Πεδίο ορισμού εκθετικής

Silver · #1

Ήθελα να ρωτήσω γιατί το πεδίο ορισμού της $x^{a}$ , $a\epsilon \mathbb{R}-\mathbb{Z}$ είναι :
Αν a>0

τότε $A=[0,+\infty ]$
Αν a<0

τότε $A=(0,+\infty ]$
Τι πρόβλημα δημιουργείται όταν το

είναι αρνητικός αριθμός;

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Silver έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 11, 2020 7:04 pm
Ήθελα να ρωτήσω γιατί το πεδίο ορισμού της $x^{a}$ , $a\epsilon \mathbb{R}-\mathbb{Z}$ είναι :
Αν τότε $A=[0,+\infty ]$
Αν τότε $A=(0,+\infty ]$
Τι πρόβλημα δημιουργείται όταν το είναι αρνητικός αριθμός;

Μπορούμε να κάνουμε επέκταση του συμβόλου και να ορίσουμε x^a

για αρνητικά

και για εκθέτες ρητούς σε ανάγωγη μορφή με

παρονομαστή περιττό. Αυτό είναι το καλύτερο που μπορούμε να πετύχουμε ώστε να διατηρηθούν οι αλγεβρικές ιδιότητες των δυνάμεων.

Χάνουμε όμως ως προς τις αναλυτικές ιδιότητες. Μπορούμε να δείξουμε ότι για

αρνητικό αυτή δεν θα είναι πουθενά συνεχής αν ο εκθέτης

είναι ρητός με περιττό παρονομαστή.

Silver · #3

Άρα δεν υπάρχει π.χ. $(-2)^{4/3}$ ;

Μάρκος Βασίλης · #4

Silver έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 11, 2020 8:47 pm
Άρα δεν υπάρχει π.χ. $(-2)^{4/3}$ ;

Στα πλαίσια των σχολικών βιβλίων του λυκείου, όχι. Όπως πολύ σωστά ανέφερε και ο Λάμπρος, όμως, ορίζεται το παραπάνω σύμβολο καθώς το $\frac{4}{3}$ είναι ρητός σε ανάγωγη μορφή με περιττό παρονομαστή.

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Απ'ό,τι βλέπω τώρα απάντησα στο ''ανάποδο'' πρόβλημα παρασυρόμενος από τον τίτλο που μιλά για εκθετική συνάρτηση.

Η συνάρτηση που έδωσες όμως έχει μεταβαλλόμενη βάση και δεν είναι εκθετική. Εγώ θεώρησα μεταβαλλόμενο εκθέτη και

εξήγησα γιατί δεν επεκτείνουμε το σύμβολο σε αρνητικές βάσεις. Όπως και να έχει, με μεταβαλλόμενη βάση και σταθερό εκθέτη,

αν ο εκθέτης είναι ρητός με περιττό παρονομαστή δεν έχουμε κανένα πρόβλημα να ορίσουμε τη συνάρτηση και για αρνητικά

Silver · #6

Επομένως $(-2)^{4/3}$ πόσο μας κάνει;

