Αγνόηση μεταβλητής σε μδε

jas · #1

Γεια σας, έχω προσέξει πως σε κάποια προβλήματα όταν λύνω την μερική διαφορική εξίσωση Laplace μπορώ να αγνοήσω κάποιες μεταβλητές.
Πχ, για
$\nabla^2u=0$ , όπου $x,y\in[0,a]\times[0,b]$
Με συνοριακές,

$u(x=0)=u_{1}$ , $u(x=a)=u_{2}$

$\frac{\partial u }{\partial y}_{|y=0}=0$

$\frac{\partial u }{\partial y}_{|y=b}=0$

Βλέπω ότι μπορώ να αγνοήσω την

μεταβλητή λόγω του μηδενισμού στα άκρα και να λύσω την πολύ πιο απλή:

$\frac{\mathrm{d}^{2} u(x) }{\mathrm{d} x^2}=0$

Αν αντί για μερικές παραγώγους είχα u(y=0,b)=0

αυτό δε θα ίσχυε. Η ερώτηση μου είναι, υπάρχει κάποιο θεώρημα το οποίο το εφαρμόζω και μπορώ να αγνοώ αυτές τις μεταβλητές; Μπορεί να με παραπέμψει κάπου κάποιος;

stranger · #2

jas έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 05, 2024 9:42 pm
Γεια σας, έχω προσέξει πως σε κάποια προβλήματα όταν λύνω την μερική διαφορική εξίσωση Laplace μπορώ να αγνοήσω κάποιες μεταβλητές.
Πχ, για
$\nabla^2u=0$ , όπου $x,y\in[0,a]\times[0,b]$
Με συνοριακές,

$u(x=0)=u_{1}$ , $u(x=a)=u_{2}$

$\frac{\partial u }{\partial y}_{|y=0}=0$

$\frac{\partial u }{\partial y}_{|y=b}=0$

Βλέπω ότι μπορώ να αγνοήσω την μεταβλητή λόγω του μηδενισμού στα άκρα και να λύσω την πολύ πιο απλή:

$\frac{\mathrm{d}^{2} u(x) }{\mathrm{d} x^2}=0$

Αν αντί για μερικές παραγώγους είχα αυτό δε θα ίσχυε. Η ερώτηση μου είναι, υπάρχει κάποιο θεώρημα το οποίο το εφαρμόζω και μπορώ να αγνοώ αυτές τις μεταβλητές; Μπορεί να με παραπέμψει κάπου κάποιος;

Φίλε μου, νομίζω ότι δεν εκφράζεις ξεκάθαρα κάποια πράγματα η εγώ δεν καταλαβαίνω τι θες να πεις.
Μπορείς να μας εξηγήσεις τι εννοείς με τον όρο "αγνοώ" μεταβλητές;

jas · #3

Ναι, δε ξέρω αν είναι και πολύ σωστή ορολογία, αλλά εννοώ πως το αρχικό πρόβλημα αφορά μια βαθμωτή συνάρτηση 2 μεταβλητών για την οποία έχω κάποιες συνοριακές συνθήκες. Αν οι συνοριακές είναι κατάλληλες, η συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση και τις συνοριακές μπορεί τελικά να έχει εξάρτηση μόνο από τη μια μεταβλητή. Αν αυτό το δω από νωρίς, θα καταλήξω να λύνω μια πολύ πιο εύκολη εξίσωση από την αρχική. Φυσικά αν πάω να το λύσω διαφορετικά θα βγει και πάλι το ίδιο, αλλά με παραπάνω κόπο. Πχ εδώ λύνοντας μια σδε χωριζομένων αντί της 2D-Laplace..

jas · #4

stranger έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 07, 2024 12:28 am

jas έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 05, 2024 9:42 pm
Γεια σας, έχω προσέξει πως σε κάποια προβλήματα όταν λύνω την μερική διαφορική εξίσωση Laplace μπορώ να αγνοήσω κάποιες μεταβλητές.
Πχ, για
$\nabla^2u=0$ , όπου $x,y\in[0,a]\times[0,b]$
Με συνοριακές,

$u(x=0)=u_{1}$ , $u(x=a)=u_{2}$

$\frac{\partial u }{\partial y}_{|y=0}=0$

$\frac{\partial u }{\partial y}_{|y=b}=0$

Βλέπω ότι μπορώ να αγνοήσω την μεταβλητή λόγω του μηδενισμού στα άκρα και να λύσω την πολύ πιο απλή:

