt 2$ , δηλαδή

$d= \dfrac {bc}{b+c}\sqrt 2$ (*)

Όμως a^2=b^2+c^2=(b+c)^2-2bc= (b+c)^2-4E

, άρα

. Έπεται ότι η (*) γράφεται $d= \dfrac {2E\sqrt 2}{\sqrt {a^2+4E}}$ , από όπου

$\boxed { E=\dfrac {1}{4}\left (d^2+d\sqrt {d^2+2a^2}\right )}$ . Εδώ $E=\dfrac {1}{2}(2+3\sqrt 6)$

#5

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 12, 2025 5:48 pm
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle {\rm{AB\Gamma }}$ με $\widehat {\rm A} = {90^0}$ και ${\rm B}\Gamma = 5\,cm$ . Αν η διχοτόμος $\displaystyle {\rm A}\Delta$ της γωνίας ${\rm A}$ $\left( {\Delta \in {\rm B}\Gamma } \right)$ έχει μήκος $\displaystyle 2cm$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ .

Κατασκευή

Με $S\,\,,\,\,N$ ο νότιος και βόρειος πόλος αντίστοιχα και

το μέσο του

θα έχω :

$SO \cdot SN = SD \cdot SA \Rightarrow \dfrac{5}{2} \cdot 5 = x\left( {x + 2} \right) \Rightarrow \boxed{x = - 1 + \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}\,}\,\,\left( 1 \right)$ . Συνεπώς ο κύκλος $\left( {S,x} \right)$ τέμνει την

στο

.

: Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου.png (31.59 KiB) Προβλήθηκε 871 φορές

Μετά η

τέμνει το βόρειο ημικύκλιο του $\left( {O,\dfrac{5}{2}} \right)$ στο

.

Υπολογισμός εμβαδού $E = \left( {ABC} \right)$

Επειδή , $A{D^2} = AB \cdot AC - DB \cdot DC \Rightarrow 4 = 2E - AD \cdot DS$ ή λόγω της $\left( 1 \right)$ , $\boxed{4 = 2E - 2x \Leftrightarrow E = 2 + x = 2 + \left( { - 1 + \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}} \right) = 1 + \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}}$

Εμβαδόν Ορθογωνίου τριγώνου

Εμβαδόν Ορθογωνίου τριγώνου

Re: Εμβαδόν Ορθογωνίου τριγώνου

Re: Εμβαδόν Ορθογωνίου τριγώνου

Re: Εμβαδόν Ορθογωνίου τριγώνου

Re: Εμβαδόν Ορθογωνίου τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση