Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο V: "Διακρότημα"

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με

$f(x)=\sigma \upsilon \nu \,(\alpha x)-\sigma \upsilon \nu \,x$

όπου $\alpha$ ένας πραγματικός αριθμός με $\alpha>1$

Να αποδειχθεί ότι:

#1. η

παρουσιάζει τοπικά μέγιστα
#2. αν σε κάποιο x_o

η

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο τότε $f(x_o)\ge0$

Edit: Το τρίτο ερώτημα στην αμέσως επόμενη γραμμή αποτελεί πρόταση του Dimessi (ποστ #3, κάτωθι)
#3. η

παρουσιάζει αριθμησίμως άπειρα τοπικά μέγιστα και αριθμησίμως άπειρα τοπικά ελάχιστα.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Ενδεικτικά στο συνημμένο παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της

για $\alpha\approx 6.39$

#2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 28, 2025 2:59 am
Δίνεται η συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με

$f(x)=\sigma \upsilon \nu \,(\alpha x)-\sigma \upsilon \nu \,x$

όπου $\alpha$ ένας πραγματικός αριθμός με $\alpha>1$

Να αποδειχθεί ότι:

#1. η παρουσιάζει τοπικά μέγιστα
#2. αν σε κάποιο η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο τότε $f(x_o)\ge0$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Ενδεικτικά στο συνημμένο παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της για $\alpha\approx 6.39$

Καλημέρα από Γρεβενά...

Με αφορμή το όμορφο σχήμα της πρότασης αυτής προσπάθησα να

το πάω λίγο παραπέρα, στο χώρο των τριών διαστάσεων με "ό,τι

ήθελε προκύψει".

Πάντως προέκυψαν όμορφες επιφάνειες και στερεά με τα οποία μπορεί

κανείς να ασχοληθεί...

Παραθέτω μια εικόνα:

: Στερεά κλπ 1.png (57.64 KiB) Προβλήθηκε 1525 φορές

κι ακόμα το δυναμικό σχήμα όπου μπορεί κανείς να απολαύσει πλήθος

από όμορφα στερεά και επιφάνειες...

[urlhttps://www.geogebra.org/m/bbe3b6kb][/url]

Κώστας Δόρτσιος

Dimessi · #3

(α)Το (α) καλύτερα να ζητάει άπειρα τοπικά ακρότατα για να είναι πιο δύσκολο.
Το επισημαίνω γιατί το (β) ούτως ή άλλως είναι άμεσο από το θεώρημα του Fermat
Η

είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με

$f'\left ( x \right )=-a\sin\left ( ax \right )+\sin x$
και
$f''\left ( x \right )=-a^{2}\cos\left ( ax \right )+\cos x$

για κάθε $x\in \mathbb{R}$

Υπάρχει $b\neq 0$ με $f'\left ( b \right )\neq 0$
γιατί διαφορετικά η

θα ήταν σταθερή, άτοπο.
Επειδή η εξίσωση $a\sin(ax)=\sin x$ έχει πεπερασμένο πλήθος λύσεων σε κάθε διάστημα μήκους $\frac{2\pi}{a}$
τέτοια

υπάρχουν άπειρα .
Υπάρχουν επίσης άπειρα σημεία μηδενισμού της

λόγω των επιμέρους περιοδικοτήτων
αλλά χωρίς συσσώρευση σε κάποιο σημείο , ως απόρροια του θεωρήματος του θεωρήματος του Borel.
Η

είναι περιττή οπότε
οι τιμές f'(b),f'(-b)

είναι ετερόσημες
οπότε από Darboux κάπου στο ενδιάμεσο η

έχει κάποια ρίζα x_0

Αν

τότε

οπότε από το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου
το x_0

είναι θέση τοπικού μεγίστου της

Αν $x_0 \neq 0$ τότε $a\sin \left ( ax_{0} \right )=\sin x_{0}$
οπότε αν $\cos(ax_0)>0$ τότε
$f''\left ( x_{0} \right )=-a^{2}\sqrt{1-\frac{\sin^{2}x_{0}}{a^{2}}}+\cos x_{0}=-a\sqrt{a^{2}-1+\cos^{2}x_{0}}+\cos x_{0}<0$
από την $-a\sqrt{a^{2}-1+x^{2}}+x<0$ στο [-1,1]

και άρα από το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου
το x_0

είναι θέση τοπικού μεγίστου της

και αν $\cos(ax_0)\leq 0$ τότε
$f''\left ( x_{0} \right )=a\sqrt{a^{2}-1+\cos ^{2}x_{0}}+\cos x_{0}>0$
από την $a\sqrt{a^{2}-1+x^{2}}+x>0$ στο [-1,1]

και άρα από το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου
το x_0

είναι θέση τοπικού ελαχίστου της

Τα παραπάνω είναι καμουφλαρισμένες δυναμοσειρές γιατί θεωρώντας p_1,p_2,...

τις θετικές λύσεις της εξίσωσης $a\sin(ax)=\sin x$ έχουμε $\cos(ap_n)=(-1)^{n+1}|\cos(ap_n)|$
για κάθε θετικό ακέραιο

, και $\cos(ap_1)>0$ γιατί από τις σειρές Taylor
$\displaystyle a\sin \left (ax \right )-\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left ( -1 \right )^{n}x^{2n+1}}{\left ( 2n+1 \right )!}\left ( a^{2n+2} -1\right )$
έχουμε ότι $p_1 \in (0,\frac{\pi}{2a})$ ,και γενικότερα ότι κανένα ap_n

δεν είναι της μορφής $\frac{\pi}{2}+k\pi$
με

ακέραιο.
Οπότε $\cos(ap_1)>0,\cos(ap_2)<0,\cos(ap_3)>0,...$
άρα τα p_1,p_3,p_5,...

είναι θέσεις τοπικών μεγίστων της

και τα

είναι θέσεις τοπικών ελαχίστων της

και αφού η

είναι περιττή και η $\cos x$ είναι άρτια, έχουμε ότι και τα -p_1,-p_3,-p_5,...

είναι θέσεις τοπικών μεγίστων της

και τα

είναι θέσεις τοπικών ελαχίστων της

Επομένως, η

παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στις θέσεις -p_1,-p_2,-p_3,-p_4,...,0,p_1,p_2,p_3,p_4,...

και τα τοπικά ακρότατα αυτά εναλλάσονται κάθε φορά από τοπικό μέγιστο σε τοπικό ελάχιστο και αντίστροφα, δηλαδή λειτουργούν στην ουσία ως αλυσίδα συμμετρική ως προς το μηδέν.
(β) Αφού το x_0

είναι θέση τοπικού μεγίστου της

τότε από το ερώτημα (a) έχουμε $\cos(ax_0)>0$ και από το θεώρημα του Fermat ισχύει $f' \left (x_0 \right )=0$ ,οπότε $f\left ( x_0 \right )=\sqrt{1-\frac{\sin^{2}x_{0}}{a^{2}}}-\cos x_{0}=\frac{1}{a}\sqrt{a^{2}-1+\cos ^{2}x_{0}}-\cos x_{0}\geq 0$
από την ανισότητα $\sqrt{a^2-1+x^{2}}\geq ax$ στο [-1,1]

που την δείχνουμε ως εξής
Στο [-1,0]

έχουμε το πρώτο μέλος

και το δεύτερο $\leq 0$
Στο [0,1]

η ανισότητα είναι ισοδύναμη με $\left ( a^{2}-1 \right )\left ( 1-x^{2} \right )\geq 0$ που ισχύει.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #4

Dimessi έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 31, 2025 8:21 pm
(α)Το (α) καλύτερα να ζητάει άπειρα τοπικά ακρότατα για να είναι πιο δύσκολο.

Χαιρετίζω και επαυξάνω τη σύσταση με (cr)edit σε τρίτο ερώτημα.

Αφού ξεκαθαριστεί πρώτα ότι το αρχικό δοθέν πρόβλημα έχει λυθεί, θα ακολουθήσουν μόνο μερικές επισημάνσεις.