$\frac{\mathrm{d}^{2} u(x) }{\mathrm{d} x^2}=0$

Αν αντί για μερικές παραγώγους είχα αυτό δε θα ίσχυε. Η ερώτηση μου είναι, υπάρχει κάποιο θεώρημα το οποίο το εφαρμόζω και μπορώ να αγνοώ αυτές τις μεταβλητές; Μπορεί να με παραπέμψει κάπου κάποιος;
Φίλε μου, νομίζω ότι δεν εκφράζεις ξεκάθαρα κάποια πράγματα η εγώ δεν καταλαβαίνω τι θες να πεις.
Μπορείς να μας εξηγήσεις τι εννοείς με τον όρο "αγνοώ" μεταβλητές;

Ένα άλλο παράδειγμα (Ηλεκτροστατικής) θα ήταν να χω έναν άπειρα φορτισμένο κύλινδρο με μια κατανομή φορτίου στην επιφάνεια του σ(θ) και να πάω να λύσω την laplace εκεί. Λόγω του ότι είναι άπειρος θα μπορώ να πω πως η λύση μου δεν εξαρτάται από την μεταβλητή z. Προφανώς το να λύσει κάποιος την laplace στον χώρο σε κυλινδρικές είναι σημαντικά δυσκολότερο από το να την λύσει μόνο για ρ,φ. Αν όμως ο κύλινδρος ήταν ημιάπειρος θα έπρεπε να λάβω υπόψιν μου και την z. Φυσική ερμηνεία φυσικά μπορώ να δώσω σε αυτό, αυτό που ρωτάω είναι, αν υπάρχει κάτι σε θεώρημα/θεωρία που μου επιτρέπει να κάνω κάτι τέτοιο. Κάτι σαν κριτήριο, πχ: " $z\in(-\infty,\infty)$ , και η μεταβλητή να μην είναι στις συνοριακές συνθήκες με κάποιον τρόπο, τότε μπορώ να πω πως η λύση δεν έχει εξάρτηση από αυτή την μεταβλητή".

stranger · #5

jas έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 07, 2024 8:25 pm

stranger έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 07, 2024 12:28 am

jas έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 05, 2024 9:42 pm
Γεια σας, έχω προσέξει πως σε κάποια προβλήματα όταν λύνω την μερική διαφορική εξίσωση Laplace μπορώ να αγνοήσω κάποιες μεταβλητές.
Πχ, για
$\nabla^2u=0$ , όπου $x,y\in[0,a]\times[0,b]$
Με συνοριακές,

$u(x=0)=u_{1}$ , $u(x=a)=u_{2}$

$\frac{\partial u }{\partial y}_{|y=0}=0$

$\frac{\partial u }{\partial y}_{|y=b}=0$

Βλέπω ότι μπορώ να αγνοήσω την μεταβλητή λόγω του μηδενισμού στα άκρα και να λύσω την πολύ πιο απλή:

$\frac{\mathrm{d}^{2} u(x) }{\mathrm{d} x^2}=0$

Αν αντί για μερικές παραγώγους είχα αυτό δε θα ίσχυε. Η ερώτηση μου είναι, υπάρχει κάποιο θεώρημα το οποίο το εφαρμόζω και μπορώ να αγνοώ αυτές τις μεταβλητές; Μπορεί να με παραπέμψει κάπου κάποιος;
Φίλε μου, νομίζω ότι δεν εκφράζεις ξεκάθαρα κάποια πράγματα η εγώ δεν καταλαβαίνω τι θες να πεις.
Μπορείς να μας εξηγήσεις τι εννοείς με τον όρο "αγνοώ" μεταβλητές;

Ένα άλλο παράδειγμα (Ηλεκτροστατικής) θα ήταν να χω έναν άπειρα φορτισμένο κύλινδρο με μια κατανομή φορτίου στην επιφάνεια του σ(θ) και να πάω να λύσω την laplace εκεί. Λόγω του ότι είναι άπειρος θα μπορώ να πω πως η λύση μου δεν εξαρτάται από την μεταβλητή z. Προφανώς το να λύσει κάποιος την laplace στον χώρο σε κυλινδρικές είναι σημαντικά δυσκολότερο από το να την λύσει μόνο για ρ,φ. Αν όμως ο κύλινδρος ήταν ημιάπειρος θα έπρεπε να λάβω υπόψιν μου και την z. Φυσική ερμηνεία φυσικά μπορώ να δώσω σε αυτό, αυτό που ρωτάω είναι, αν υπάρχει κάτι σε θεώρημα/θεωρία που μου επιτρέπει να κάνω κάτι τέτοιο. Κάτι σαν κριτήριο, πχ: " $z\in(-\infty,\infty)$ , και η μεταβλητή να μην είναι στις συνοριακές συνθήκες με κάποιον τρόπο, τότε μπορώ να πω πως η λύση δεν έχει εξάρτηση από αυτή την μεταβλητή".

Δηλαδή αν κατάλαβα καλά θέλεις κατά κάποιο τρόπο να μειώσεις τις μεταβλητές χρησιμοποιώντας κάποιο τέχνασμα σε μια συγκεκριμένη μορφή της εξίσωσης του Laplace;

jas · #6

stranger έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 08, 2024 12:22 am

jas έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 07, 2024 8:25 pm

stranger έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 07, 2024 12:28 am

jas έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 05, 2024 9:42 pm
Γεια σας, έχω προσέξει πως σε κάποια προβλήματα όταν λύνω την μερική διαφορική εξίσωση Laplace μπορώ να αγνοήσω κάποιες μεταβλητές.
Πχ, για
$\nabla^2u=0$ , όπου $x,y\in[0,a]\times[0,b]$
Με συνοριακές,

$u(x=0)=u_{1}$ , $u(x=a)=u_{2}$

$\frac{\partial u }{\partial y}_{|y=0}=0$

$\frac{\partial u }{\partial y}_{|y=b}=0$

Βλέπω ότι μπορώ να αγνοήσω την μεταβλητή λόγω του μηδενισμού στα άκρα και να λύσω την πολύ πιο απλή:

$\frac{\mathrm{d}^{2} u(x) }{\mathrm{d} x^2}=0$

Αν αντί για μερικές παραγώγους είχα αυτό δε θα ίσχυε. Η ερώτηση μου είναι, υπάρχει κάποιο θεώρημα το οποίο το εφαρμόζω και μπορώ να αγνοώ αυτές τις μεταβλητές; Μπορεί να με παραπέμψει κάπου κάποιος;
Φίλε μου, νομίζω ότι δεν εκφράζεις ξεκάθαρα κάποια πράγματα η εγώ δεν καταλαβαίνω τι θες να πεις.
Μπορείς να μας εξηγήσεις τι εννοείς με τον όρο "αγνοώ" μεταβλητές;

Ένα άλλο παράδειγμα (Ηλεκτροστατικής) θα ήταν να χω έναν άπειρα φορτισμένο κύλινδρο με μια κατανομή φορτίου στην επιφάνεια του σ(θ) και να πάω να λύσω την laplace εκεί. Λόγω του ότι είναι άπειρος θα μπορώ να πω πως η λύση μου δεν εξαρτάται από την μεταβλητή z. Προφανώς το να λύσει κάποιος την laplace στον χώρο σε κυλινδρικές είναι σημαντικά δυσκολότερο από το να την λύσει μόνο για ρ,φ. Αν όμως ο κύλινδρος ήταν ημιάπειρος θα έπρεπε να λάβω υπόψιν μου και την z. Φυσική ερμηνεία φυσικά μπορώ να δώσω σε αυτό, αυτό που ρωτάω είναι, αν υπάρχει κάτι σε θεώρημα/θεωρία που μου επιτρέπει να κάνω κάτι τέτοιο. Κάτι σαν κριτήριο, πχ: " $z\in(-\infty,\infty)$ , και η μεταβλητή να μην είναι στις συνοριακές συνθήκες με κάποιον τρόπο, τότε μπορώ να πω πως η λύση δεν έχει εξάρτηση από αυτή την μεταβλητή".
Δηλαδή αν κατάλαβα καλά θέλεις κατά κάποιο τρόπο να μειώσεις τις μεταβλητές χρησιμοποιώντας κάποιο τέχνασμα σε μια συγκεκριμένη μορφή της εξίσωσης του Laplace;

