Οι καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους

KARKAR · #1

: Οι καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους.png (29.96 KiB) Προβλήθηκε 670 φορές

Σχεδιάστε ευθεία διερχόμενη από το σημείο

, έτσι ώστε οι προκύπτουσες χορδές SP , QT

των δύο κύκλων

να είναι ίσες . Επιβεβαιώστε το αποτέλεσμά σας υπολογίζοντας και το απόστημα

, της χορδής

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 08, 2025 6:19 pm
Σχεδιάστε ευθεία διερχόμενη από το σημείο , έτσι ώστε οι προκύπτουσες χορδές των δύο κύκλων

να είναι ίσες . Επιβεβαιώστε το αποτέλεσμά σας υπολογίζοντας και το απόστημα , της χορδής .

Καλησπέρα....

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Διατέμνουσα κύκλων 1.png (30.15 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Θεωρώ ότι η λέξη "Σχεδιάστε" σημαίνει "Χαράξετε" ή ακόμη "Κατασκευάστε".

Έτσι από τα όμοια τρίγωνα $\displaystyle{OM_1P}$ και $\displaystyle{KPM_2}$ προκύπτουν οι σχέσεις:

$\displaystyle{\frac{M_1P}{OP}=\frac{PM_2}{PK} \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \frac{\frac{x}{2}}{10}=\frac{y+\frac{x}{2}}{22} \ \ \ (1) }$

Ακόμα ισχύει:

$\displaystyle{(PQ)(PT)=(PK)^2-(PA)^2 \Rightarrow y(y+x)=8 \cdot(8+14) \ \ \ (2) }$

Από το σύστημα των (1) και (2) μετά από πράξεις προκύπτει:

$\displaystyle{x=10\sqrt{3}, \ \ y=6\sqrt{3} \ \ (3) }$

Από τις τιμές αυτές εύκολα κατασκευάζεται η διατέμνουσα αυτή.

Παρατήρηση:

Από τις τιμές των $\displaystyle{x,y}$ που βρέθηκαν υπολογίζονται με το πυθαγόρειο θεώρημα και τα αποστήματα των

αντίστοιχων χορδών. Δηλαδή:

$\displaystyle{(OM_1)=5, \ \ (OM_2)=11 \ \ (4) }$

Από τις τιμές αυτές αν κατασκευάσουμε τους κύκλους

$\displaystyle{ C_1(O,5), \ \ C_2(K,11) }$

τότε αν φέρουμε την κοινή εσωτερική εφαπτομένη αυτών κατασκευάζουμε τη ζητούμενη χορδή.

-Θανάση ίσως αυτό ήθελες τελικά...

Κώστας Δόρτσιος

duamba · #3

Για την κατασκευή:
Κάνοντας επίλυση τριγώνου με τα νούμερα που βρήκε ο KDORTSI

βλέπουμε οτι η γωνία $\angle PLS$ είναι 60 μοίρες.

: filoi.png (75.8 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 08, 2025 6:19 pm
Σχεδιάστε ευθεία διερχόμενη από το σημείο , έτσι ώστε οι προκύπτουσες χορδές των δύο κύκλων

να είναι ίσες . Επιβεβαιώστε το αποτέλεσμά σας υπολογίζοντας και το απόστημα , της χορδής .

: kaloi ipolog.png (17.51 KiB) Προβλήθηκε 627 φορές

Λίγο αλλιώς: Φέρνουμε τις κάθετες ON=b, KM=a

. Άρα

$\sqrt {10^2-b^2}=NP = \frac {1}{2} SP= \frac {1}{2} QT= QM= \sqrt {14^2-a^2}$

Άρα 10^2-b^2=14^2-a^2

, ισοδύναμα $\boxed {a^2-b^2=96}$

Επίσης, από τα όμοια τρίγωνα ONP, PKM

έχουμε $\boxed {\dfrac {b}{10} = \dfrac {a}{8+14}}$

Λύνοντας το σύστημα των δύο θα βρούμε $a=11, \, b=5$ από όπου εύκολα κατασκευάζουμε τα ζητούμενα.

KARKAR · #5

: Οι καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους 2.png (30.32 KiB) Προβλήθηκε 604 φορές

Μια δυσκολότερη εκδοχή του προβλήματος : Η τέμνουσα ευθεία διέρχεται πλέον από το σημείο

της ακτίνας

.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 09, 2025 6:34 am
Μια δυσκολότερη εκδοχή του προβλήματος : Η τέμνουσα ευθεία διέρχεται πλέον από το σημείο της ακτίνας .

: kaloi ipolog 2.png (32.58 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

.
Θέτουμε OM-a, ON=b

και $SE=2p, \, EP=2q$ άρα

$SP=2p+2q, \, NP=p+q, \, NE=NP-EP=p-q$ ,

Από την δύναμη του σημείου

έχουμε $2p\cdot 2q=(10+4)\times 6$ , άρα $\boxed {pq=21}$ .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ONE

έχουμε $\boxed {b^2=4^2-(p-q)^2}$ .

