Μετρικη σε Διανυσματικο Χωρο A

[clair de lune]

Εστω νορμα στον διανυσματικο χωρο Α και ρ μια μετρικη που επαγεται στον χωρο Α απο την νορμα
Αν B A και ρ(Β) η σχετικη μετρικη στο Β εξακολουθει να επαγεται απο την νορμα ;(αν το Β δεν ειναι διανυσματικοσ υποχωρο του Α ;;)

[Mihalis_Lambrou]

Εστω νορμα στον διανυσματικο χωρο Α και ρ μια μετρικη που επαγεται στον χωρο Α απο την νορμα
Αν B A και ρ(Β) η σχετικη μετρικη στο Β εξακολουθει να επαγεται απο την νορμα ;(αν το Β δεν ειναι διανυσματικοσ υποχωρο του Α ;;)

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Γράψε σε παρακαλώ το μήνυμά σου με σωστά Ελληνικά, όπως άλλωστε απαιτούν οι κανονισμοί του φόρουμ, και θα σου απαντήσω. Υπόψη ότι στην γλώσσα μας οι λέξεις τονίζονται και το τελικό σίγμα είναι διαφορετικό από το "κοινό". Επίσης, στις ερωτηματικές προτάσεις μπαίνει μόνο ένα ";" στο τέλος και μάλιστα πρέπει να κολλάει (χωρίς κενό) στην τελευταία λέξη της πρότασης.

Επειδή προφανώς είσαι φοιτητής ή ήδη πτυχιούχος, ένος λόγος παραπάνω να γράφεις σωστά Ελληνικά. Θα σου είναι χρήσιμος οδηγός στην ζωή.

[clair de lune]

Καλησπέρα και συγγνώμη για την πρόχειρη παρουσίαση της ερώτησης.
Ξαναγράφω λοιπόν:
Έστω νόρμα στον διανυσματικό χώρο Α και ρ μια μετρική που επάγεται στον χώρο Α από την νόρμα.
Αν και ρ(Β) η σχετική μετρική στο Β, εξακολουθεί να επάγεται από την νόρμα;
Tι γίνεται στην περίπτωση που το Β δεν είναι διανυσματικός υπόχωρος του Α;

[Mihalis_Lambrou]

Έστω νόρμα στον διανυσματικό χώρο Α και ρ μια μετρική που επάγεται στον χώρο Α από την νόρμα.
Αν και ρ(Β) η σχετική μετρική στο Β, εξακολουθεί να επάγεται από την νόρμα;
Tι γίνεται στην περίπτωση που το Β δεν είναι διανυσματικός υπόχωρος του Α;

Συμπληρώνω την ερώτησή σου γιατί λείπουν μερικές ουσιαστικές λέξεις (οι κοκκινισμένες, παρακάτω).

Υποθέτω ότι αυτό που ζητάς είναι αν η σχετική τοπολογία εξακολουθεί να επάγεται από την σχετική μετρική.

Η απάντηση είναι ναι, ανεξάρτητα από το αν ο είναι ή δεν είναι διανυσματικός υπόχωρος. Επειδή το θέμα είναι αρκετά απλό, δίνω μ'όνο υπόδειξη.

Συμβολίσουμε με στην μπάλα σε έναν μετρικό χώρο . Παρακάτω η θα είναι είτε η του αρχικού χώρου είτε η που επάγεται από την σε ένα υποσύνολό του .

α) Ως γνωστόν (εξ ορισμού), βάση της αρχικής τοπολογίας, στον , είναι οι παραπάνω μπάλες. Τα ανοικτά σύνολα στην επαγόμενη τοπολογία στον είναι τα σύνολα της μορφής για ανοικτό σύνολο της αρχικής τοπολογίας. Μέχρι εδώ δεν είπα τίποτα ουσιαστικό. Τώρα,

β) Δείξε ότι για κάθε και ισχύει (η τελευταία ισότητα είναι εξ ορισμού).