stranger · #7

kkala · #8

Έχω τη γνώμη ότι στο σύμβολο $(-2)^{4/3}$ πρέπει να αποδοθεί η τιμή + $2\sqrt[3]{2}$ , εφόσον βέβαια παραβλεφθεί ο σημερινόs ορισμός του σχολικού βιβλίου. Τούτο μπορεί να δικαιολογηθεί από τα παρακάτω (υποκείμενα βεβαως σε κριτική).
$(-2^{4/3})=(-2)^{1}\cdot (-2)^{1/3}=(-2)(\sqrt[3]{-2})=2\sqrt[3]{2}$
Σημειώνεται ότι επιστημονικό κομπιουτεράκι (Texas Instrument TI-40 ή Urban DS-754A) δίνει αποτέλεσμα $(-2)^{1/3}=-1.25992$ (προσέγγιση 5 δεκαδικών), αλλά δίνει "error" στο $(-2)^{4/3}$ . Από την άλλη μεριά το
$(-2)^{4/3}$ μπορεί να προκύψει σαν $(-2)(-2^{1/3})$ και οι νόμοι των δυνάμεων πρέπει να τηρούνται.
Το θέμα (ακετά μπερδεμένο) έχει συζητηθεί σε προηγούμενα θέματα του mathematica.gr, που μπορεί να κατατοπίσουν:
1. Νιοστές ρίζες, τα σύμβολα, σχετικά θέματα (26/2/09), < viewtopic.php?f=60&t=632>
Κατά Α. Κυριακόπουλο δύναμη με βάση αρνητικό και εκθέτη μη ακέραιο ρητό δεν έχει νόημα. Πάντως δεν είναι μαθηματικό λάθος π.χ. το $\sqrt[3]{-8}=(-8)^{1/3}$ .
2. Απορία σε κλασματικό εκθέτη (29/11/18), <https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=19&t=63177>
3. Δύναμη με ρητό εκθέτη (1/11/17), <viewtopic.php?f=60&t=60144>
Στα δύο τελευταία αναφέρεται και ο ορισμός του σχολικού βιβλίου (α' Λυκείου).

stranger · #9

kkala έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 22, 2020 8:40 pm
Έχω τη γνώμη ότι στο σύμβολο $(-2)^{4/3}$ πρέπει να αποδοθεί η τιμή + $2\sqrt[3]{2}$ , εφόσον βέβαια παραβλεφθεί ο σημερινόs ορισμός του σχολικού βιβλίου. Τούτο μπορεί να δικαιολογηθεί από τα παρακάτω (υποκείμενα βεβαως σε κριτική).
$(-2^{4/3})=(-2)^{1}\cdot (-2)^{1/3}=(-2)(\sqrt[3]{-2})=2\sqrt[3]{2}$
Σημειώνεται ότι επιστημονικό κομπιουτεράκι (Texas Instrument TI-40 ή Urban DS-754A) δίνει αποτέλεσμα $(-2)^{1/3}=-1.25992$ (προσέγγιση 5 δεκαδικών), αλλά δίνει "error" στο $(-2)^{4/3}$ . Από την άλλη μεριά το
$(-2)^{4/3}$ μπορεί να προκύψει σαν $(-2)(-2^{1/3})$ και οι νόμοι των δυνάμεων πρέπει να τηρούνται.
Το θέμα (ακετά μπερδεμένο) έχει συζητηθεί σε προηγούμενα θέματα του mathematica.gr, που μπορεί να κατατοπίσουν:
1. Νιοστές ρίζες, τα σύμβολα, σχετικά θέματα (26/2/09), < viewtopic.php?f=60&t=632>
Κατά Α. Κυριακόπουλο δύναμη με βάση αρνητικό και εκθέτη μη ακέραιο ρητό δεν έχει νόημα. Πάντως δεν είναι μαθηματικό λάθος π.χ. το $\sqrt[3]{-8}=(-8)^{1/3}$ .
2. Απορία σε κλασματικό εκθέτη (29/11/18), <https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=19&t=63177>
3. Δύναμη με ρητό εκθέτη (1/11/17), <viewtopic.php?f=60&t=60144>
Στα δύο τελευταία αναφέρεται και ο ορισμός του σχολικού βιβλίου (α' Λυκείου).

Δεν είναι και τόσο μπερδεμένο το θέμα. Η καλύτερη λύση είναι να δούμε το πρόβλημα στους μιγαδικούς.
Στους μιγαδικούς ορίζεται ο αριθμός x^y

όπου $x,y \in \mathbb{C}$ .
Ο ορισμός εξαρτάται από ποιον κλάδο της λογαριθμικής συνάρτησης θα διαλέξουμε. Οπότε ο ορισμός της δύναμης έχει πολλούς κλάδους.
Είναι θέμα επιλογής το ποιον κλάδο θα διαλέξουμε κάθε φορά(συνήθως διαλέγουμε όποιον μας βολεύει σε κάθε περίπτωση).

