Είναι ακέραιος

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι ο αριθμός:

$\displaystyle{\mathcal{N} = \frac{1053^3+392^3+378^3}{2579}}$
είναι ακέραιος.

Άνευ λύσης!

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 20, 2019 3:12 pm
Να δειχθεί ότι ο αριθμός:

$\displaystyle{\mathcal{N} = \frac{1053^3+392^3+378^3}{2579}}$
είναι ακέραιος.

Πιστεύω ότι υπάρχει και ευκολότερος τρόπος αλλά να ένας απλός.

$\displaystyle{\mathcal{N} = \frac{(2579-1526)^3+392^3+378^3}{2579}}= \frac{2579n-1526^3+392^3+378^3}{2579}}=$

$\displaystyle{= n +\frac{-(2\cdot 7 \cdot 109)^3+(2\cdot 7 \cdot 28)^3+(2\cdot 7 \cdot 27)^3}{2579}}=n +2^3\cdot 7^3\cdot \frac{-109^3+ 28^3+27^3}{2579}}$

Τώρα δεν έχει παρά να βεβαιωθείς ότι ο $\displaystyle{\frac{-109^3+ 28^3+27^3}{2579}}$ είναι ακέραιος. Αλλά τώρα τα νούμερα είναι μικρά και δεν φοβόμαστε να εργαστούμε "με το χέρι". Όντως, το εν λόγω κλάσμα ισούται

.

#3

Λίγο πιο σύντομα αλλά ίσως όχι ακόμη η βέλτιση λύση:

$\displaystyle \begin{aligned} 1053^3 + 392^3 + 378^3 &= 1053^3 + (2579-2187)^3 + 378^3 \\ &= 2579n + 1053^3 + 378^3 - 2187^3 \\ &= 2579n + 27^3(39^3 + 14^3 - 81^3) \end{aligned}$

Μένει να δείξουμε ότι το

είναι πολλαπλάσιο του 2579

. Οι πράξεις είναι κάπως λιγότερες από αυτές του Μιχάλη. Δεν τις έκανα ευελπιστώντας σε κάτι καλύτερο.

ksofsa · #4

Άλλη μια λύση:
Έχω:

$1053=3^4\cdot 13$

$392=2^3\cdot 7^2$

$378=2\cdot 3^3\cdot 7$

"Παίζοντας" με τους αριθμούς, παρατηρώ ότι:

1053+392+1134=2579

και

$1134=3\cdot 378$

Ετσι, μπορώ να εκμεταλλευτώ την ταυτότητα του Euler και έχω:

$N=\dfrac{1053^3+392^3+1134^3+378^3-1134^3}{2579} \Leftrightarrow$

$N=\dfrac{2579n+3\cdot 1134\cdot 392\cdot 1053+378^3-1134^3}{2579}$

$N=\dfrac{2579n+3^2\cdot 378\cdot 392\cdot 1053+378^3-3^3\cdot 378^3}{2579}$

$N=\dfrac{2579n+2^4\cdot 3^9\cdot 7^3\cdot 13-26\cdot 378^3}{2579}$

$N=\dfrac{2579n+2^4\cdot 3^9\cdot 7^3\cdot 13-2^4\cdot 3^9\cdot 7^3\cdot 13}{2579}$

N=n

#5

Και εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 1p12942041
Με λύση ουσιαστικά σαν του Κώστα.

Είναι ακέραιος

Είναι ακέραιος

Re: Είναι ακέραιος

Re: Είναι ακέραιος

Re: Είναι ακέραιος

Re: Είναι ακέραιος

Μέλη σε σύνδεση