Dimessi έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 31, 2025 8:21 pm
... και αν $\cos(ax_0)\leq 0$ τότε
$f''\left ( x_{0} \right )=a\sqrt{a^{2}-1+\cos ^{2}x_{0}}+\cos x_{0}>0$
από την $a\sqrt{a^{2}-1+x^{2}}+x>0$ στο
και άρα από το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου
το είναι θέση τοπικού ελαχίστου της ...

Το ίσον στην πρώτη ανισότητα πρέπει να αφαιρεθεί.
Αν το x_0

είναι κρίσιμο σημείο της

τότε $\cos(ax_0)\ne 0$

Edit: δική μου παρανόηση, το ίσον δεν είναι αναγκαίο να αφαιρεθεί γιατί το έχει δηλωθεί παραπάνω ως κρίσιμο σημείο οπότε η ανισότητα $\cos(ax_0)\leq 0$ τελεί υπό αυτόν περιορισμό, ότι το είναι κρίσιμο σημείο ο οποίος έμμεσα εξασφαλίζει ότι $\cos(ax_0)\ne 0$ .

Dimessi έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 31, 2025 8:21 pm

Επειδή η εξίσωση $a\sin(ax)=\sin x$ έχει πεπερασμένο πλήθος λύσεων σε κάθε διάστημα μήκους $\frac{2\pi}{a}$

Σωστό, αφού δεν συσσωρεύονται σε κάποιο σημείο, αλλά χρειάζεται να γράψουμε μια απόδειξη.

Dimessi έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 31, 2025 8:21 pm
αλλά χωρίς συσσώρευση σε κάποιο σημείο , ως απόρροια του θεωρήματος του θεωρήματος του Borel.

Ποιο απ' όλα τα θεωρήματα του Borel? (Αποδεικνύεται πάντως και χωρίς κάποιο βαρύ θεώρημα)

Dimessi έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 31, 2025 8:21 pm
Υπάρχουν επίσης άπειρα σημεία μηδενισμού της λόγω των επιμέρους περιοδικοτήτων

Διαισθητικά αναμενόμενο και σωστό.
Χρειάζεται όμως απόδειξη.

Dimessi έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 31, 2025 8:21 pm
Τα παραπάνω είναι καμουφλαρισμένες δυναμοσειρές γιατί θεωρώντας
τις θετικές λύσεις της εξίσωσης $a\sin(ax)=\sin x$ έχουμε $\cos(ap_n)=(-1)^{n+1}|\cos(ap_n)|$
για κάθε θετικό ακέραιο , και $\cos(ap_1)>0$ γιατί από τις σειρές Taylor
$\displaystyle a\sin \left (ax \right )-\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left ( -1 \right )^{n}x^{2n+1}}{\left ( 2n+1 \right )!}\left ( a^{2n+2} -1\right )$
έχουμε ότι $p_1 \in (0,\frac{\pi}{2a})$ ,και γενικότερα ότι κανένα δεν είναι της μορφής $\frac{\pi}{2}+k\pi$
με ακέραιο.
Οπότε $\cos(ap_1)>0,\cos(ap_2)<0,\cos(ap_3)>0,...$

Ενδιαφέρον σημείο.
Προτείνεται και τίθεται προς απόδειξη το επίσης διαισθητικά εύλογο μοτίβο εναλλαγής που ακολουθούν τα τοπικά ακρότατα
(τοπικό ελάχιστο $\rightarrow$ τοπικό μέγιστο $\rightarrow$ τοπικό ελάχιστο $\rightarrow$ τοπικό μέγιστο $\rightarrow$ ...).
Αυτό πηγαίνει πέρα και από το εκ των υστέρων διατυπωμένο τρίτο ερώτημα από το οποίο είναι ισχυρότερο.

$\bullet$ Το προτεινόμενο διάστημα $\color{blue} (0,\frac{\pi}{2a})$ για το p_1

θέλει διόρθωση

$\bullet$ Ο (σωστός) τύπος $\cos(ap_n)=(-1)^{n+1}|\cos(ap_n)|$ και η έτερη αναφερόμενη ιδιότητα των ap_n

, που αντιστοιχεί στην (στο παρόν) παραπάνω σχολιαζόμενη ιδιότητα $\cos(a x_o)\ne0$ , μπορούν να αποδειχθούν χωρίς σειρές Taylor.
Θα είχε ενδιαφέρον να δούμε μια απόδειξη βασισμένη σε αυτές.

Dimessi · #5

Ευχαριστώ που προσθέσατε το ερώτημα.
Επίσης να σημειώσουμε ότι η λύση μου είναι πλήρης για αυτό τον φάκελλο.
$\bullet$ Το μικρότερο ή ίσον δεν σημαίνει ότι θεώρησα ότι μπορεί να ισχύει το ίσον, αλλά το χρησιμοποίησα ως άρνηση του μεγαλύτερου. Δεν πρέπει να αφαιρεθεί εκ των προτέρων, ως άρνηση του

είναι το $\leq 0$ . Απέδειξα ότι δεν πιάνεται το ίσον στην συνέχεια.
Εξάλλου, αν κάτι είναι

, τότε είναι και $\leq 0$
$\bullet$ Για όποιον έχει ασχοληθεί με φάσματα στην κβαντομηχανική όλα τα παρακάτω είναι προφανή και δεν χρειάζονται ρητή μνεία.
Η $a\sin(ax)$ είναι της μορφής $y=A_0 \sin(\omega x)$ όπως και η $\sin x$ . Εδώ στην $\sin x$ έχεις αυξήσει το $\omega$ , οπότε η γραφική της παράσταση της $\sin(ax)$ σε διάστημα μιας περιόδου , η οποία περίοδος είναι πιο μικρή από της $\sin x$ και μάλιστα $\frac{2\pi}{a}$ , και το κύμα στενεύει . Η $a\sin(ax)$ έχει γραφική παράσταση που σε διάστημα μιας περιόδου ( $T_2=\frac{2\pi}{a}$ )) είναι η $\sin x$ στενεμένη και μετατοπισμένη ψηλότερα, από τον άξονα x'x

και πάνω, και χαμηλότερα, από τον άξονα x'x

και κάτω. Οπότε από θεωρία κυμάτων (κβαντομηχανική , χρησιμοποιώντας νορμαλισμούς και κυματοσυναρτήσεις) οι γραφικές παραστάσεις των $a\sin(ax)$ και $\sin x$ τέμνονται σε κάθε διάστημα μήκους $\frac{2\pi}{a}$ , το οποίο βέβαια προκύπτει και με την γεωμετρική μνεία του θεωρήματος του Bolzano λόγω της συνέχειας των δύο συναρτήσεων, και οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παράστασεων αυτών δεν συσσωρεύονται σε κάποιο σημείο , διότι η

είναι αναλυτική και μη μηδενική συνάρτηση, οπότε δεν έχει συσσώρευση ριζών σε κάποιο σημείο. Η μη συσσώρευση είναι απόρροια του θεωρήματος κάλυψης του Borel για κλειστά και φραγμένα σύνολα σε Ευκλείδειους Χώρους (και άρα συμπαγή).
$\bullet$ Αυτό το απάντησα στην αμέσως παραπάνω γραμμή. Απόρροια του θεωρήματος κάλυψης του Borel.
$\bullet$ Το ότι η γραφική παράσταση της $a\sin(ax)$ με περίοδο $\frac{2\pi}{a}$ τέμνει την γραφική παράσταση της $\sin x$ με περίοδο $2\pi$ σε κάθε διάστημα μήκους μιας περιόδου της πρώτης, που έχει μικρότερη περίοδο από την $\sin x$ , σημαίνει ότι τέμνονται σε άπειρα σημεία. Οπότε, στην ουσία, το ότι η

μηδενίζει σε άπειρα σημεία , το εξασφαλίζουν οι επιμέρους περιοδικότητες των δύο συναρτήσεων.
$\bullet$ Δεν είναι διαισθητική η απόδειξη μου για το εναλλασσόμενο πρόσημο των $\cos(ap_n)$ . Είναι αυστηρή, σαφέστατη και πλήρης. Η ανάπτυξή μου σε σειρές Taylor έδωσε το $\cos(ap_1)>0$ και το ότι κανένα ap_n

