Τριπλάσια γωνία

#1

: Ωραία πλευρά.png (14.36 KiB) Προβλήθηκε 1050 φορές

Να βρείτε το μήκος,

, της πλευράς

Κάθε λύση, τεκμηριωμένη, δεκτή

#2

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 13, 2023 1:32 pm
Ωραία πλευρά.png
Να βρείτε το μήκος, , της πλευράς

Κάθε λύση, τεκμηριωμένη, δεκτή

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 13, 2023 1:32 pm
Ωραία πλευρά.png
Να βρείτε το μήκος, , της πλευράς

Κάθε λύση, τεκμηριωμένη, δεκτή

Δημιουργούμε το ισοσκελές τρίγωνο ABD

.Στο τρίγωνο ACD

έχουμε $x^2=27^2+27.48 \Rightarrow x=45$

Με Stewart τώρα στο τρίγωνο ABD

παίρνουμε

: τριπλάσια γωνία.png (129.27 KiB) Προβλήθηκε 995 φορές

#4

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 13, 2023 1:32 pm
Ωραία πλευρά.png
Να βρείτε το μήκος, , της πλευράς

Κάθε λύση, τεκμηριωμένη, δεκτή

Γράφω την τριγωνομετρική λύση που έχω. Με νόμο ημιτόνων:

$\displaystyle \frac{{27}}{{\sin \theta }} = \frac{{48}}{{\sin 3\theta }} \Leftrightarrow 9 = \frac{{16}}{{3 - 4{{\sin }^2}\theta }} = \frac{{16}}{{4{{\cos }^2}\theta - 1}} \Leftrightarrow 9 = \frac{{16}}{{1 + 2\cos 2\theta }} \Leftrightarrow \cos 2\theta = \frac{7}{{18}}$

Στη συνέχεια εύκολα βρίσκω $\displaystyle \cos A = - \cos 4\theta = \frac{{113}}{{162}}$ και με νόμο συνημιτόνου $\boxed{a=35}$

#5

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 13, 2023 1:32 pm
Ωραία πλευρά.png
Να βρείτε το μήκος, , της πλευράς

Κάθε λύση, τεκμηριωμένη, δεκτή

Μία γεωμετρική. Φέρνω το ύψος

και το σημείο

της

ώστε $D\widehat CB=\theta.$

: Τριπλάσια γωνία.Φ.png (11.95 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Με γενίκευση Πυθαγορείου στο ADC

βρίσκω $\displaystyle DM = \frac{{49}}{6}$ και με κριτήριο καθετότητας:

$\displaystyle {a^2} - {21^2} = B{M^2} - M{D^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{a=35}$

STOPJOHN · #6

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 13, 2023 1:32 pm
Ωραία πλευρά.png
Να βρείτε το μήκος, , της πλευράς

Κάθε λύση, τεκμηριωμένη, δεκτή

Με τη βασική ασκηση στο τρίγωνο $ABC,A=3C\Rightarrow (a+c)(a-c)^{2}=cb^{2}$

και με εφαρμογή στο θέμα μας a=35

Θα επανέλθω για την απόδειξη της βασικής εκτός και αν απαντηθεί

STOPJOHN · #7

STOPJOHN έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 13, 2023 6:06 pm

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 13, 2023 1:32 pm
Ωραία πλευρά.png
Να βρείτε το μήκος, , της πλευράς

Κάθε λύση, τεκμηριωμένη, δεκτή
Με τη βασική ασκηση στο τρίγωνο $ABC,A=3C\Rightarrow (a+c)(a-c)^{2}=cb^{2}$

και με εφαρμογή στο θέμα μας

Θα επανέλθω για την απόδειξη της βασικής εκτός και αν απαντηθεί

Απόδειξη

Εστω $\hat{C}=\theta ,\hat{CAN}=\theta =\hat{LAN}=\hat{LAB}$

Αρα τα τρίγωνα ANC,ABN

είναι ισοσκελή με AB=CN=c,AN=NC=a-c

Με Θεώρημα Stweart στο τρίγωνο

$ABC,cb^{2}+(a-c)c^{2}=a[(a-c)^{2}+c(a-c)]\Leftrightarrow (a+c)(a-c)^{2}=cb^{2}$

Henri van Aubel · #8

Δίνω κι εγώ μία λύση χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία.

