Δ19 ή Δ18 ;

#1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f$ με τύπο $\displaystyle f\left( x \right)=\left( x-1 \right)\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+\alpha x+\beta$ ,όπου $\displaystyle x,\,\alpha ,\beta \in R$
Δ1. Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle \alpha ,\beta \in R$ παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής και να βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκει .
Δ2. Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle \alpha$ για τις οποίες η $\displaystyle f$ έχει δυο θέσεις τοπικών ακροτάτων . Κατόπιν να βρείτε το είδος των ακροτάτων .
Δ3. Αν $\displaystyle \beta =0$ , να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle \alpha \in R$ υπάρχει εφαπτομένη $\displaystyle (\varepsilon )$ της $\displaystyle {{C}_{f}}$ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων .
Δ4. Να βρείτε την εφαπτομένη $\displaystyle (\delta )$ στο σημείο καμπής της $\displaystyle {{C}_{g}}$ , με $\displaystyle g(x)=-{{x}^{3}}-x+2$ και να υπολογίσετε τους $\displaystyle \alpha ,\beta \in R$ , ώστε η $\displaystyle (\delta )$ να συμπίπτει με κάποια εφαπτομένη της $\displaystyle {{C}_{f}}$ .

Edit ( 19/6/19 ) . Διορθώθηκε το Δ4 μετά από παρέμβαση του Βασίλη , τον οποίο ευχαριστώ.

#2

exdx έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 11, 2019 11:50 am
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f$ με τύπο $\displaystyle f\left( x \right)=\left( x-1 \right)\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+\alpha x+\beta$ ,όπου $\displaystyle x,\,\alpha ,\beta \in R$
Δ1. Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle \alpha ,\beta \in R$ παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής και να βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκει .
Δ2. Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle \alpha$ για τις οποίες η $\displaystyle f$ έχει δυο θέσεις τοπικών ακροτάτων . Κατόπιν να βρείτε το είδος των ακροτάτων .
Δ3. Αν $\displaystyle \beta =0$ , να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle \alpha \in R$ υπάρχει εφαπτομένη $\displaystyle (\varepsilon )$ της $\displaystyle {{C}_{f}}$ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων .
Δ4. Να βρείτε την εφαπτομένη $\displaystyle (\delta )$ στο σημείο καμπής της $\displaystyle {{C}_{g}}$ , με $\displaystyle g(x)=-{{x}^{3}}-x+2$ και να υπολογίσετε τους $\displaystyle \alpha ,\beta \in R$ , ώστε η $\displaystyle (\delta )$ να συμπίπτει με κάποια εφαπτομένη της $\displaystyle {{C}_{f}}$ .

Edit ( 19/6/19 ) . Διορθώθηκε το Δ4 μετά από παρέμβαση του Βασίλη , τον οποίο ευχαριστώ.

...Γεια σου

μιά αντιμετώπιση στο θέμα του Γιώργη, σε μία επετειακή δημοσίευση για μένα....

Δ1. Είναι ${f}'\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+(x-1)\frac{2(x-1)}{{{x}^{2}}-2x+2}+\alpha =\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+2\frac{{{(x-1)}^{2}}}{{{x}^{2}}-2x+2}+\alpha$

$=\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+2\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{{{x}^{2}}-2x+2}+\alpha =\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+2\frac{{{x}^{2}}-2x+2-1}{{{x}^{2}}-2x+2}+a=$

$=\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+2\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}-2x+2} \right)+a=\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)-\frac{2}{{{x}^{2}}-2x+2}+2+a$ και

${f}''(x)=\frac{2(x-1)}{{{x}^{2}}-2x+2}+\frac{4(x-1)}{{{({{x}^{2}}-2x+2)}^{2}}}=\frac{2(x-1)}{{{x}^{2}}-2x+2}\left( 1+\frac{2}{{{x}^{2}}-2x+2} \right)$

απ όπου ${f}''(x)=0\Leftrightarrow x=1$ και ${f}''(x)>0\Leftrightarrow x>1$ και ${f}''(x)<0\Leftrightarrow x<1$ επομένως η

$\displaystyle f$ παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής το A(1,f(1))

