Ανισότητα

Tolaso J Kos · #1

Έστω

τέτοιοι ώστε ab+bc+ca=1

. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sqrt{a + \frac{1}{a}} + \sqrt{b + \frac{1}{b}} + \sqrt{c + \frac{1}{c}} \geq 2 \left (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \right ) }$

vgreco · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 02, 2023 8:51 pm
Έστω τέτοιοι ώστε . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sqrt{a + \frac{1}{a}} + \sqrt{b + \frac{1}{b}} + \sqrt{c + \frac{1}{c}} \geq 2 \left (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \right ) }$

$\displaystyle{ \begin{aligned} \sum \sqrt{a + \frac{1}{a}} = \sum \sqrt{a + \frac{a(b + c) + bc}{a}} = \sum \sqrt{a + b + c + \frac{bc}{a}} \geq \sum \sqrt{b + c + 2\sqrt{bc}} &= \sum \sqrt{\left( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right)^2} \\ &= 2 \left (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \right ) \end{aligned} }$

Ισότητα για $a = b = c = \dfrac{1}{\sqrt3}$ .

Henri van Aubel · #3

Edit: Τώρα πρόσεξα τη λύση της πρώτης ανάρτησης, συγγνώμη παιδιά.

G.Bas · #4

Η προς απόδειξη Ανισότητα ισοδύναμα γράφεται
$\displaystyle{\sum\sqrt{a+\frac{1}{a}}=\sum\sqrt{\frac{a^2+1}{a}}=\sum\sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{a}}\geq\sum\frac{\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}}=2\sum\sqrt{a}}$

με την τελευταία Ανισότητα να ισχύει σύμφωνα με την Ανισότητα Cauchy-Schwarz.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση