'Αλγεβρα με συνθήκη!

#1

Για τα

που ισχύει $\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ να αποδείξεις ότι για περιττό

ισχύει:
$\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}$

Tolaso J Kos · #2

chris_gatos έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2020 9:36 pm
Για τα που ισχύει $\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ να αποδείξεις ότι για περιττό
ισχύει:
$\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}$

Χρήστο, γνωστό λήμμα δεν είναι αυτό; Κάπου το χω ξανά δει. Δίδω μία λύση που έχω δει κάποτε ...!

Από τη σχέση $\displaystyle{\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$ έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} &\Rightarrow \frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{a+b+c} \end{aligned}}$
Οπότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} (a+b+c)(ab+bc+ac)=(a+b)(b+c)(a+c)+abc & \Rightarrow (a+b)(b+c)(a+c)=0 \end{aligned}}$
Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω a=-b

και επειδή

περιττός είναι $\displaystyle{a^n + b^n = 0}$ οπότε $\displaystyle{\frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n}=0}$ . Το αποτέλεσμα έπεται.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2020 10:14 pm
Χρήστο, γνωστό λήμμα δεν είναι αυτό; Κάπου το χω ξανά δει. Δίδω μία λύση που έχω δει κάποτε ...!

Φυσικά και είναι γνωστό λήμμα.
Απλά δεν κατανοώ το παρακάτω βήμα: (ίσως είναι κάποια ταυτότητα που δε γνωρίζω)

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2020 10:14 pm

Οπότε, $\displaystyle{\begin{aligned} (a+b+c)(ab+bc+ac)=(a+b)(b+c)(a+c)+abc & \Rightarrow (a+b)(b+c)(a+c)=0 \end{aligned}}$

S.E.Louridas · #4

Πάντως on the other hand, η σχέση γράφεται $\displaystyle{\frac{1}{{a + b + c}} - \frac{1}{a} = \frac{{b + c}}{{bc}}\;\dot \eta \; - \frac{{b + c}}{{a\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{{b + c}}{{bc}},}$ οπότε b=-c

ή $bc + ab + ac + {a^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {b + a} \right)\left( {c + a} \right) = 0$ και συνεχίζουμε όπως ο Αποστόλης.

#5

Γεια σου Χρήστο!
Ας θεωρήσουμε το πολυώνυμο P(x)=(x-a)(x-b)(x-c).

Αν

τότε

Από υπόθεση, P=SQ

οπότε

Άρα το

είναι μία ρίζα του P(x)

δηλαδή

ή

οπότε

ή

'Αλγεβρα με συνθήκη!

'Αλγεβρα με συνθήκη!

Re: 'Αλγεβρα με συνθήκη!

Re: 'Αλγεβρα με συνθήκη!

Re: 'Αλγεβρα με συνθήκη!

Re: 'Αλγεβρα με συνθήκη!

Μέλη σε σύνδεση