Πλήθος ακέραιων διαιρετών

Τόλης · #1

Για κάποιο θετικό ακέραιο

, ο αριθμός 110n^3

έχει

θετικούς ακέραιους διαιρέτες, συμπεριλαμβανομένων του

και τον αριθμό 110n^3

. Πόσους θετικούς ακέραιους διαιρέτες έχει ο αριθμός 81n^4

;

#2

Δύσκολο για Α' Γυμνασίου. Ίσως καταλληλότερο για διαγωνισμούς.

Γράφουμε $110n^3 = p_1^{r_1} \cdots p_k^r_k$ ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Επειδή $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$ , τότε τρία από τα r_i

, έστω τα

είναι ισότιμα με $1 \bmod 3$ και τα υπόλοιπα είναι πολλαπλάσια του

.

Ισχύει τότε ότι το πλήθος των διαιρετών του 110n^3

είναι $(r_1+1) \cdots (r_k+1) = 110 = 2\cdot 5 \cdot 11$ . Επειδή τα r_1+1,r_2+1,r_3+1

είναι ισότιμα με $2 \bmod 3$ , τότε πρέπει να είναι τα 2,5,11

με κάποια σειρά. Τότε όμως το

δεν θα έχει άλλο πρώτο διαιρέτη εκτός των 2,5,11

.

Άρα $110n^3 = pq^4r^{10}$ όπου $\{p,q,r\} = \{2,5,11\}$ . Τότε n = qr^3

και $81n^4 = 3^4 q^{4} r^{12}$ που έχει $5 \cdot 5 \cdot 13 = 325$ διαφορετικούς ακέραιους διαιρέτες.

Τόλης · #3

Γειά σας κύριε Δημήτρη, όντως θα ήταν προτιμότερο να το έβαζα στο φάκελο για τους διαγωνισμούς γυμνασίου, καθώς προέρχεται από τον AMC 10A 2016 και μου τράβηξε το ενδιαφέρον.
Ίσως για να το σώσω θα έπρεπε να βάλω τις επιλογές που προσφέρει ο διαγωνισμός.
Συγκεκριμένα:
α) $\large 110$
β) $\large 191$
γ) $\large 261$
δ) $\large 325$
ε) $\large 425$

#4

Βλέποντας την προηγούμενη ανάρτηση με τις απαντήσεις κατάλαβα πως έκανα μια γκάφα στη λύση μου. Είχα πει $n = pq^4r^{10}$ αντί του σωστού $110n^3 = pq^4r^{10}$ . Το διόρθωσα τώρα.

Ακόμη και με τις απαντήσεις εξακολουθεί να είναι δύσκολο για Α' Γυμνασίου.

Τόλης · #5

Πολύ όμορφη η λύση σας κύριε Δημήτρη, μια άλλη που αναφέρει ο διαγωνισμός και νομίζω είναι περισσότερο κατάλληλη για τα πλαίσια της Α΄ Γυμνασίου είναι η εξής:
Καθώς η ανάλυση του 110

σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι $2 \cdot 5 \cdot 11$ , έχουμε ότι ο αριθμός είναι ίσος με $2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot n^3$ . Αυτός έχει παράγοντες $2 \cdot 2 \cdot 2=8$ όταν n=1

. Αυτός χρειάζεται ένα πολλαπλάσιο των $\large 11$ παραγόντων, τους οποίους μπορούμε να πάρουμε ορίζοντας n=2^3

, επομένως έχουμε τους παράγοντες $2^{10} \cdot 5 \cdot 11$ έχει

. Για να επιτύχουμε τους 110

παράγοντες, χρειαζόμαστε ο αριθμός των παραγόντων να διαιρείται επίσης με

, ώστε να μπορούμε να ορίσουμε $n=2^3 \cdot 5$ , οπότε $2^{10} \cdot 5^4 \cdot Το 11$ έχει 110

παράγοντες.

Επομένως, $n=2^3 \cdot 5$ . Για να βρούμε τον αριθμό των παραγόντων των 81n^4

, τον ανεβάζουμε στην τέταρτη δύναμη και τον πολλαπλασιάζουμε με

και βρίσκουμε τους συντελεστές αυτού του αριθμού. Έχουμε $3^4 \cdot 2^{12} \cdot 5^4$ και αυτό έχει $\large 5\cdot 13\cdot 5=325$ παράγοντες.

Πλήθος ακέραιων διαιρετών

Πλήθος ακέραιων διαιρετών

Re: Πλήθος ακέραιων διαιρετών

Re: Πλήθος ακέραιων διαιρετών

Re: Πλήθος ακέραιων διαιρετών

Re: Πλήθος ακέραιων διαιρετών

Μέλη σε σύνδεση