Από νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ABC

είναι $\displaystyle \frac{\sin 3\theta }{\sin \theta }=3-4\sin ^{2}\theta =\frac{48}{27}=\frac{16}{9}\Leftrightarrow \sin ^{2}\theta =\frac{11}{36}\left ( 1 \right )$

Εξάλλου, $B\widehat{A}C=180^\circ-4\theta .$ Πάλι από νόμο των ημιτόνων $\displaystyle \frac{a}{27}=\frac{\sin \left ( \pi -4\theta \right )}{\sin \theta }=4\cos \theta \cos 2\theta =4\cos \theta \left ( 1-2\sin ^{2}\theta \right )\left ( 2 \right )$

Συνεπώς από $\left ( 1 \right )\&\left ( 2 \right )$ είναι $\displaystyle \frac{a}{27}=4\sqrt{1-\frac{11}{36}}\cdot \left ( 1-\frac{22}{36} \right )=4\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{7}{18}=\frac{35}{27}\Leftrightarrow \boxed{a=35}$

Σημείωση: Επειδή $\displaystyle \theta \in \left ( 0,\frac{\pi }{4} \right )$ έπεται ότι $\cos \theta > 0.$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 13, 2023 1:32 pm
Ωραία πλευρά.png
Να βρείτε το μήκος, , της πλευράς

Κάθε λύση, τεκμηριωμένη, δεκτή

Δημιουργούμε το ισοσκελές τρίγωνο ABD

.Τότε $\angle ADB= \angle ABD=2 \theta \Rightarrow BC$ διχοτόμος της $\angle ABD$

Από θ.διχοτόμου προκύπτει ότι $BD= \dfrac{112}{3}$ κι από $a^2=AB.BD-DC.CA \Rightarrow a=35$

: τριπλάσια γωνία.png (129.27 KiB) Προβλήθηκε 888 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #10

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 13, 2023 1:32 pm
Ωραία πλευρά.png
Να βρείτε το μήκος, , της πλευράς

Κάθε λύση, τεκμηριωμένη, δεκτή

Δημιουργούμε το ισοσκελές τραπέζιο AEBC

.Τότε $\angle ACE= \angle ADC=2 \theta$ και BD=21

Είναι $\dfrac{x}{a}=\dfrac{27}{21} =\dfrac{9}{7} \Rightarrow x= \dfrac{9a}{7}$ κι από Πτολεμαίο εύκολα a=35

: τριπλάσια γωνία.png (175.14 KiB) Προβλήθηκε 885 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #11

Καλημέρα στους φίλους!

: 14-6 τριπλάσια γωνία.png (108.77 KiB) Προβλήθηκε 863 φορές

Το $E \in AB$ ώστε $\widehat{ACE}=\theta$ . Τα όμοια τρίγωνα ABC,AEC

δίνουν $AC^{2}=AE\cdot AB$

απ' όπου παίρνουμε τα μήκη των AE, BE

όπως στο σχήμα , αλλά και $CE=\dfrac{9}{16}a$ .

Στο τρίγωνο BEC

σύμφωνα και με το θέμα ΑΥΤΟ ισχύει $BE^2=EC^2 +EC\cdot BC$

δηλ $\left ( \dfrac{525}{16} \right )^2 =\left ( \dfrac{9a}{16} \right )^2+\dfrac{9a^2}{16}$ άρα $\boxed {a=35 }$ . Φιλικά, Γιώργος.

#12

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 13, 2023 1:32 pm
Ωραία πλευρά.png
Να βρείτε το μήκος, , της πλευράς

Κάθε λύση, τεκμηριωμένη, δεκτή

Δείτε : Κι αυτό

Τριπλάσια γωνία

Τριπλάσια γωνία

Re: Τριπλάσια γωνία

Re: Τριπλάσια γωνία

Re: Τριπλάσια γωνία

Re: Τριπλάσια γωνία

Re: Τριπλάσια γωνία

Re: Τριπλάσια γωνία

Re: Τριπλάσια γωνία

Re: Τριπλάσια γωνία

Re: Τριπλάσια γωνία

Re: Τριπλάσια γωνία

Re: Τριπλάσια γωνία

Μέλη σε σύνδεση