Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Al.Koutsouridis · #1

XLV Πανρωσική μαθητική μαθηματική ολυμπιάδα 2018/2019.
11η τάξη, Πρώτη μέρα. Θέματα της 3ης φάσης

1. Ο καθένας εκ δέκα ατόμων είναι είτε ευγενής και λέει πάντα την αλήθεια, είτε ψεύτης και λέει πάντα ψέματα. Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο ακέραιο αριθμό. Ύστερα ο πρώτος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του

», ο δεύτερος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του

», …, ο δέκατος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του

». Μετά από αυτό και οι δέκα τους, αναφώνησαν με κάποια σειρά: «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του

», «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του

», …, «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του

» (ο καθένας τους είπε μία από αυτές τις φράσεις). Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ευγενών που μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των

ατόμων;

2. Είναι γνωστό, ότι καθένα από τα τριώνυμα x^2+ax+b

και

έχει τουλάχιστον μία ρίζα και όλες οι ρίζες αυτών των τριωνύμων είναι ακέραιοι. Να δείξετε, ότι το τριώνυμο x^2+ax+b+2

δεν έχει ρίζες.

3. Θα ονομάσουμε απόσταση μεταξύ δυο κελιών ενός τετραγωνισμένου πίνακα τον ελάχιστο αριθμό κινήσεων, με τις οποίες ένας σκακιστικός βασιλιάς μπορεί να μεταβεί από ένα εξ αυτών στο άλλο. Να βρείτε το μέγιστο αριθμό κελιών, που μπορούμε να σημειώσουμε σε πίνακα $100 \times 100$ έτσι, ώστε μεταξύ αυτών να μην μπορούν να βρεθούν κελιά, η απόσταση μεταξύ των οποίων να είναι ίση με

.

4. Η άπειρη ακολουθία μη μηδενικών αριθμών $a_{1}, a_{2}, a_{3},…$ είναι τέτοια, ώστε για όλους τους φυσικούς αριθμούς $n \geq 2018$ ο αριθμός $a_{n+1}$ να είναι η μικρότερη ρίζα του πολυωνύμου $P_{n}(x)=x^{2n}+a_{1}x^{2n-2}+a_{2}x^{2n-4}+…+a_{n}$ . Να αποδείξετε, ότι υπάρχει τέτοιο

, ώστε στην άπειρη ακολουθία $a_{N}, a_{N+1}, a_{N+2}, …$ κάθε όρος να είναι μικρότερος από τον προηγούμενο.

5. Σε τετράεδρο ABCD

φέρουμε τα ύψη

και

. Το επίπεδο $\alpha$ είναι κάθετο στην ακμή

και διέρχεται από το μέσο της. Είναι γνωστό, ότι τα σημεία A,C,D

και

είναι ομοκυκλικά, επίσης και τα σημεία A,B,D

και

είναι ομοκυκλικά. Να αποδείξετε, ότι οι αποστάσεις των σημείων

και

από το επίπεδο $\alpha$ είναι ίσες.

Πηγή

Edit 10/03/2020: Αλλαγή στην εκφώνηση του πρώτου προβλήματος, βλέπε σε παρακάτω δημοσίευση.

Ορέστης Λιγνός · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 03, 2019 12:40 pm
XLV Πανρωσική μαθητική μαθηματική ολυμπιάδα 2018/2019.
11η τάξη, Πρώτη μέρα. Θέματα της 3ης φάσης

2. Είναι γνωστό, ότι καθένα από τα τριώνυμα και έχει τουλάχιστον μία ρίζα και όλες οι ρίζες αυτών των τριωνύμων είναι ακέραιοι. Να δείξετε, ότι το τριώνυμο δεν έχει ρίζες.

Πρέπει, $a^2-4b=k^2,a^2-4(b+1)=\ell^2$ για κάποιους (θετικούς) ακεραίους $k,\ell$ .

Οπότε, πρέπει $k^2-\ell^2=4 \Rightarrow (k-\ell)(k+\ell)=4$ .
Όμως, είναι $k+\ell \equiv k-\ell \pmod 2$ , με $k+\ell \geqslant k-\ell$ , οπότε αναγκαστικά $k+\ell=k-\ell=2 \Rightarrow k=2,\ell=0$ .

Συνεπώς, a^2=4b+4

.

Η διακρίνουσα του τριωνύμου x^2+ax+b+2

είναι $\Delta=a^2-4(b+2)=-4<0$ , οπότε το τριώνυμο αυτό δεν έχει ρίζες.

panagiotis iliopoulos · #3

Θα ήθελα να κάνω μία παρατήρηση. Δεν είναι ανάγκη ένα τριώνυμο που έχει ακέραια ρίζα να έχει διακρίνουσα τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Για παράδειγμα το τριώνυμο $x^{2}-(\sqrt{3}+1)x+\sqrt{3}$ έχει ακέραια ρίζα το 1 χωρίς να έχει διακρίνουσα τετράγωνο ακεραίου. Επίσης δεν γνωρίζουμε ότι τα a,b

είναι ακέραιοι.

#4

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 11, 2019 6:59 am
Θα ήθελα να κάνω μία παρατήρηση. Δεν είναι ανάγκη ένα τριώνυμο που έχει ακέραια ρίζα να έχει διακρίνουσα τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Για παράδειγμα το τριώνυμο $x^{2}-(\sqrt{3}+1)x+\sqrt{3}$ έχει ακέραια ρίζα το 1 χωρίς να έχει διακρίνουσα τετράγωνο ακεραίου. Επίσης δεν γνωρίζουμε ότι τα είναι ακέραιοι.

Σωστή η παρατήρηση.

Στην περίπτωσή μας, όμως, τα a, b φανερά είναι ακέραιοι, αφού όλες οι ρίζες είναι ακέραιοι κ.λπ.

#5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 03, 2019 12:40 pm
XLV Πανρωσική μαθητική μαθηματική ολυμπιάδα 2018/2019.
11η τάξη, Πρώτη μέρα. Θέματα της 3ης φάσης

4. Η άπειρη ακολουθία μη μηδενικών αριθμών $a_{1}, a_{2}, a_{3},…$ είναι τέτοια, ώστε για όλους τους φυσικούς αριθμούς $n \geq 2018$ ο αριθμός $a_{n+1}$ να είναι η μικρότερη ρίζα του πολυωνύμου $P_{n}(x)=x^{2n}+a_{1}x^{2n-2}+a_{2}x^{2n-4}+…+a_{n}$ . Να αποδείξετε, ότι υπάρχει τέτοιο , ώστε στην άπειρη ακολουθία $a_{N}, a_{N+1}, a_{N+2}, …$ κάθε όρος να είναι μικρότερος από τον προηγούμενο.

Αν δεν κάνω λάθος το N = 2019

δουλεύει.

Ας παρατηρήσουμε αρχικά ότι αν

ρίζα του

τότε είναι και

ρίζα του

. Άρα τα $a_{2019},a_{2020},\ldots$ είναι όλα αρνητικά.

Επιπλέον για κάθε $n \geqslant 2018$ έχουμε $P_{n+1}(x) = x^2P_n(x) + a_{n+1}$ και άρα $P_{n+1}(a_{n+1}) = a_{n+1} < 0$ . Όμως προφανώς είναι και $\lim\limits_{x \to -\infty} P_n(x) = +\infty$ άρα από συνέχεια της συνάρτησης υπάρχει $\xi \in (-\infty,a_{n+1})$ ώστε $P_{n+1}(\xi) = 0$ . Άρα $a_{n+2} < a_{n+1}$ και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

#6

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 03, 2019 12:40 pm
XLV Πανρωσική μαθητική μαθηματική ολυμπιάδα 2018/2019.
11η τάξη, Πρώτη μέρα. Θέματα της 3ης φάσης

3. Θα ονομάσουμε απόσταση μεταξύ δυο κελιών ενός τετραγωνισμένου πίνακα τον ελάχιστο αριθμό κινήσεων, με τις οποίες ένας σκακιστικός βασιλιάς μπορεί να μεταβεί από ένα εξ αυτών στο άλλο. Να βρείτε το μέγιστο αριθμό κελιών, που μπορούμε να σημειώσουμε σε πίνακα $100 \times 100$ έτσι, ώστε μεταξύ αυτών να μην μπορούν να βρεθούν κελιά, η απόσταση μεταξύ των οποίων να είναι ίση με .

Παίρνω όλα τα κελιά της μορφής (a,b)

του πίνακα ώστε το πηλίκο του

με το

και το πηλίκο του

με το

να είναι άρτιο.

Για δυο τέτοια κελιά (a,b)

και

: Αν τα

έχουν διαφορετικό πηλίκο, θα διαφέρει τουλάχιστον κατά

οπότε θα είναι και $|a-a'| \geqslant 16$ . Αλλά τότε η απόστασή τους θα είναι τουλάχιστον

. Ομοίως και αν τα b,b'

έχουν διαφορετικό πηλίκο. Σε διαφορετική περίπτωση έχουμε $|a-a'| \leqslant 14$ και $|b-b'| \leqslant 14$ και μπορούμε κάνοντας και διαγώνια βήματα αν χρειαστεί να πάμε από το ένα κελί στο άλλο κάνοντας το πολύ

βήματα.

Αυτή η επιλογή δίνει $9 \cdot 15^2 + 3 \cdot 15 \cdot 10 + 3\cdot 15 \cdot 10 + 10^2 = 3025$ κελιά.

Χωρίζω τώρα όλα τα κελιά σε τετράδες της μορφής

$\displaystyle \left\{(30k+\ell,30k'+\ell'),(30k+\ell+15,30k'+\ell'),(30k+\ell,30k'+\ell'+15),(30k+\ell+15,30k'+\ell'+15)\right\}$

όπου k,k'=0,1,2,3

και $\ell,\ell' = 1,2,\ldots,15$ .

Κάθε κελί ανήκει σε μια τέτοια τετράδα. (Μάλιστα κάποιες από τις τετράδες περιέχουν και κελιά εκτός του πίνακα.) Όμως σε κάθε τετράδα κάθε δύο κελιά έχουν απόσταση ακριβώς

, άρα μπορώ να επιλέξω μόνο ένα κελί από κάθε τετράδα. Οι τετράδες που έχουν τουλάχιστον ένα κελί στον πίνακα είναι αυτές με k,k'=0,1,2

καθώς και όσες έχουν k=3

ή

και επιπλέον $\ell = 1,2,\ldots,10$ ή $\ell'=1,2,\ldots,10$ αντίστοιχα. Συνολικά έχουμε $(3\cdot15+10)^2 = 3025$ τέτοιες τετράδες.

Άρα μπορούμε να επιλέξουμε το πολύ 3025

κελιά.

Al.Koutsouridis · #7

Απλά να ενημερώσω ότι έγινε αλλαγή στην εκφώνηση του πρώτου προβλήματος. Η πρόταση "Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο αριθμό (όχι απαραίτητα ακέραιο)." αντικαταστάθηκε με την: "Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο ακέραιο αριθμό". Στην αρχική του μορφή το πρόβλημα τέθηκε για την 10η τάξη, την οποία μάλλον επιπόλαια απλά αντέγραψα εδώ.

Η παρατήρηση έγινε από τον socrates ύστερα από επαλήθευση των επίσημων απαντήσεων.

#8

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 03, 2019 12:40 pm
XLV Πανρωσική μαθητική μαθηματική ολυμπιάδα 2018/2019.
11η τάξη, Πρώτη μέρα. Θέματα της 3ης φάσης

1. Ο καθένας εκ δέκα ατόμων είναι είτε ευγενής και λέει πάντα την αλήθεια, είτε ψεύτης και λέει πάντα ψέματα. Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο ακέραιο αριθμό. Ύστερα ο πρώτος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του », ο δεύτερος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του », …, ο δέκατος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του ». Μετά από αυτό και οι δέκα τους, αναφώνησαν με κάποια σειρά: «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του », «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του », …, «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του » (ο καθένας τους είπε μία από αυτές τις φράσεις). Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ευγενών που μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των ατόμων;

Ο δέκατος είναι ψεύτης διότι αν ήταν ευγενής και είχε όντως αριθμό μεγαλύτερο του

, τότε μετά δεν θα έλεγε «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του

» για οποιοδήποτε $k = 1,2,\ldots,10$ . Για τον ίδιο λόγο είναι και ο ένατος ψεύτης αφού αν ο αριθμός του ήταν μεγαλύτερος του

, τότε ο αριθμός του θα ήταν μεγαλύτερος ή ίσος του

.

Άρα έχουμε το πολύ

ευγενείς. Μπορούμε να έχουμε τόσους αν σκέφτηκαν κατά σειρά τους αριθμούς $2,3,\ldots,9,5,5$ . Μετά είπαν τη φράση «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του

» όπου κατά σειρά $k = 3,4,\ldots,10,1,2$ . Τότε είναι ευγενείς οι πρώτοι οκτώ και ψεύτες οι τελευταίοι δύο.

#9

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 03, 2019 12:40 pm
1. Ο καθένας εκ δέκα ατόμων είναι είτε ευγενής και λέει πάντα την αλήθεια, είτε ψεύτης και λέει πάντα ψέματα. Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο ακέραιο αριθμό. Ύστερα ο πρώτος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του », ο δεύτερος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του », …, ο δέκατος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του ». Μετά από αυτό και οι δέκα τους, αναφώνησαν με κάποια σειρά: «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του », «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του », …, «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του » (ο καθένας τους είπε μία από αυτές τις φράσεις). Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ευγενών που μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των ατόμων;

Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ευγενών που μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των

ατόμων;

#10

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 03, 2019 12:40 pm

1. Ο καθένας εκ δέκα ατόμων είναι είτε ευγενής και λέει πάντα την αλήθεια, είτε ψεύτης και λέει πάντα ψέματα. Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο ακέραιο αριθμό. Ύστερα ο πρώτος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του », ο δεύτερος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του », …, ο δέκατος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του ». Μετά από αυτό και οι δέκα τους, αναφώνησαν με κάποια σειρά: «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του », «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του », …, «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του » (ο καθένας τους είπε μία από αυτές τις φράσεις). Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ευγενών που μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των ατόμων;

Μικρή παραλλαγή:

Ο καθένας εκ δέκα ατόμων είναι είτε ευγενής και λέει πάντα την αλήθεια, είτε ψεύτης και λέει πάντα ψέματα. Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο ακέραιο αριθμό. Ύστερα ο πρώτος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος ή ίσος του

», ο δεύτερος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος ή ίσος του

», …, ο δέκατος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος ή ίσος του

». Μετά από αυτό και οι δέκα τους, αναφώνησαν με κάποια σειρά: «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος ή ίσος του

», «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος ή ίσος του

», …, «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος ή ίσος του

» (ο καθένας τους είπε μία από αυτές τις φράσεις). Ποιος είναι ο μέγιστος και ο ελάχιστος αριθμός ευγενών που μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των

ατόμων;

S.E.Louridas · #11

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 03, 2019 12:40 pm
XLV Πανρωσική μαθητική μαθηματική ολυμπιάδα 2018/2019.
11η τάξη, Πρώτη μέρα. Θέματα της 3ης φάσης
.........................................................................................................................

5. Σε τετράεδρο φέρουμε τα ύψη και . Το επίπεδο $\alpha$ είναι κάθετο στην ακμή και διέρχεται από το μέσο της. Είναι γνωστό, ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλικά, επίσης και τα σημεία και είναι ομοκυκλικά. Να αποδείξετε, ότι οι αποστάσεις των σημείων και από το επίπεδο $\alpha$ είναι ίσες.

..........................................................................................................................
Πηγή

Δυνατό κατά την άποψη μου πρόβλημα, που πιθανόν να επιλύεται και με διανυσματική ή αναλυτική Γεωμετρία.

Από Γεωμετρική Ευκλείδεια αντίληψη για μία επίλυση αρκεί να κατανοήσουμε ότι το πρόβλημα οδηγεί στο:
Αρκεί να αποδείξουμε ότι $F{A^2} - F{D^2} = E{D^2} - E{A^2},$ οπότε πλέον με βάση το 2ο θεώρημα της διαμέσου προκύπτει η απόδειξη.
Για να το επιτύχουμε αυτό στον χώρο θα πρέπει να δημιουργήσουμε καθετότητες κύρια με βάση το θεώρημα των τριών καθέτων.
Έτσι θα πάμε στην θεώρηση των αντιδιαμετρικών $F',\;E'$ των $F,\;E$ αντίστοιχα, ώστε να χρησιμοποιήσουμε ότι κάθε γωνία που
βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.
Εδώ μπορούμε να διαπιστώσουμε: $F'A \bot \left( {CAF} \right),\;F'D \bot \left( {CDF} \right),\;E'A \bot \left( {ABE} \right),\;E'D \bot \left( {BDE} \right).$
Διευκρινίζουμε ότι ως (CAF)

κτλ. εδώ συμβολίζουμε το επίπεδο που ορίζεται από τα σημεία C,A,F

.
Τελικά παίρνουμε:
$F{A^2} - F{D^2} = F'{A^2} - F'{D^2} = \left( {F'E{'^2} - AE{'^2}} \right) - \left( {F'E{'^2} - DE{'^2}} \right) =$ $DE{'^2} - AE{'^2} = E{D^2} - E{A^2}.$

: stereo.png (45.89 KiB) Προβλήθηκε 2934 φορές

(*) Το σχήμα που είναι μέρος της ημέτερης λύσης είναι χειροποίητο, παλαιάς κοπής αντίληψη για απεικόνιση στον χώρο. Αυτό δεν έγινε "επίτηδες" αλλά όσο με αφορά δεν έχω αποκτήσει ακόμα τις δεξιότητες των νέων τεχνολογιών για τέτοιες απεικονίσεις στον χώρο και έτσι επιχειρώ επιλύσεις με "χειροποίητα" σχήματα και στην στερεομετρία. Ο φίλος Κώστας Δόρτσιος και αν είχε χρόνο θα μπορούσε να προβεί σε τέτοιου επιπέδου απεικόνιση.

#12

Φίλε Σωτήρη καλημέρα...

Θα το επιχειρήσω....

Να είσαι καλά.

Κώστας Δόρτσιος

#13

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 05, 2020 11:24 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 03, 2019 12:40 pm
XLV Πανρωσική μαθητική μαθηματική ολυμπιάδα 2018/2019.
11η τάξη, Πρώτη μέρα. Θέματα της 3ης φάσης
.........................................................................................................................

5. Σε τετράεδρο φέρουμε τα ύψη και . Το επίπεδο $\alpha$ είναι κάθετο στην ακμή και διέρχεται από το μέσο της. Είναι γνωστό, ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλικά, επίσης και τα σημεία και είναι ομοκυκλικά. Να αποδείξετε, ότι οι αποστάσεις των σημείων και από το επίπεδο $\alpha$ είναι ίσες.

..........................................................................................................................
Πηγή
Δυνατό κατά την άποψη μου πρόβλημα, που πιθανόν να επιλύεται και με διανυσματική ή αναλυτική Γεωμετρία.

Από Γεωμετρική Ευκλείδεια αντίληψη για μία επίλυση αρκεί να κατανοήσουμε ότι το πρόβλημα οδηγεί στο:
Αρκεί να αποδείξουμε ότι $F{A^2} - F{D^2} = E{D^2} - E{A^2},$ οπότε πλέον με βάση το 2ο θεώρημα της διαμέσου προκύπτει η απόδειξη.
Για να το επιτύχουμε αυτό στον χώρο θα πρέπει να δημιουργήσουμε καθετότητες κύρια με βάση το θεώρημα των τριών καθέτων.
Έτσι θα πάμε στην θεώρηση των αντιδιαμετρικών $F',\;E'$ των $F,\;E$ αντίστοιχα, ώστε να χρησιμοποιήσουμε ότι κάθε γωνία που
βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.
Εδώ μπορούμε να διαπιστώσουμε: $F'A \bot \left( {CAF} \right),\;F'D \bot \left( {CDF} \right),\;E'A \bot \left( {ABE} \right),\;E'D \bot \left( {BDE} \right).$
Διευκρινίζουμε ότι ως κτλ. εδώ συμβολίζουμε το επίπεδο που ορίζεται από τα σημεία .
Τελικά παίρνουμε:
$F{A^2} - F{D^2} = F'{A^2} - F'{D^2} = \left( {F'E{'^2} - AE{'^2}} \right) - \left( {F'E{'^2} - DE{'^2}} \right) =$ $DE{'^2} - AE{'^2} = E{D^2} - E{A^2}.$

