Για πάντα διχοτόμος

KARKAR · #1

: Για πάντα διχοτόμος.png (9 KiB) Προβλήθηκε 894 φορές

Το τμήμα

είναι το ύψος προς την υποτείνουσα

, του ορθογωνίου τριγώνου ABC

.

Γράφουμε το εντός του τριγώνου τόξο $\overset{\frown}{AA'}$ , του κύκλου (B,BA)

, επί του οποίου κινείται

σημείο

. Δείξτε ότι η SA'

είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat{DSC}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 12, 2021 10:29 am
Για πάντα διχοτόμος.pngΤο τμήμα είναι το ύψος προς την υποτείνουσα , του ορθογωνίου τριγώνου .

Γράφουμε το εντός του τριγώνου τόξο $\overset{\frown}{AA'}$ , του κύκλου , επί του οποίου κινείται

σημείο . Δείξτε ότι η είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat{DSC}$ .

: Πάντα διχοτόμος.png (19.27 KiB) Προβλήθηκε 886 φορές

Έστω

το δεύτερο (εκτός του {A}'

) σημείο τομής του κύκλου $\left( B,BA \right)$ με την

. Τότε από $BA\bot AC$ προκύπτει ότι η

είναι εφαπτόμενη του εν λόγω κύκλου και συνεπώς $\angle {A}'AC=\angle AE{A}'\overset{o\xi \varepsilon \iota \varsigma \,\,\mu \varepsilon \,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma }{\mathop{=}}\,\angle DA{A}'$ άρα η A{A}'

είναι διχοτόμος του τριγώνου $\vartriangle DAC$ και με $EA\bot A{A}'$ (από το ημικύκλιο) προκύπτει ότι η

είναι η εξωτερική του διχοτόμος και συνεπώς η σειρά $\left( E,D,{A}',C \right)$ είναι αρμονική επομένως και η δέσμη S.ED{A}'C

και επειδή οι ακτίνες της SE,S{A}'

είναι κάθετες μεταξύ τους (λόγω του ημικυκλίου) προκύπτει ότι αυτές θα διχοτομούν τις γωνίες που σχηματίζουν οι άλλες δύο, δηλαδή S{A}'

διχοτόμος της $\angle DSC$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

#3

: Για πάντα διχοτόμος.png (16.13 KiB) Προβλήθηκε 875 φορές

Με

το αντιδιαμετρικό του

και την

εφαπτομένη του $\left( {B,BA} \right)$ , η τετράδα $\left( {D,C\backslash E,A'} \right)$ είναι αρμονική .

Άρα και η δέσμη $S\left( {D,C\backslash E,A'} \right)$ είναι αρμονική , κι αφού $\widehat {ESA'} = 90^\circ$ , η SA'

είναι διχοτόμος του $\vartriangle SDC$ .

Τι να κάνουμε που άλλοι είναι πιο γρήγοροι ! . Μέχρι και στα γράμματα έχουμε τα ίδια !

#4

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 12, 2021 11:13 am

...
Τι να κάνουμε που άλλοι είναι πιο γρήγοροι ! . Μέχρι και στα γράμματα έχουμε τα ίδια !

Έχουμε και μερικά χρόνια διαφορά Νίκο. Συνήθως οι "νεότεροι" είναι γρηγορότεροι

#5

Τελικά, εγώ είμαι ο πιο αργός;

$\displaystyle BA' = BS = BA = c,BD = \frac{{{c^2}}}{a},DC = \frac{{{a^2} - {c^2}}}{a},$ οπότε $\displaystyle \frac{{DA'}}{{A'C}} = \frac{{c - \frac{{{c^2}}}{a}}}{{a - c}} = \frac{{c(a - c)}}{{a(a - c)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{DA'}}{{A'C}} = \frac{c}{a}}$ (1)

: Για πάντα διχοτόμος.png (15.98 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές

$\displaystyle {\rm{Stewart}}$ στο BSC

με τέμνουσα SD:

$\displaystyle {c^2} \cdot \frac{{{a^2} - {c^2}}}{a} + S{C^2} \cdot \frac{{{c^2}}}{a} = D{S^2} \cdot a + a \cdot \frac{{{c^2}}}{a} \cdot \frac{{{a^2} - {c^2}}}{a} \Leftrightarrow \frac{{D{S^2}}}{{S{C^2}}} = \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{\frac{{DA'}}{{A'C}} = \frac{{DS}}{{SC}}}$

που αποδεικνύει το ζητούμενο.

