Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 2

peter · #1

3. Έστω

φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών αριθμών με $nc_n\leq A$ για $n=1,2,\ldots$ και κάποια σταθερά A>0

. Δείξτε ότι για κάθε $n\in \mathbb N$ και για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει: $\displaystyle \left|\sum_{k=1}^n c_k\sin kx \right|\leq A(\pi +1)$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

[quote=peter post_id=125614 time=1334579009 user_id=1354]
3. Έστω (c_n)

φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών αριθμών με $nc_n\leq A$ για $n=1,2,\ldots$ και κάποια σταθερά A>0

. Δείξτε ότι για κάθε $n\in \mathbb N$ και για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει: $\displaystyle \left|\sum_{k=1}^n c_k\sin kx \right|\leq A(\pi +1)$ .
[/quote]

Είναι φανερό ότι μπορούμε να περιοριστούμε σε $0<x<\pi$

Βρίσκουμε φυσικό

ώστε $\frac{\pi }{N+1}\leq x< \frac{\pi }{N}$

Το άθροισμα το γράφουμε

$\sum_{k=1}^{n}=\sum_{k=1}^{N}+\sum_{k=N+1}^{n}$

Κάνοντας τριγωνική και χρησιμοποιώντας ότι $|\sin x|\leq |x|$
έχουμε

$|\sum_{k=1}^N c_k\sin kx| \leq \sum_{k=1}^N c_k kx \leq ANx \leq A\pi$

Το δεύτερο είναι πιο μπελαλίδικο.

Για $m\geq N+1$

Θετουμε $D_{m}=\sum_{k=N+1}^{m}\sin kx=\frac{\cos (N+\frac{1}{2})x-\cos (m+\frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}}$

Αυτό που χρειαζόμαστε είναι το προφανές $|D_{m}|\leq \frac{1}{\sin \frac{x}{2}}$

Το δεύτερο άθροισμα το γράφουμε $c_{N+1}D_{N+1}+\sum_{k=N+2}^{n}c_{k}(D_{k}-D_{k-1})$

Κάνοντας άθροιση κατά μέρη και παίρνοντας απόλυτες τιμές έχουμε

$|\sum_{k=N+1}^n c_k\sin kx| \leq$
$|D_{N+1}|(c_{N+1}-c_{N+2})+|D_{N+2}|(c_{N+2}-c_{N+3})+...+|D_{n-1}|(c_{n-1}- c_{n})+|D_{n}|c_{n}$
$\leq c_{N+1}\frac{1}{\sin \frac{x}{2}}$

Αλλά $\sin \frac{x}{2}\geq \frac{2}{\pi }\frac{x}{2}\doteq \frac{x}{\pi }\geq \frac{1}{N+1}$

Από την προηγούμεν λαμβάνοντας υπ οψιν την τελευταία παίρνουμε ότι το δεύτερο άθροισμα σε απόλυτη τιμή
είναι μικρότερο η ισο από

$(N+1)c_{N+1}\leq A$

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 2

Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 2

Re: Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 2

Re: Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 2

Μέλη σε σύνδεση