Ελάχιστο με ελάχιστη προσπάθεια

KARKAR · #1

: Ελάχιστο με ελάχιστη προσπάθεια.png (9.19 KiB) Προβλήθηκε 1198 φορές

$\bigstar$ Το σημείο

είναι σταθερό , το

κινείται στην πάνω ημιευθεία και το

στην κάτω ,

ώστε : $\widehat{BAC}=90^\circ$ . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου ABC

.

#2

Kαλησπέρα σε όλους. Αναρτώ μια πρώτη προσέγγιση. Υπάρχουν πολλές. Θα είχε (διδακτικό ενδιαφέρον) να συγκεντρωθούν.

: 19-03-2023 Γεωμετρία.png (9.45 KiB) Προβλήθηκε 1136 φορές

Το ύψος στη

είναι σταθερό, ίσο με

.

Το

κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου

. Το

παίρνει την ελάχιστη τιμή όταν το ημικύκλιο εφάπτεται στην

, οπότε $\displaystyle B{C_{\min }} = 2a$ .

Τότε $\displaystyle {\left( {ABC} \right)_{\min }} = \frac{{BC \cdot {\upsilon _a}}}{2} = {a^2}$ , όταν AB=AC

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 18, 2023 8:14 pm
Ελάχιστο με ελάχιστη προσπάθεια.png $\bigstar$ Το σημείο είναι σταθερό , το κινείται στην πάνω ημιευθεία και το στην κάτω ,

ώστε : $\widehat{BAC}=90^\circ$ . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Η διάμεσος

του ορθογωνίου τριγώνου SBC

ισούται με το μισό της υποτείνουσας

.

Το εμβαδόν $\left( {SBC} \right) = 2\left( {SBM} \right)$ . Η από το

παράλληλη στην

τέμνει την ευθεία

στο

.

Το τετράπλευρο STBM

είναι ρόμβος κι έχει εμβαδόν ίσο με το $\vartriangle SBC$ .

: Ελάχιστο με ελάχιστη προσπάθει.png (14.14 KiB) Προβλήθηκε 1115 φορές

Επειδή $TB \geqslant OB = a$ ( σταθερό ) , ο ρόμβος έχει το ελάχιστο εμβαδόν όταν γίνει τετράγωνο πλευράς

.

Τότε το $T \equiv O$ και $\boxed{{{\left( {SBC} \right)}_{\min }} = \left( {OBMS} \right) = {a^2}}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 18, 2023 8:14 pm
Ελάχιστο με ελάχιστη προσπάθεια.png $\bigstar$ Το σημείο είναι σταθερό , το κινείται στην πάνω ημιευθεία και το στην κάτω ,

ώστε : $\widehat{BAC}=90^\circ$ . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Έστω

: Ελάχιστη προσπάθεια.png (8.61 KiB) Προβλήθηκε 1087 φορές

$\displaystyle {a^2} + {x^2} = A{B^2} = xBC \Leftrightarrow BC = \frac{{{a^2} + {x^2}}}{x} \Rightarrow y = \frac{a}{{2x}}\left( {{a^2} + {x^2}} \right),a > 0$

$\displaystyle a{x^2} - 2xy + {a^3} = 0.$ Για να έχει αυτή η εξίσωση ως προς

λύση θα πρέπει $\displaystyle \Delta \geqslant 0 \Leftrightarrow y \geqslant {a^2}$

Άρα, $\boxed{{(ABC)_{\min }} = {a^2}}$ όταν BC=2a,

δηλαδή $\boxed{AB=AC}$

#5

Συνεχίζω με εργαλεία της Β΄ Λυκείου.

: 20-01-2023 Γεωμετρία α.jpg (31.44 KiB) Προβλήθηκε 1055 φορές

Στο

είναι $\displaystyle AK^2 = BK \cdot KC$ σταθερό.

Οπότε το άθροισμα BK+KC = BC

παίρνει ελάχιστη τιμή όταν είναι ίσα (αν γίνεται), δηλαδή όταν BK = KC

άρα

ισοσκελές με $\displaystyle {\left( {ABC} \right)_{\min }} = \frac{{BC \cdot AK}}{2} = {a^2}$

#6

Και με Τριγωνομετρία (δύο παραλλαγές)

: 20-01-2023 Γεωμετρία β.jpg (32.02 KiB) Προβλήθηκε 1054 φορές

1η παραλλαγή:

$\displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = \frac{{{\rm A}{\rm K}}}{{{\rm B}{\rm K}}} \Leftrightarrow {\rm B}{\rm K} = \frac{a}{{\varepsilon \varphi \varphi }},\;\;\;\varepsilon \varphi \left( {90^\circ - \varphi } \right) = \frac{{{\rm A}{\rm K}}}{{KC}} \Leftrightarrow KC = \frac{a}{{\sigma \varphi \varphi }}$

Οπότε $\displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{BC \cdot AK}}{2} = \frac{{\left( {\frac{a}{{\varepsilon \varphi \varphi }} + \frac{a}{{\sigma \varphi \varphi }}} \right)a}}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\left( {\frac{{\varepsilon \varphi \varphi + \sigma \varphi \varphi }}{{\varepsilon \varphi \varphi \cdot \sigma \varphi \varphi }}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\left( {\varepsilon \varphi \varphi + \sigma \varphi \varphi } \right)$

Επειδή $\displaystyle \varepsilon \varphi \varphi \cdot \sigma \varphi \varphi = 1$ , σταθερό, το άθροισμά τους έχει ελάχιστο όταν είναι ίσοι (αν γίνεται).

Πράγματι, για $\displaystyle \varphi = 45^\circ$ , είναι $\displaystyle {\left( {\varepsilon \varphi \varphi + \sigma \varphi \varphi } \right)_{min}} = 2$ , οπότε $\displaystyle {\left( {ABC} \right)_{\min }} = {a^2}$

2η παραλλαγή:

$\displaystyle \left( {ABC} \right) = ... = \frac{{{a^2}}}{2}\left( {\varepsilon \varphi \varphi + \sigma \varphi \varphi } \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\left( {\frac{{\eta \mu \varphi }}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} + \frac{{\sigma \upsilon \nu \varphi }}{{\eta \mu \varphi }}} \right) = \frac{{{a^2}}}{{2\eta \mu \varphi \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi }} = \frac{{{a^2}}}{{\eta \mu 2\varphi }}$

Το πηλίκο γίνεται ελάχιστο, όταν ο παρονομαστής γίνεται μέγιστος, δηλαδή όταν $\displaystyle \eta \mu 2\varphi = 1 \Leftrightarrow \varphi = 45^\circ$ , οπότε $\displaystyle {\left( {ABC} \right)_{\min }} = {a^2}$ .

nickchalkida · #7

Ακόμα μία ... (αλλά σχεδόν ίδια με την πρώτη λύση του Γιώργου)

$\displaystyle{ (ABC) = {1 \over 2} (OBCD) = {1 \over 2} a \cdot BC \ge {1 \over 2} a \cdot 2a = a^2 }$

Ελάχιστο με ελάχιστη προσπάθεια

Ελάχιστο με ελάχιστη προσπάθεια

Re: Ελάχιστο με ελάχιστη προσπάθεια

Re: Ελάχιστο με ελάχιστη προσπάθεια

Re: Ελάχιστο με ελάχιστη προσπάθεια

Re: Ελάχιστο με ελάχιστη προσπάθεια

Re: Ελάχιστο με ελάχιστη προσπάθεια

Re: Ελάχιστο με ελάχιστη προσπάθεια

Μέλη σε σύνδεση