Από τα όμοια τρίγωνα ONE, EKM

έχουμε $\dfrac {b}{4}=\dfrac {a}{6+8+14}$ , οπότε $\boxed {a=7b}$ .

Η συνθήκη ισότητας SP=QT

, ισοδύναμα NP=OM

δίνει $\sqrt {14^2-a^2}=p+q$ και άρα

$\boxed {14^2-a^2= (p+q)^2 }$

Με πρόσθεση κατά μέλη της δεύτερης και της τέταρτης έχουμε μετά τις αλγεβρικές πράξεις

$196-a^2+b^2= 16 +4pq =16+4\times 21$ , από όπου a^2-b^2=96

. Μαζί με την a=7b

παίρνουμε

$\boxed {a=7\sqrt 2, \, b=\sqrt 2}$ . Τελειώσαμε.

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 08, 2025 6:19 pm
Οι καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους.pngΣχεδιάστε ευθεία διερχόμενη από το σημείο , έτσι ώστε οι προκύπτουσες χορδές των δύο κύκλων

να είναι ίσες . Επιβεβαιώστε το αποτέλεσμά σας υπολογίζοντας και το απόστημα , της χορδής .

Δείτε εν γένει κι αυτό

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 09, 2025 6:34 am
Οι καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους 2.pngΜια δυσκολότερη εκδοχή του προβλήματος : Η τέμνουσα ευθεία διέρχεται πλέον από το σημείο της ακτίνας .

Έστω λυμένο το πρόβλημα

Η παράλληλη από το

στην

στο

, έτσι ο κύκλος $\left( {O'\,\,,\,\,O'T} \right)$ είναι ίσος με τον $\left( {O\,\,,\,\,10} \right)$ .

Από το

( σταθερό ), θεωρώ τις πολικές προς τους κύκλους $\left( {K,14} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {O'\,,10} \right)$ κι έστω $G\,\,\kappa \alpha \iota \,\,J$

Σημεία τομής τους με αυτούς . Δηλαδή τα $EG\,\,,\,\,EJ$ είναι εφαπτόμενα τμήματα προς αυτούς .

: ΟΙ καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους_extra_ok.png (60.58 KiB) Προβλήθηκε 513 φορές

Επειδή η ευθεία $\overline {EQT}$ είναι ο ριζικός άξονας των δύο αυτών κύκλων θα είναι : $EG = EJ\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Θα είναι $EG = EJ = \sqrt {E{K^2} - K{G^2}} = \sqrt {{{28}^2} - {{14}^2}} = 14\sqrt 3$ ,

Επίσης $OO' = \sqrt {E{J^2} + O'{J^2}} = \sqrt {100 + 3 \cdot {{14}^2}} = 4\sqrt {43}$

Συνεπώς το

προκύπτει από την τομή του ημικυκλίου διαμέτρου OK = 32

με τον κύκλο , $\left( {E,4\sqrt {43} } \right)$

Τέλος η από το

παράλληλη στην OO'

είναι η ευθεία που θέλω .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 09, 2025 6:34 am
Οι καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους 2.pngΜια δυσκολότερη εκδοχή του προβλήματος : Η τέμνουσα ευθεία διέρχεται πλέον από το σημείο της ακτίνας .

Ας είναι

και

Είναι $\triangle OEN \simeq EMK \Rightarrow \dfrac{MK}{ON}= \dfrac{KE}{OE}=7(1)$

Ισχύει $(2x-y)y=BE.EL=84 \Rightarrow y^2-2xy+84=0$ απ' όπου με $10> x \geq \sqrt{21}$

έχουμε δεκτή λύση $y=x- \sqrt{x^2-84}$

Τότε $NE=x-y=\sqrt{x^2-84}$ .Ακόμη με Π.Θ είναι $KM= \sqrt{196-x^2}$ κι από την (1)

έχουμε

$\dfrac{ \sqrt{196-x^2} }{ \sqrt{x^2-84} }=7 \Rightarrow x=7 \sqrt{2} \Rightarrow a=7 \sqrt{2} \Rightarrow b= \sqrt{2}$

Για την κατασκευή,ο κύκλος $(E, \sqrt{14})$ τέμνει τον κύκλο διαμέτρου OE=4

στα σημεία N,Z

Οι ευθείες NE,ZE

τέμνουν τους δυο κύκλους (O),(K)

στα ζητούμενα σημεία

: Οι καλοί υπολογισμοί....png (60.81 KiB) Προβλήθηκε 474 φορές

Οι καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους

Οι καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους

Re: Οι καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους

Re: Οι καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους

Re: Οι καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους

Re: Οι καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους

Re: Οι καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους

Re: Οι καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους

Re: Οι καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους

Re: Οι καλοί υπολογισμοί κάνουν τους καλούς φίλους

Μέλη σε σύνδεση