δεν είναι της μορφής $\frac{\pi}{2}+k\pi$ με

ακέραιο , σημαίνει ότι τα ap_n

ανήκουν σε διαδοχικά διαστήματα όπου η συνάρτηση $\cos$ διατηρεί πρόσημο , εναλλασσόμενο από διάστημα σε διάστημα. Θεωρώ πως δεν χρειάζεται η ρητή μνεία της συνέχειας γιατί είναι άμεσο.
$\bullet$ Στο διάστημα για το p_1

υπάρχει τυπογραφική αβλεψία. Αντί του $\frac{\pi}{2a}$ , είναι $\frac{2\pi}{a}$

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #6

Dimessi έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 02, 2025 6:57 pm
$\bullet$ Το μικρότερο ή ίσον δεν σημαίνει ότι θεώρησα ότι μπορεί να ισχύει το ίσον, αλλά το χρησιμοποίησα ως άρνηση του μεγαλύτερου. Δεν πρέπει να αφαιρεθεί εκ των προτέρων, ως άρνηση του είναι το $\leq 0$ . Απέδειξα ότι δεν πιάνεται το ίσον στην συνέχεια.
Εξάλλου, αν κάτι είναι , τότε είναι και $\leq 0$

Έχετε δίκιο, έχω προσθέσει ήδη edit στην απάντησή μου.

Dimessi έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 02, 2025 6:57 pm

και οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παράστασεων αυτών δεν συσσωρεύονται σε κάποιο σημείο , διότι η είναι αναλυτική και μη μηδενική συνάρτηση, οπότε δεν έχει συσσώρευση ριζών σε κάποιο σημείο.

Αυτό είναι μια απόδειξη ότι οι ρίζες της $f^\prime$ δεν συσσωρεύονται!

Dimessi έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 02, 2025 6:57 pm
$\bullet$ Για όποιον έχει ασχοληθεί με φάσματα στην κβαντομηχανική όλα τα παρακάτω είναι προφανή και δεν χρειάζονται ρητή μνεία.

Μπορεί να διαφωνήσει κανείς, αλλά εκτιμώ ότι γράφοντας μια απόδειξη (ιδίως στο παρόν φόρουμ που δεν είναι peer supported journal και έχει ευρύτερο κοινό) πρέπει να λάβουμε υπ' όψιν κυρίως εκείνους στους οποίους δεν είναι όλα προφανή. Εκείνοι που τους είναι όλα προφανή δεν έχουν ανάγκη τις αποδείξεις μας!

Dimessi έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 02, 2025 6:57 pm
Η $a\sin(ax)$ είναι της μορφής $y=A_0 \sin(\omega x)$ όπως και η $\sin x$ . Εδώ στην $\sin x$ έχεις αυξήσει το $\omega$ , οπότε η γραφική της παράσταση της $\sin(ax)$ σε διάστημα μιας περιόδου , η οποία περίοδος είναι πιο μικρή από της $\sin x$ και μάλιστα $\frac{2\pi}{a}$ , και το κύμα στενεύει . Η $a\sin(ax)$ έχει γραφική παράσταση που σε διάστημα μιας περιόδου ( $T_2=\frac{2\pi}{a}$ )) είναι η $\sin x$ στενεμένη και μετατοπισμένη ψηλότερα, από τον άξονα και πάνω, και χαμηλότερα, από τον άξονα και κάτω. Οπότε από θεωρία κυμάτων (κβαντομηχανική , χρησιμοποιώντας νορμαλισμούς και κυματοσυναρτήσεις) οι γραφικές παραστάσεις των $a\sin(ax)$ και $\sin x$ τέμνονται σε κάθε διάστημα μήκους $\frac{2\pi}{a}$ , το οποίο βέβαια προκύπτει και με την γεωμετρική μνεία του θεωρήματος του Bolzano λόγω της συνέχειας των δύο συναρτήσεων,

Η περιγραφή σας είναι ωραία, μπορεί να οδηγεί σε μαθηματική απόδειξη, αλλά απόδειξη δεν είναι. Μιας και λέτε Bolzano, απόδειξη θα ήταν φερ' ειπείν να εφαρμόσουμε το Bolzano σε κατάλληλο διάστημα-υποσύνολο του $[k,k+\frac{2\pi}{a}]$ όπου $k\in\mathbb{R}$ με άκρα που θα εκφράζονται ως συνάρτηση των k,a

και να αποδείξουμε έτσι, με τις σχετικές πράξεις, ότι σε αυτό υπάρχει μια ρίζα της $f^\prime$ (κατά τον τρόπο που αριστοτεχνικά και εντός φακέλου ποιήσατε για τις ανάγκες του αρχικού προβλήματος). Μπορεί σε σας είναι προφανές το πως γίνεται αυτό ή και να το θεωρείτε ανούσιο. Δεν είναι σε όλους προφανές όμως και το τι είναι ανούσιο είναι υποκειμενικό.

Dimessi έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 02, 2025 6:57 pm
Η μη συσσώρευση είναι απόρροια του θεωρήματος κάλυψης του Borel για κλειστά και φραγμένα σύνολα σε Ευκλείδειους Χώρους (και άρα συμπαγή).

Εξηγήστε αν είναι εύκολο πως χρησιμοποιείτε το θεώρημα κάλυψης του Borel για την απόδειξη της μη συσσώρευσης, πράγμα που θα προικίσει το παρόν νήμα με μια δεύτερη απόδειξη!

Dimessi έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 02, 2025 6:57 pm
$\bullet$ Δεν είναι διαισθητική η απόδειξη μου για το εναλλασσόμενο πρόσημο των $\cos(ap_n)$ . Είναι αυστηρή, σαφέστατη και πλήρης. Η ανάπτυξή μου σε σειρές Taylor έδωσε το $\cos(ap_1)>0$ και το ότι κανένα δεν είναι της μορφής $\frac{\pi}{2}+k\pi$ με ακέραιο , σημαίνει ότι τα ανήκουν σε διαδοχικά διαστήματα όπου η συνάρτηση $\cos$ διατηρεί πρόσημο , εναλλασσόμενο από διάστημα σε διάστημα. Θεωρώ πως δεν χρειάζεται η ρητή μνεία της συνέχειας γιατί είναι άμεσο.

Αυστηρή, σαφέστατη και πλήρης σύμφωνα με ποιο κριτήριο?

Δεν έχω την παραμικρή αμφιβολία ότι μπορείτε να γράψετε μια απόδειξη.

Αλλά το θεμα αυτό δεν το πραγματευτήκατε με την ίδια λεπτομέρεια και ποσότητα πράξεων που πραγματευτήκατε το αρχικό πρόβλημα.
Ας πούμε από τη σειρά Taylor
$\displaystyle a\sin \left (ax \right )-\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left ( -1 \right )^{n}x^{2n+1}}{\left ( 2n+1 \right )!}\left ( a^{2n+2} -1\right )$
πως ακριβώς προκύπτει ότι
$\cos(ap_1)>0$ ?

Μπορείτε να δείξετε τις πράξεις ή έστω να τις σκιαγραφήσετε?
Μπορεί για εσάς να είναι προφανές και τετριμμένο.
Στοιχηματίζω όμως ότι σιγουρα θα υπάρχουν κάποιοι που θα ήθελαν να δουν τις λεπτομέρειες του συλλογισμού σας.

Dimessi έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 02, 2025 6:57 pm
$\bullet$ Στο διάστημα για το υπάρχει τυπογραφική αβλεψία. Αντί του $\frac{\pi}{2a}$ , είναι $\frac{2\pi}{a}$

Θα επισημάνω μόνο ότι το διάστημα μπορεί να βελτιωθεί: $p_1\in(0,\dfrac{\pi}{a})$

