ελάχιστο ...

#1

Να βρεθεί το ελάχιστο της συνάρτησης:

$f(x)=\sqrt{5-3cosx}+\sqrt{29-21sinx}$

#2

rek2 έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 05, 2021 7:46 pm
Να βρεθεί το ελάχιστο της συνάρτησης:

$f(x)=\sqrt{5-3cosx}+\sqrt{29-21sinx}$

Καλό.

Απάντηση:

Φέρνουμε δύο κάθετα ευθύγραμμα τμήματα $OA\perp OC$ με $OA=1,\, OC=7$ . To

κινείται σε κύκλο κέντρου

και ακτίνας OB=3.

Από τον Νόμο των Συνημιτόνων στα τρίγωνα $OAB,\, ABC$ έχουμε

$\sqrt{5-3\cos x}+\sqrt{29-21\sin x}= \dfrac {1}{\sqrt 2} \sqrt{10-6\cos x}+\dfrac {1}{\sqrt 2}\sqrt{58-42 \sin x}=$

$=\dfrac {1}{\sqrt 2} \sqrt{1^2+3^2-2\cdot 1 \cdot 3\cos x }+\dfrac {1}{\sqrt 2}\sqrt{3^2+7^2-2 \cdot 3 \cdot 7 \sin x}=$

$=\dfrac {1}{\sqrt 2} AB+\dfrac {1}{\sqrt 2}BC}\ge \dfrac {1}{\sqrt 2} AC =\dfrac {1}{\sqrt 2}\sqrt {1^2+7^2}=5$ με ισότητα όταν το

είναι στην θέση

.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 06, 2021 1:38 am

rek2 έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 05, 2021 7:46 pm
Να βρεθεί το ελάχιστο της συνάρτησης:

$f(x)=\sqrt{5-3cosx}+\sqrt{29-21sinx}$
Καλό.

Απάντηση:

Φέρνουμε δύο κάθετα ευθύγραμμα τμήματα $OA\perp OC$ με $OA=1,\, OC=7$ . To κινείται σε κύκλο κέντρου και ακτίνας Από τον Νόμο των Συνημιτόνων στα τρίγωνα $OAB,\, ABC$ έχουμε

$\sqrt{5-3\cos x}+\sqrt{29-21\sin x}= \dfrac {1}{\sqrt 2} \sqrt{10-6\cos x}+\dfrac {1}{\sqrt 2}\sqrt{58-42 \sin x}=$

$=\dfrac {1}{\sqrt 2} \sqrt{1^2+3^2-2\cdot 1 \cdot 3\cos x }+\dfrac {1}{\sqrt 2}\sqrt{3^3+7^2-2 \cdot 3 \cdot 7 \sin x}=$

$=\dfrac {1}{\sqrt 2} AB+\dfrac {1}{\sqrt 2}BC}\ge \dfrac {1}{\sqrt 2} AC =\dfrac {1}{\sqrt 2}\sqrt {1^2+7^2}=5$ με ισότητα όταν το είναι στην θέση .

Σκέψη ο απόλυτος ... αιφνιδιασμός!!

Μιχάλη συγχαρητήρια για την λύση σου! Σε ευχαριστώ!

KARKAR · #4

: ελάχιστο rek2.png (4.56 KiB) Προβλήθηκε 1778 φορές

Την λύση του Μιχάλη , πιστεύω θα την ζήλευε κάθε λύτης

Θέτω το ( άχαρο ασφαλώς ) ερώτημα : Για ποια τιμή του

πετυχαίνουμε το ελάχιστο ;

Εκφράστε αυτό το

, με την βοήθεια κάποιου τριγωνομετρικού αριθμού .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 07, 2021 7:09 pm
ελάχιστο rek2.pngΤην λύση του Μιχάλη , πιστεύω θα την ζήλευε κάθε λύτης

Θέτω το ( άχαρο ασφαλώς ) ερώτημα : Για ποια τιμή του πετυχαίνουμε το ελάχιστο ;

Εκφράστε αυτό το , με την βοήθεια κάποιου τριγωνομετρικού αριθμού .

$x=2arctan\left(\dfrac{3+\sqrt{401}}{28}\right)$

(Εκείνη η λύση της 4x^2(29-42x+29x^2)-49(1-2x^2+x^4)(2+8x^2)=0

... που μας υποδεικνύει το σχήμα του Μιχάλη.)

Επαλήθευση: $\sqrt{808+8\sqrt{401}}+\sqrt{5183-167\sqrt{401}}=5\sqrt{199+\sqrt{401}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 07, 2021 11:21 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 07, 2021 7:09 pm
ελάχιστο rek2.pngΤην λύση του Μιχάλη , πιστεύω θα την ζήλευε κάθε λύτης

Θέτω το ( άχαρο ασφαλώς ) ερώτημα : Για ποια τιμή του πετυχαίνουμε το ελάχιστο ;

Εκφράστε αυτό το , με την βοήθεια κάποιου τριγωνομετρικού αριθμού .
$x=2arctan\left(\dfrac{3+\sqrt{401}}{28}\right)$

(Εκείνη η λύση της ... που μας υποδεικνύει το σχήμα του Μιχάλη.)

Επαλήθευση: $\sqrt{808+8\sqrt{401}}+\sqrt{5183-167\sqrt{401}}=5\sqrt{199+\sqrt{401}}$

Πως προέκυψε η εξίσωση ;
Παντως από νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα OAD,ODC

προκύπτει ότι η γωνία ικανοποιεί την
$\frac{3}{7}\sin x+3\cos x=1$
(προκύπτει από την AD+DC=AC

)
Η $t=\tan \frac{x}{2}$
ικανοποιεί την
14t^2-3t-7=0

και βγαίνει το ίδιο αποτέλεσμα.

#7

Πράγματι, η λύση του Μιχάλη είναι εμπνευσμένη και ζηλευτή

Ας δούμε τώρα το παρακάτω ερώτημα:

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 07, 2021 7:09 pm
ελάχιστο rek2.pngΤην λύση του Μιχάλη , πιστεύω θα την ζήλευε κάθε λύτης

Θέτω το ( άχαρο ασφαλώς ) ερώτημα : Για ποια τιμή του πετυχαίνουμε το ελάχιστο ;

Εκφράστε αυτό το , με την βοήθεια κάποιου τριγωνομετρικού αριθμού .

: Ελάχιστο.ΚΡ.png (5.67 KiB) Προβλήθηκε 1650 φορές

Με $\displaystyle {\rm{Stewart}}$ βρίσκω $\displaystyle y = \frac{{1 + \sqrt {401} }}{{5\sqrt 2 }}$ και στη συνέχεια με νόμο συνημιτόνου στο

AOD

παίρνω $\displaystyle \cos x = \frac{{49 - \sqrt {401} }}{{150}}.$ Το λογισμικό δίνει $\boxed{x \simeq 78,86235^\circ }$

#8

rek2 έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 05, 2021 7:46 pm
Να βρεθεί το ελάχιστο της συνάρτησης:

$f(x)=\sqrt{5-3cosx}+\sqrt{29-21sinx}$

Κώστα καλημέρα από Γρεβενά....

Γιατί να μη ρωτήσει κανείς και για το μέγιστο της συνάρτησης αυτής;

Στην όμορφη λύση του Μιχάλη, που αναδεικνύει την "περιφρονημένη" σήμερα Γεωμετρία, θεωρήθηκε

ως πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής το διάστημα $\displaystyle{A=[0,2 \pi]}$ γιατί η επέκταση αυτής στο $\displaystyle{R}$ εύκολα

δείχνεται ότι είναι περιοδική με περίοδο $\displaystyle{T=2 \pi}$ , όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα.

: Ελάχιστο συνάρτησης 1.png (23.77 KiB) Προβλήθηκε 1625 φορές

Στο σχήμα αυτό "φαίνεται" ότι υπάρχει και μέγιστο της συνάρτησης αυτής.

Κώστας Δόρτσιος

#9

Ευχαριστώ όλους τους φίλους που με την συμμετοχή-συμβολή τους στο θέμα αυτό μας έκαναν, πραγματικά,

σοφότερους!!

#10

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 08, 2021 9:56 am

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 07, 2021 11:21 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 07, 2021 7:09 pm
ελάχιστο rek2.pngΤην λύση του Μιχάλη , πιστεύω θα την ζήλευε κάθε λύτης

Θέτω το ( άχαρο ασφαλώς ) ερώτημα : Για ποια τιμή του πετυχαίνουμε το ελάχιστο ;

Εκφράστε αυτό το , με την βοήθεια κάποιου τριγωνομετρικού αριθμού .
$x=2arctan\left(\dfrac{3+\sqrt{401}}{28}\right)$

(Εκείνη η λύση της ... που μας υποδεικνύει το σχήμα του Μιχάλη.)

Επαλήθευση: $\sqrt{808+8\sqrt{401}}+\sqrt{5183-167\sqrt{401}}=5\sqrt{199+\sqrt{401}}$
Πως προέκυψε η εξίσωση ;
Παντως από νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα
προκύπτει ότι η γωνία ικανοποιεί την
$\frac{3}{7}\sin x+3\cos x=1$
(προκύπτει από την )
Η $t=\tan \frac{x}{2}$
ικανοποιεί την

και βγαίνει το ίδιο αποτέλεσμα.

Σταύρο ναι, και η δευτεροβάθμια σου είναι παράγων της εκτοβάθμιας μου, η οποία προκύπτει -- για να βρεθούμε και λίγο εντός φακέλου -- από τον μηδενισμό της παραγώγου της δοθείσας συνάρτησης, με $t=\tan \frac{x}{2}$ πάντοτε. (Αλλάζουμε εδώ το

σε

για ευνόητους λόγους.)

Μία από τις άλλες ρίζες της εκτοβάθμιας, όχι όμως και της δευτεροβάθμιας, η $t\approx -1.4799$ , μας δίνει το μέγιστο που αναζήτησε ο Κώστας (Δόρτσιος), περίπου 9,43674

, για $x\approx -111,904^0$ (και το οποίο ΔΕΝ αντιστοιχεί στο αντιδιαμετρικό του κατά Μιχάλη ελαχίστου όπως εσφαλμένα έγραψα πριν λίγα λεπτά).

: μέγιστο-ρεκούμη-λάμπρου-δόρτσιου.png (11.34 KiB) Προβλήθηκε 1526 φορές

KARKAR · #11

Ενθουσιασμένοι από την λύση , ας μην παραλείψουμε να επαινέσουμε και τον συνθέτη της άσκησης

ελάχιστο ...

ελάχιστο ...

Re: ελάχιστο ...

Re: ελάχιστο ...

Re: ελάχιστο ...

Re: ελάχιστο ...

Re: ελάχιστο ...

Re: ελάχιστο ...

Re: ελάχιστο ...

Re: ελάχιστο ...

Re: ελάχιστο ...

Re: ελάχιστο ...

Μέλη σε σύνδεση