Επιστροφή στη Στερεομετρία( δεύτερη...)

#1

Δίνεται ευθεία $\displaystyle{(e)}$ και τα σημεία $\displaystyle{A, B}$ εκτός αυτής κι όχι στο ίδιο επίπεδο με την $\displaystyle{(e)}$ .
Να βρεθούν επί της ευθείας $\displaystyle{(e)}$ δύο σημεία $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{N}$ τέτοια ώστε:
1ο) $\displaystyle{MA+MB=min}$
και
2ο) $\displaystyle{\left|NA-NB \right|=max}$

S.E.Louridas · #2

KDORTSI έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:15 pm
Δίνεται ευθεία $\displaystyle{(e)}$ και τα σημεία $\displaystyle{A, B}$ εκτός αυτής κι όχι στο ίδιο επίπεδο με την $\displaystyle{(e)}$ .
Να βρεθούν επί της ευθείας $\displaystyle{(e)}$ δύο σημεία $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{N}$ τέτοια ώστε:
1ο) $\displaystyle{MA+MB=min}$
και
2ο) $\displaystyle{\left|NA-NB \right|=max}$

Αυτά είναι θέματα που προσωπικά μου αρέσουν πολύ και που έχουν και δυνατότητα να αντιμετωπιστούν και με αναλυτική Γεωμετρία στον χώρο. Όσο με αφορά όμως προσπαθώ να τα διαπραγματεύομαι με την Ευκλείδεια αντίληψη και σίγουρα εδώ στο mathematica κάτω από την σκέψη ότι ο Κώστας Δόρτσιος θα τα ζωντανέψει μέσω των λογισμικών. Θα αντιμετωπίσω λοιπόν το θέμα αυτό «χειρωνακτικά»:

ΑΝΑΛΥΣΗ:
Θα επιδιώξουμε να "ρίξουμε" το θέμα για την μελέτη του στο επίπεδο.
Θεωρούμε τα επίπεδα ${P_1}\left( {A,\left( e \right)} \right),\,{P_2}\left( {B,\left( e \right)} \right).$ Στο επίπεδο $\left( {{P_2}} \right)$ θεωρούμε $BC \bot \left( e \right),\;C \in \left( e \right)$ και σημείο

στο επίπεδο $\left( {{P_1}} \right)$ τέτοιο πού $CD \bot \left( e \right),\;CD = CB.$ Η τομή της

με την $\left( e \right)$ δίνει το σημείο

ενώ η τομή της AD'

με την $\left( e \right),$ όπου

το σημείο του επιπέδου (P_1),

που είναι συμμετρικό του

ως προς την (e)

, δίνει το σημείο

#3

KDORTSI έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:15 pm
Δίνεται ευθεία $\displaystyle{(e)}$ και τα σημεία $\displaystyle{A, B}$ εκτός αυτής κι όχι στο ίδιο επίπεδο με την $\displaystyle{(e)}$ .
Να βρεθούν επί της ευθείας $\displaystyle{(e)}$ δύο σημεία $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{N}$ τέτοια ώστε:
1ο) $\displaystyle{MA+MB=min}$
και
2ο) $\displaystyle{\left|NA-NB \right|=max}$

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 08, 2020 8:33 pm

KDORTSI έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:15 pm
Δίνεται ευθεία $\displaystyle{(e)}$ και τα σημεία $\displaystyle{A, B}$ εκτός αυτής κι όχι στο ίδιο επίπεδο με την $\displaystyle{(e)}$ .
Να βρεθούν επί της ευθείας $\displaystyle{(e)}$ δύο σημεία $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{N}$ τέτοια ώστε:
1ο) $\displaystyle{MA+MB=min}$
και
2ο) $\displaystyle{\left|NA-NB \right|=max}$
Αυτά είναι θέματα που προσωπικά μου αρέσουν πολύ και που έχουν και δυνατότητα να αντιμετωπιστούν και με αναλυτική Γεωμετρία στον χώρο. Όσο με αφορά όμως προσπαθώ να τα διαπραγματεύομαι με την Ευκλείδεια αντίληψη και σίγουρα εδώ στο mathematica κάτω από την σκέψη ότι ο Κώστας Δόρτσιος θα τα ζωντανέψει μέσω των λογισμικών. Θα αντιμετωπίσω λοιπόν το θέμα αυτό «χειρωνακτικά»:

ΑΝΑΛΥΣΗ:
Θα επιδιώξουμε να "ρίξουμε" το θέμα για την μελέτη του στο επίπεδο.
Θεωρούμε τα επίπεδα ${P_1}\left( {A,\left( e \right)} \right),\,{P_2}\left( {B,\left( e \right)} \right).$ Στο επίπεδο $\left( {{P_2}} \right)$ θεωρούμε $BC \bot \left( e \right),\;C \in \left( e \right)$ και σημείο στο επίπεδο $\left( {{P_1}} \right)$ τέτοιο πού $CD \bot \left( e \right),\;CD = CB.$ Η τομή της με την $\left( e \right)$ δίνει το σημείο ενώ η τομή της με την $\left( e \right),$ όπου το σημείο του επιπέδου
που είναι συμμετρικό του ως προς την , δίνει το σημείο

Σωτήρη καλησπέρα....

Υλοποιώ την όμορφη ιδέα σου...

: Επιστροφή στη Στερεομετρία (Δεύτερη 1...).png (27.88 KiB) Προβλήθηκε 795 φορές

1ο )
Από τις σχέσεις που είναι σημειωμένες στο ανωτέρω σχήμα και θεωρώντας το τρίγωνο $\displaystyle{(EAD')}$ ,

όπου $\displaystyle{E}$ τυχαίο σημείο της $\displaystyle{(e)}$ , από την τριγωνική ανισότητα προκύπτει:

$\displaystyle{AD'\leq AE+ED' \Rightarrow AM+MD' \leq AE+ED' \Rightarrow MA+MB \leq EA+EB \ \ (1)}$

με την ισότητα να ισχύει όταν το σημείο $\displaystyle{E}$ συμπέσει στο σημείο $\displaystyle{M}$ .

Άρα το σημείο $\displaystyle{M}$ , όπως το περιέγραψε ο Σωτήρης, δίνει τη θέση του ελαχίστου αθροίσματος.

2ο)
Όμοια θεωρώντας το τρίγωνο $\displaystyle{(EAD)}$ , από την τριγωνική σχέση προκύπτει:

$\displaystyle{\left|EA-ED \right | \leq AD \ \ (2) }$

Η ισότητα στη σχέση (2) ισχύει όταν το σημείο $\displaystyle{E}$ συμπέσει στη θέση του σημείου $\displaystyle{N}$ .

Άρα το σημείο $\displaystyle{N}$ , όπως αυτό περιγράφηκε από το Σωτήρη, δίνει τη θέση της μεγίστης απόλυτης διαφοράς.

Κώστας Δόρτσιος

Επιστροφή στη Στερεομετρία( δεύτερη...)

Επιστροφή στη Στερεομετρία( δεύτερη...)

Re: Επιστροφή στη Στερεομετρία( δεύτερη...)

Re: Επιστροφή στη Στερεομετρία( δεύτερη...)

Μέλη σε σύνδεση