Dimessi · #7

$\bullet$ Θα εξηγήσω ορισμένα πράγματα για να τα λέμε με το όνομά τους και να μη θολώνουμε τα νερά άθελα μας.
$\bullet$ Προσωπικά, όταν γράφω σε φάκελλο Α.Ε.Ι δεν απευθύνομαι σε μαθητές ή σε φοιτητές με επιδερμικές γνώσεις. Εξάλλου, την σκέψη της λύσης μου , για να μπορέσει να την συλλάβει ένας φοιτητής και να δει βαθύτερα πως χτυπάω το πρόβλημα στην καρδιά του, είναι απαραίτητη προϋπόθεση να είναι εξαιρετικός. Δεν νομίζω ότι διαφωνούμε σε αυτό. Όποιος δεν καταλαβαίνει τις σειρές Taylor και τα συμπεράσματα που απορρέουν από αυτές, σημαίνει ότι δεν έχει βαθιά γνώση ανάλυσης, οπότε ούτε την σκέψη της λύσης μου μπορεί να καταλάβει.
Το θεώρημα κάλυψης του Borel στη λύση μου χρησιμοποιείται ως γενίκευση από τοπολογικής πλευράς του συμπεράσματος της μη συσσώρευσης ριζών .
Τις εξηγήσεις για το πως χρησιμοποιείται τις έδωσα. Σε φάκελο Α.Ε.Ι αρνούμαι να τα δώσω μασημένη τροφή . Δεν είναι παιδάκια σχολείου.
Το

δυστυχώς θα πω, έχει πέσει όσον αφορά τις αναρτήσεις και τα προβλήματα που προτείνονται εδώ και εγώ δεν είμαι διατεθειμένος να το αφήσω να πέσει σε επίπεδο. Οι λύσεις που δίνω σε απαιτητικά θέματα , αν κάποιος τις δει στο προφίλ μου, θα διαπιστώσει ότι δεν μπορεί να τις καταλάβει το ευρύτερο κοινό, παραμόνο οι Ολυμπιονίκες και οι σπουδαγμένοι μαθηματικοί. Αν ο καθένας μας ρίχνει μια κλοτσιά στο

τονίζοντας απλά πράγματα, λες και δεν είναι το καλύτερο μαθηματικό φόρουμ στην Ελλάδα με διαφορά, τότε όλο και θα μειώνεται το επίπεδό του ως φόρουμ.
Θα δείξω απλά ότι κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του $\mathbb{R}^{n}$ είναι συμπαγές αν για ορισμένους αυτό δεν είναι πασιφανές. .Όντως για κάθε $x=\left ( x_{1},x_{2},...,x_n \right ):\left | \left | x\right |\right |_{\infty}\leq \left\| x\right\|_{2}\leq \sqrt{n}\cdot \left\| x\right\|_{\infty}$
από την ανισότητα που συνδέει την νόρμα $\left\| .\right\|_\infty$ του $\mathbb{R}^{n}$ με την ευκλείδεια νόρμα. Οπότε ένα υποσύνολο

του $\mathbb{R}^{n}$ για να είναι φραγμένο ως προς την ευκλείδεια μετρική d(x,y)=||x-y||_2

με $x,y \in \mathbb{R}^{n}$ , πρέπει και αρκεί να είναι φραγμένο και για την μετρική $p\left ( x,y \right )=\left\| x-y\right\|_{\infty},x,y\in \mathbb{R}^{n}$ , οπότε παίρνοντας

κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του $\mathbb{R}^{n}$ τότε υπάρχει φυσικός

ώστε $A\subseteq \left [ -N,N \right ]^{n}\subseteq \mathbb{R}^{n} \overset{\left [ -N,N \right ]^{n}\sigma \upsilon \mu \pi \alpha \gamma \epsilon \varsigma }\Longrightarrow A$ συμπαγές υποσύνολο του $\mathbb{R}^{n}$
Νομίζω ότι καλό θα ήταν να ολοκληρωθεί εδώ το θέμα. Ας μην αμαυρώσουμε άλλο την όμορφη και ευρηματική λύση μου. Νομίζω ότι δεν το αξίζω αυτό.
Με όλη μου την εκτίμηση προς τον κύριο Ιάσωνα Κωνσταντόπουλο.

Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο V: "Διακρότημα"

Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο V: "Διακρότημα"

Re: Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο V: "Διακρότημα"

Re: Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο V: "Διακρότημα"

Re: Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο V: "Διακρότημα"

Re: Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο V: "Διακρότημα"

Re: Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο V: "Διακρότημα"

Μέλη σε σύνδεση