(*) Το σχήμα που είναι μέρος της ημέτερης λύσης είναι χειροποίητο, παλαιάς κοπής αντίληψη για απεικόνιση στον χώρο. Αυτό δεν έγινε "επίτηδες" αλλά όσο με αφορά δεν έχω αποκτήσει ακόμα τις δεξιότητες των νέων τεχνολογιών για τέτοιες απεικονίσεις στον χώρο και έτσι επιχειρώ επιλύσεις με "χειροποίητα" σχήματα και στην στερεομετρία. Ο φίλος Κώστας Δόρτσιος και αν είχε χρόνο θα μπορούσε να προβεί σε τέτοιου επιπέδου απεικόνιση.

Σωτήρη καλημέρα...

Αναρτώ τρία σχήματα μέσα από τα οποία ο αναγνώστης θα μπορέσει να περιηγηθεί και να αντιληφθεί
την ομορφιά της άσκησης αυτής.

1ο σχήμα:

: Τετράεδρο Σ.Λ. (1).png (25.88 KiB) Προβλήθηκε 2786 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται το τετράεδρο $\displaystyle{ABCD}$ , οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των εδρών $\displaystyle{ABD}$ και $\displaystyle{ACD}$
καθώς και τα ύψη $\displaystyle{BE}$ και $\displaystyle{CF}$ του τετραέδρου αυτού.
2ο σχήμα:

: Τετράεδρο Σ.Λ. (2).png (25.2 KiB) Προβλήθηκε 2786 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνονται:

1) το μεσοκάθετο επίπεδο της ακμής $\displaystyle{AD}$ το οποίο τέμνει τους
δύο ανωτέρω κύκλους κατά τις διαμέτρους $\displaystyle{KK'}$ και $\displaystyle{LL'}$ ,

2) οι προβολές $\displaystyle{F_o}$ και $\displaystyle{E_o}$ αντίστοιχα των σημείων $\displaystyle{F}$ και $\displaystyle{E}$ επί της ακμής $\displaystyle{AD}$ ,
οι οποίες ταυτίζονται, (κι αυτό δείχνεται με την εφαρμογή του δεύτερου θεωρήματος των διαμέσων,
όπως γράφει και ο Σωτήρης), και επομένως οι αποστάσεις των $\displaystyle{E,F}$ από το μεσοκάθετο επίπεδο
είναι το τμήμα $\displaystyle{ME_o=MF_o}$ , δηλαδή ίσες.

3ο σχήμα:

: Τετράεδρο Σ.Λ. (3).png (30.39 KiB) Προβλήθηκε 2786 φορές

Στο σχήμα αυτό σημειώθηκαν και τα τρίγωνα $\displaystyle{FAD}$ και $\displaystyle{EAD}$ στα οποία γίνεται η εφαρμογή του δεύτερου θεωρήματος
της διαμέσου.

Κώστας Δόρτσιος

#14

Συμπληρώνοντας την προηγούμενη ανάρτησή μου, και ύστερα από
επικοινωνία με το Σωτήρη, συμπληρώνω και την περίπτωση όπου
τα σημεία $\displaystyle{E, F}$ βρίσκονται εκατέρωθεν του μεσοκαθέτου επιπέδου.
Τότε το τετράεδρο θα είναι το $\displaystyle{AB'CD}$ .

: Τετράεδρο Σ.Λ. (4).png (34.62 KiB) Προβλήθηκε 2771 φορές

Και στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο.

Κώστας Δόρτσιος

S.E.Louridas · #15

Πράγματι ο Κώστας Δόρτσιος έδωσε την ομορφιά της απόλυτης πλέον Μαθηματικής κατασκευής μέσω των Μαθηματικών πολυμέσων, αλλά και της διερευνητικής διαδικασίας. Αναμενόμενο από τον Κώστα που συνδυάζει την βαθειά Μαθηματική Γνώση με την σε βάθος γνώση των Μαθηματικών Λογισμικών. Η διδακτική πρόταση είναι πλέον πλήρης, αφού έχουμε την οπτικολογική λειτουργία μπροστά μας. Ας μου επιτραπεί να τον ευχαριστήσω ιδιαιτέρως.

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Μέλη σε σύνδεση