Ναι σωστά.

stranger · #7

jas έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 08, 2024 2:00 am

stranger έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 08, 2024 12:22 am

jas έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 07, 2024 8:25 pm

stranger έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 07, 2024 12:28 am

jas έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 05, 2024 9:42 pm
Γεια σας, έχω προσέξει πως σε κάποια προβλήματα όταν λύνω την μερική διαφορική εξίσωση Laplace μπορώ να αγνοήσω κάποιες μεταβλητές.
Πχ, για
$\nabla^2u=0$ , όπου $x,y\in[0,a]\times[0,b]$
Με συνοριακές,

$u(x=0)=u_{1}$ , $u(x=a)=u_{2}$

$\frac{\partial u }{\partial y}_{|y=0}=0$

$\frac{\partial u }{\partial y}_{|y=b}=0$

Βλέπω ότι μπορώ να αγνοήσω την μεταβλητή λόγω του μηδενισμού στα άκρα και να λύσω την πολύ πιο απλή:

$\frac{\mathrm{d}^{2} u(x) }{\mathrm{d} x^2}=0$

Αν αντί για μερικές παραγώγους είχα αυτό δε θα ίσχυε. Η ερώτηση μου είναι, υπάρχει κάποιο θεώρημα το οποίο το εφαρμόζω και μπορώ να αγνοώ αυτές τις μεταβλητές; Μπορεί να με παραπέμψει κάπου κάποιος;
Φίλε μου, νομίζω ότι δεν εκφράζεις ξεκάθαρα κάποια πράγματα η εγώ δεν καταλαβαίνω τι θες να πεις.
Μπορείς να μας εξηγήσεις τι εννοείς με τον όρο "αγνοώ" μεταβλητές;

Ένα άλλο παράδειγμα (Ηλεκτροστατικής) θα ήταν να χω έναν άπειρα φορτισμένο κύλινδρο με μια κατανομή φορτίου στην επιφάνεια του σ(θ) και να πάω να λύσω την laplace εκεί. Λόγω του ότι είναι άπειρος θα μπορώ να πω πως η λύση μου δεν εξαρτάται από την μεταβλητή z. Προφανώς το να λύσει κάποιος την laplace στον χώρο σε κυλινδρικές είναι σημαντικά δυσκολότερο από το να την λύσει μόνο για ρ,φ. Αν όμως ο κύλινδρος ήταν ημιάπειρος θα έπρεπε να λάβω υπόψιν μου και την z. Φυσική ερμηνεία φυσικά μπορώ να δώσω σε αυτό, αυτό που ρωτάω είναι, αν υπάρχει κάτι σε θεώρημα/θεωρία που μου επιτρέπει να κάνω κάτι τέτοιο. Κάτι σαν κριτήριο, πχ: " $z\in(-\infty,\infty)$ , και η μεταβλητή να μην είναι στις συνοριακές συνθήκες με κάποιον τρόπο, τότε μπορώ να πω πως η λύση δεν έχει εξάρτηση από αυτή την μεταβλητή".
Δηλαδή αν κατάλαβα καλά θέλεις κατά κάποιο τρόπο να μειώσεις τις μεταβλητές χρησιμοποιώντας κάποιο τέχνασμα σε μια συγκεκριμένη μορφή της εξίσωσης του Laplace;
Ναι σωστά.

Υπάρχει μια μέθοδος που λέγεται reduction. Νομίζω περί αυτού πρόκειται. Δεν είχα χρόνο να το ψάξω πολύ. Μπορείς να ψάξεις στο διαδίκτυο περί αυτού. Υπάρχει πλούσιο υλικό.
edit: Ψάξε για μέθοδο De LAmbert.

jas · #8

Ευχαριστώ πολύ!

Αγνόηση μεταβλητής σε μδε

Αγνόηση μεταβλητής σε μδε

Re: Αγνόηση μεταβλητής σε μδε

Re: Αγνόηση μεταβλητής σε μδε

Re: Αγνόηση μεταβλητής σε μδε

Re: Αγνόηση μεταβλητής σε μδε

Re: Αγνόηση μεταβλητής σε μδε

Re: Αγνόηση μεταβλητής σε μδε

Re: Αγνόηση μεταβλητής σε μδε

Μέλη σε σύνδεση