Μάρκος Βασίλης · #10

kkala έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 22, 2020 8:40 pm
Έχω τη γνώμη ότι στο σύμβολο $(-2)^{4/3}$ πρέπει να αποδοθεί η τιμή + $2\sqrt[3]{2}$ , εφόσον βέβαια παραβλεφθεί ο σημερινόs ορισμός του σχολικού βιβλίου. Τούτο μπορεί να δικαιολογηθεί από τα παρακάτω (υποκείμενα βεβαως σε κριτική).
$(-2^{4/3})=(-2)^{1}\cdot (-2)^{1/3}=(-2)(\sqrt[3]{-2})=2\sqrt[3]{2}$
Σημειώνεται ότι επιστημονικό κομπιουτεράκι (Texas Instrument TI-40 ή Urban DS-754A) δίνει αποτέλεσμα $(-2)^{1/3}=-1.25992$ (προσέγγιση 5 δεκαδικών), αλλά δίνει "error" στο $(-2)^{4/3}$ . Από την άλλη μεριά το
$(-2)^{4/3}$ μπορεί να προκύψει σαν $(-2)(-2^{1/3})$ και οι νόμοι των δυνάμεων πρέπει να τηρούνται.
Το θέμα (ακετά μπερδεμένο) έχει συζητηθεί σε προηγούμενα θέματα του mathematica.gr, που μπορεί να κατατοπίσουν:
1. Νιοστές ρίζες, τα σύμβολα, σχετικά θέματα (26/2/09), < viewtopic.php?f=60&t=632>
Κατά Α. Κυριακόπουλο δύναμη με βάση αρνητικό και εκθέτη μη ακέραιο ρητό δεν έχει νόημα. Πάντως δεν είναι μαθηματικό λάθος π.χ. το $\sqrt[3]{-8}=(-8)^{1/3}$ .
2. Απορία σε κλασματικό εκθέτη (29/11/18), <https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=19&t=63177>
3. Δύναμη με ρητό εκθέτη (1/11/17), <viewtopic.php?f=60&t=60144>
Στα δύο τελευταία αναφέρεται και ο ορισμός του σχολικού βιβλίου (α' Λυκείου).

Χμμμ... Η $x^{1/3}$ έχει νόημα για κάθε $x\in\mathbb{R}$ γιατί η x^3

είναι αντιστρέψιμη. Ωστόσο, η $x^{4/3}$ δεν μπορεί να οριστεί ως η αντίστροφη της $x^{3/4}$ στο $\mathbb{R}$ , γιατί η τελευταία δεν ορίζεται, αρχικά, σε όλο το $\mathbb{R}$ , οπότε νομίζω ότι μένουμε αναγκαστικά σε όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, στο $\mathbb{R}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation

Απλώς να αναφέρω ότι καλό είναι πριν διατυπώσουμε την γνώμη μας
να ξεσκονίζουμε και κανένα Πανεπιστημιακό βιβλίο.
Φυσικά το παραπάνω δεν αναφέρεται σε όλους τους προλαλήσαντες .

Πεδίο ορισμού εκθετικής

Πεδίο ορισμού εκθετικής

Re: Πεδίο ορισμού εκθετικής

Re: Πεδίο ορισμού εκθετικής

Re: Πεδίο ορισμού εκθετικής

Re: Πεδίο ορισμού εκθετικής

Re: Πεδίο ορισμού εκθετικής

Re: Πεδίο ορισμού εκθετικής

Re: Πεδίο ορισμού εκθετικής

Re: Πεδίο ορισμού εκθετικής

Re: Πεδίο ορισμού εκθετικής

Re: Πεδίο ορισμού εκθετικής

Μέλη σε σύνδεση