ή $A(1,\,\alpha +\beta )$

που προφανώς είναι σημείο της ευθείας x=1

για κάθε $\alpha ,\beta \in R$

Δ2. Για να έχει δύο θέσεις τοπικών ακρότατων η $\displaystyle f$ πρέπει απαραίτητα η {f}'

να έχει δύο ρίζες . Τώρα συμφωνά με το (Δ1) η

{f}'

είναι γνήσια φθίνουσα στο ${{A}_{1}}=(-\infty ,\,1]$ και γνήσια φθίνουσα στο ${{A}_{2}}=[1,\,+\infty )$ επομένως έχει μέγιστη τιμή το

{f}'(1)=a

και με $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)-\frac{2}{{{x}^{2}}-2x+2}+2+a \right)=+\infty$ και με

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)-\frac{2}{{{x}^{2}}-2x+2}+2+a \right)=+\infty$ οπότε

${f}'({{A}_{1}})=[a,\,+\infty )$ και ${f}'({{A}_{2}})=[a,\,+\infty )$ οπότε αν a>0

η

δεν έχει ρίζα για a=0

η

έχει μοναδική ρίζα την

x=1

και αν

η

έχει δύο ακριβώς ρίζες ${{x}_{1}}\in (-\infty ,\,1),\,\,{{x}_{2}}\in (1,\,+\infty )$ και λόγω μονοτονίας της {f}'

σε κάθε διάστημα στο ${{x}_{1}}\in (-\infty ,\,1)$ έχει τοπικό μέγιστο και στο ${{x}_{2}}\in (1,\,+\infty )$ έχει τοπικό ελάχιστο η $\displaystyle f$ .

Δ3. Αν $\displaystyle \beta =0$ , έχουμε $f\left( x \right)=\left( x-1 \right)\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+\alpha x$ και

${f}'(x)=\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)-\frac{2}{{{x}^{2}}-2x+2}+2+a$ και θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει ${{x}_{0}}\in R$

που για η εφαπτομένη $y-f({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})$ να διέρχεται από την αρχή των αξόνων δηλαδή να ισχύει

$-f({{x}_{0}})=-{f}'({{x}_{0}}){{x}_{0}}$ ή $f({{x}_{0}})={{x}_{0}}{f}'({{x}_{0}})$ δηλαδή η εξίσωση $f(x)=x{f}'(x)\Leftrightarrow x{f}'(x)-f(x)=0$

να έχει λύση. Έτσι θεωρώντας την συνάρτηση g(x)=x{f}'(x)-f(x)

έχει προφανή λύση την x=1

αφού $g(1)={f}'(1)-f(1)=\alpha -a=0$ άρα για κάθε $\displaystyle \alpha \in R$ υπάρχει εφαπτομένη $\displaystyle (\varepsilon )$ της

$\displaystyle {{C}_{f}}$ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων ν και είναι η $y=\alpha x$

Δ4. Είναι ${g}'(x)=-3{{x}^{2}}-1$ και {g}''(x)=-6x

εύκολα διαπιστώνεται ότι το A(0,2)

είναι το μοναδικό σημείο καμπής της

και έχει

εφαπτομένη την ευθεία y-2={g}'(0)(x-0)

ή

$\displaystyle (\delta )$ .

Τώρα θέλουμε τα $\displaystyle \alpha ,\beta \in R$ ώστε σε σημείο $M({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$ να ισχύει

${f}'({{x}_{0}})=-1$ και $f({{x}_{0}})=-{{x}_{0}}+2$ ή $\ln \left( x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+2 \right)-\frac{2}{x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+2}+2+a=-1$ (1)και

$\left( {{x}_{0}}-1 \right)\ln \left( x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+2 \right)+\alpha {{x}_{0}}+\beta =-{{x}_{0}}+2$ (2)

Αν ${{x}_{0}}=1$ από (1) προκύπτει $\alpha =-1$ και από (2) $\alpha +\beta =1$ άρα $\beta =2$ που σημαίνει ότι για

$\alpha =-1$ και $\beta =2$ η ευθεία y=-x+2

συμπίπτει με κάποια εφαπτομένη της

(στο σημείο καμπής της) που είναι αυτό που θέλαμε.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Δ19 ή Δ18 ;

Δ19 ή Δ18 ;

Re: Δ19 ή Δ18 ;

Μέλη σε σύνδεση