#6

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 12, 2021 11:46 am
Τελικά, εγώ είμαι ο πιο αργός;

$\displaystyle BA' = BS = BA = c,BD = \frac{{{c^2}}}{a},DC = \frac{{{a^2} - {c^2}}}{a},$ οπότε $\displaystyle \frac{{DA'}}{{A'C}} = \frac{{c - \frac{{{c^2}}}{a}}}{{a - c}} = \frac{{c(a - c)}}{{a(a - c)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{DA'}}{{A'C}} = \frac{c}{a}}$ Για πάντα διχοτόμος.png
$\displaystyle {\rm{Stewart}}$ στο με τέμνουσα

$\displaystyle {c^2} \cdot \frac{{{a^2} - {c^2}}}{a} + S{C^2} \cdot \frac{{{c^2}}}{a} = D{S^2} \cdot a + a \cdot \frac{{{c^2}}}{a} \cdot \frac{{{a^2} - {c^2}}}{a} \Leftrightarrow \frac{{D{S^2}}}{{S{C^2}}} = \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{\frac{{DA'}}{{A'C}} = \frac{{DS}}{{SC}}}$

που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Κάθε άλλο Γιώργο . Εσύ έδωσες στοιχειώδη λύση εκ του μηδενός . Ο 10 έτη νεώτερος κι εγώ δώσαμε τη λύση που ήταν στο μυαλό μας εξ αρχής γνωστή και απλώς την πληκτρολογήσαμε ( με διαφορά φάσεως λόγω ταχύτητας ) .

Εγώ προσωπικά αν επιχειρήσω να την λύσω με άλλο τρόπο ( και χωρίς να διαβάσω την δική σου ) θα τα καταφέρω, αν τα καταφέρω με 10 πλάσια διαφορά φάσεως από το χρόνο που εσύ έδωσες απάντηση.

KARKAR · #7

Γιώργο θα έβαζα στοίχημα , ότι θα ανέβαζες την λύση που ακολουθεί , αλλά ... απλά πλησίασες

: Για πάντα διχοτόμος.png (13.21 KiB) Προβλήθηκε 851 φορές

$BA^2=BD\cdot BC=BS^2$ , άρα η

εφάπτεται του κύκλου (D , S , C)

και τα υπόλοιπα ... φαίνονται στο σχήμα .

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 12, 2021 12:03 pm
Γιώργο θα έβαζα στοίχημα , ότι θα ανέβαζες την λύση που ακολουθεί , αλλά ... απλά πλησίασες Για πάντα διχοτόμος.png $BA^2=BD\cdot BC=BS^2$ , άρα η εφάπτεται του κύκλου

και τα υπόλοιπα ... φαίνονται στο σχήμα .

Συμφωνώ επαυξάνω και

#9

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 12, 2021 12:03 pm
Γιώργο θα έβαζα στοίχημα , ότι θα ανέβαζες την λύση που ακολουθεί , αλλά ... απλά πλησίασες Για πάντα διχοτόμος.png $BA^2=BD\cdot BC=BS^2$ , άρα η εφάπτεται του κύκλου

και τα υπόλοιπα ... φαίνονται στο σχήμα .

Πολύ καλό Θανάση

Δεν πέρασε καθόλου απ' το μυαλό μου εξαιτίας του φίλου μου του $\displaystyle {\rm{Stewart}}$

Για πάντα διχοτόμος

Για πάντα διχοτόμος

Re: Για πάντα διχοτόμος

Re: Για πάντα διχοτόμος

Re: Για πάντα διχοτόμος

Re: Για πάντα διχοτόμος

Re: Για πάντα διχοτόμος

Re: Για πάντα διχοτόμος

Re: Για πάντα διχοτόμος

Re: Για πάντα διχοτόμος

Μέλη σε σύνδεση