Τέλειο τετράγωνο

2nisic · #1

Μια άσκηση που κατασκευασα η ιδέα προέρχεται προφανώς από την : (2^n-1)(3^n-1)=m^2

.

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί n,m

τέτοιοι ώστε: (2^n-1)(2021^n-1)=m^2

#2

Επαναφορά!

#3

H

είναι λύση (αν είναι αποδεκτή). Θα δείξουμε ότι δεν υπάρχουν λύσεις για $n \geqslant 1$ .

Αν n=2k+1

περιττός, τότε modulo

έχουμε:

$\displaystyle (2^n-1)(2021^n-1) \equiv (2^n-1)((-2)^n-1) \equiv -(4^n-1) \equiv -(4\cdot 16^k-1) \equiv \pm 3, \pm 5 \bmod 17$

Αυτό όμως είναι άτοπο επειδή τα $\pm 3, \pm 5$ δεν είναι τέλεια τετράγωνα modulo

.

Άρα ο

είναι άρτιος.

Αν (2^n-1)(2021^n-1)

τέλειο τετράγωνο, τότε υπάρχει αριθμός

ελέυθερος τετραγώνου ώστε 2^n-1 = dr^2

και

. Επειδή

άρτιος, τότε οι 2^k

και

είναι λύσεις για το

στη διοφαντική εξίσωση x^2 - dy^2 = 1

.

Αυτή όμως είναι εξίσωση Pell. Έστω (x_1,y_1)

η θεμελιώδης λύση. Τότε έχουμε την αναδρομική σχέση $x_{i+2} = 2x_1x_{i+1} - x_i$ με x_0 = 1

. Αν

περιττός, τότε όλα τα x_i

είναι περιττοί, άτοπο αφού κάποιο πρέπει να είναι δύναμη του

. Άρα

άρτιος. Τότε έχουμε $x_{2i+1}$ άρτιος για κάθε

.

Έχουμε επίσης ότι

$\displaystyle x_i = \frac{(x_1+y_1\sqrt{d})^i + (x_1-y_1\sqrt{d})^i}{2}$

Τότε όμως είναι

$\displaystyle 2x_i^2 = \frac{(x_1+y_1\sqrt{d})^{2i} + (x_1-y_1\sqrt{d})^{2i} + 2(x_1^2 - dy_1^2)^i}{2} = x_{2i} - 1$

Τότε,

$\displaystyle x_{2i} \equiv 0 \bmod 2021 \implies 2x_i^2 \equiv 1 \bmod 43 \equiv x_i^2 \equiv 22 \bmod 43$

Αλλά

$\displaystyle \left( \frac{22}{43}\right) = \left( \frac{2}{43}\right)\left( \frac{11}{43}\right) = -\left( \frac{11}{43}\right) = \left( \frac{43}{11}\right) = \left( \frac{-1}{11}\right) = -1$

το οποίο είναι άτοπο.

Άρα το $x_{2i}$ δεν μπορεί να είναι δύναμη του 2021

. Ούτε όμως το $x_{2i+1}$ μπορεί να είναι δύναμη του 2021

αφού είναι και πολλαπλάσιο του

.

Συνεπώς δεν υπάρχουν λύσεις για $n \geqslant 1$ .

2nisic · #4

Φοβερό

!!!
Δεν το είχα παρατήρηση. Την περίπτωση n=2k+1

την είχα κάνει ως εξής:
Αν n=1

αδύνατο.

Αν $n\equiv 1(mod4)$ τότε mod16

έχουμε $m^2\equiv -1(5-1)\equiv -4(mod16)$ αδύνατο αρά $n\equiv 3(mod4)$

Αν $n\equiv 5(mod6)$ τότε mod7

έχουμε $m^2\equiv (4-1)(3-1)\equiv 6(mod7)$ αδύνατο αρά $n\equiv 3,7(mod12)$

Αν $n\equiv 7(mod12)$ τότε mod13

τότε

άρτιος αδύνατο οπότε θα πρέπει $7^2|2^n-1\Rightarrow 7|n\Rightarrow n\equiv 21(mod42)$ ομως τοτε mod43

δινει
$m^2\equiv (-1-1)-1\equiv 2(mod43)$ αδύνατο.

Η περίπτωση n=2k

είναι κοινή.

Τέλειο τετράγωνο

Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση