Εξωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #1

Έστω

σημείο του κύκλου (C):x^2 +y^2 -2x-2y-8=0

. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου με ακτίνα $2\sqrt10$ , που εφάπτεται εξωτερικά με τον (C)

στο σημείο

.

#2

Νίκος Ζαφειρόπουλος έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 28, 2021 11:46 pm
Έστω σημείο του κύκλου . Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου με ακτίνα $2\sqrt10$ , που εφάπτεται εξωτερικά με τον στο σημείο .

: Εξωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι.png (22.44 KiB) Προβλήθηκε 1027 φορές

Ο κύκλος $\Omega$ που δόθηκε γράφεται : ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2}$ .

Το αντιδιαμετρικό του

σ αυτό τον κύκλο είναι το $S\left( {2 \cdot 1 - 2,2 \cdot 1 + 2} \right) = S\left( {0,4} \right)$

Το κέντρο,

, του ζητουμένου κύκλου , επειδή έχει διπλάσια ακτίνα και εφάπτεται εξωτερικά στο

θα είναι το συμμετρικό του $S\left( {0,4} \right)$ ως προς το $M\left( {2, - 2} \right)$ .

Θα είναι λοιπόν: $L\left( {2 \cdot 2 - 0,2 \cdot \left( { - 2} \right) - 4} \right) = L\left( {4, - 8} \right)$ άρα έχει εξίσωση:

${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 8} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {10} } \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 8x + 16y + 40 = 0$

#3

Νίκος Ζαφειρόπουλος έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 28, 2021 11:46 pm
Έστω σημείο του κύκλου . Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου με ακτίνα $2\sqrt10$ , που εφάπτεται εξωτερικά με τον στο σημείο .

Παραλλαγή. Ο κύκλος είναι ο $(x-1)^2+(y-1)^2=(\sqrt {10})^2$ , δηλαδή είναι κέντρου K(1,1)

και ακτίνας $\sqrt {10}$ .

Επειδή τα K,M,L

είναι συνευθειακά, βρίσκουμε την ευθεία

. Είναι η $y=4-3x\,(*)$ (άμεσο) και γνωρίζουμε ότι σε αυτήν βρίσκεται το κέντρο

του ζητούμενου.

Επίσης, η απόσταση

είναι το άθροισμα των αποστάσεων $KM,\, ML$ (λόγω επαφής). Εδώ $KL=\sqrt {10}+2\sqrt {10}=3\sqrt {10}$ . To

λοιπόν βρίσκεται στον κύκλο $(K,3\sqrt {10})$ , δηλαδή τον $(x-1)^2+(y-1)^2=(3\sqrt {10})^2\,(**)$ .

Λύνουμε το σύστημα των (*),(**)

(άμεσο) και κρατάμε μόνο την ρίζα L(4,-8)

γιατί η δεύτερη έχει $x\le 1$ που απορρίπτεται.

Άρα ο ζητούμενος κύκλος είναι ο $(x-4)^2+(y+8)^2=(2\sqrt {10})^2$ .

kfd · #4

Το Μ χωρίζει τη διάκεντρο ΚΛ σε τμήματα λόγου 1÷2 και επειδή είναι (Κ,Λ,Μ)=1/2, οι συντεταγμένες του διανύσματος ΜΛ θα είναι (2,-6), με αποτέλεσμα χΛ=4 και ψΛ=-8.

#5

Νίκος Ζαφειρόπουλος έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 28, 2021 11:46 pm
Έστω σημείο του κύκλου . Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου με ακτίνα $2\sqrt10$ , που εφάπτεται εξωτερικά με τον στο σημείο .

Αλλιώς. Το κέντρο του δοσμένου κύκλου είναι K(1,1).

Έστω

το κέντρο του ζητούμενου κύκλου. Τότε θα είναι:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} KL = 3\sqrt {10} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y = 88\\ \\ ML = 2\sqrt {10} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 4y = 32 \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{( - )}$ $\boxed{x = 3y + 28}$ και αντικαθιστώντας σε μία από τις άλλες δύο εξισώσεις

$\displaystyle y^2 + 16y + 64 = 0 \Leftrightarrow {(y + 8)^2} = 0 \Leftrightarrow y = - 8$ και L(4,-8).

Άρα η εξίσωση του ζητούμενου κύκλου είναι $\boxed{(x-4)^2+(y+8)^2=40}$

Εξωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι

Εξωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: Εξωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: Εξωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: Εξωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: Εξωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι

Μέλη σε σύνδεση