Άθροισμα εμβαδών

#1

Το $\displaystyle K$ βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και $\displaystyle KE \bot A\Delta$ .
Ποια θέση του $\displaystyle K$ ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;

nikkru · #2

exdx έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm
Το $\displaystyle K$ βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και $\displaystyle KE \bot A\Delta$ .
Ποια θέση του $\displaystyle K$ ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;

: Άθροισμα εμβαδών.png (22.68 KiB) Προβλήθηκε 1619 φορές

.

(

τετράγωνο) άρα E_2+E_3

ελάχιστο όταν το ορθογώνιο τρίγωνο E_4

έχει μέγιστο εμβαδόν,

που συμβαίνει όταν x=a-x

δηλαδή όταν το

είναι μέσο του $A \Gamma$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Θεωρώ ότι το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με Γεωμετρία της ίδιας τάξης.

Ιστοσελίδα · #4

exdx έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm
Το $\displaystyle K$ βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και $\displaystyle KE \bot A\Delta$ .
Ποια θέση του $\displaystyle K$ ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;

: shape.png (12.31 KiB) Προβλήθηκε 1539 φορές

Από $\Gamma {\rm K}{\rm B}\mathop = \limits^{\Pi - \Gamma - \Pi } \Gamma {\rm K}\Delta \Rightarrow (\Gamma {\rm K}{\rm B}) = (\Gamma {\rm K}\Delta )$

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου και y = KE = AE

, με $0 \le y \le x$

Θέτω τη συνάρτηση εμβαδού $E = \dfrac{{x(x - y)}}{2} + \dfrac{{{y^2}}}{2} = \dfrac{{{y^2} - xy + {x^2}}}{2}$ , η οποία είναι παραβολή (ως προς

) και παρουσιάζει ελάχιστο για $y = \dfrac{{ - \beta }}{{2a}} = \dfrac{x}{2}$ , δηλαδή όταν $K \equiv O$

#5

exdx έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm
Το $\displaystyle K$ βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και $\displaystyle KE \bot A\Delta$ .
Ποια θέση του $\displaystyle K$ ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;

: Άθροισμα εμβαδών.K.png (7.87 KiB) Προβλήθηκε 1518 φορές

$\displaystyle \frac{{{E_1}}}{{(A\Delta \Gamma )}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}},\frac{{{E_2}}}{{(AB\Gamma )}} = \frac{{a - x}}{a} \Rightarrow \frac{{{E_1} + {E_2}}}{{(AB\Gamma \Delta )/2}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{a - x}}{a} \Leftrightarrow$ $\boxed{{E_1} + {E_2} = \frac{{{x^2} - ax + {a^2}}}{2}}$ που ως τριώνυμο

παρουσιάζει ελάχιστο για $\boxed{x=\dfrac{a}{2}},$ δηλαδή το

είναι το κέντρο του τετραγώνου και το ελάχιστο άθροισμα εμβαδών $\boxed{ - \frac{\Delta }{8} = \frac{{3{a^2}}}{8}}$

#6

: Αθροισμα εμβαδών.png (17.24 KiB) Προβλήθηκε 1498 φορές

Ουσιαστικά απ ότι βλέπω πρόκειται για τη πρώτη λύση (ίσως και κακέκτυπό της ) αλλά την αφήνω για τον κόπο .

Η κάθετη από το

προς την

την τέμνει στο

και την

στο

.

Αν $AT = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KS = y$ , προφανώς $\boxed{\boxed{x + y = a}}$ ( * )

( σταθερή πλευρά τετραγώνου).

Επίσης $(AEK) + (BCK) = (AKT) + (STB) = (ASB) - (ASK)\,\,(1)$

Αλλά το (ASB)

είναι σταθερό και ίσο με το μισό εμβαδόν του τετραγώνου , οπότε

για την ζητούμενη ελαχιστοποίηση αρκεί να γίνει μέγιστο το (ASK)

που λόγω της

( * )

αυτό θα συμβεί εφ’ όσον : $\boxed{x = y}$ δηλαδή το

γίνει μέσο της διαγωνίου

.

nikkru · #7

exdx έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm
Το $\displaystyle K$ βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και $\displaystyle KE \bot A\Delta$ .
Ποια θέση του $\displaystyle K$ ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 8:42 pm
Θεωρώ ότι το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με Γεωμετρία της ίδιας τάξης.

: Άθροισμα εμβαδών_2.png (14.04 KiB) Προβλήθηκε 1461 φορές

Με Γεωμετρία (μάλλον Β΄τάξης).

Γράφουμε το ημικύκλιο διαμέτρου

που τέμνει την $A \Gamma$ στο (μέσο της)

.

Αν

το σημείο που η

τέμνει το ημικύκλιο, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ANB

είναι $ZA \cdot ZB=ZN^2$ .

Έτσι, το εμβαδόν του τριγώνου KBZ

γίνεται μέγιστο, όταν το

γίνεται μέγιστο, όταν $ZN=r=\frac{a}{2}$ δηλαδή όταν το

συμπέσει με το μέσο

του $A \Gamma$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

nikkru έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 16, 2018 7:15 pm

exdx έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm
Το $\displaystyle K$ βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και $\displaystyle KE \bot A\Delta$ .
Ποια θέση του $\displaystyle K$ ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 8:42 pm
Θεωρώ ότι το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με Γεωμετρία της ίδιας τάξης.
Άθροισμα εμβαδών_2.png
Με Γεωμετρία (μάλλον Β΄τάξης).

Γράφουμε το ημικύκλιο διαμέτρου που τέμνει την $A \Gamma$ στο (μέσο της) .

Αν το σημείο που η τέμνει το ημικύκλιο, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο είναι $ZA \cdot ZB=ZN^2$ .

Έτσι, το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται μέγιστο, όταν το γίνεται μέγιστο, όταν $ZN=r=\frac{a}{2}$ δηλαδή όταν το συμπέσει με το μέσο του $A \Gamma$ .

Ωραία λύση.
Η δική μου είναι διαφορετική.
Μάλιστα δεν χρησιμοποιώ μεγιστοποίηση.
Αν δεν με προλάβουν θα την γράψω αύριο.

#9

exdx έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm
Το $\displaystyle K$ βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και $\displaystyle KE \bot A\Delta$ .
Ποια θέση του $\displaystyle K$ ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;

: Άθροισμα εμβαδών.K1.png (8.99 KiB) Προβλήθηκε 1438 φορές

$\displaystyle {E_1} + {E_2} = \frac{1}{2}\left( {(AEKN) + (KNBZ) + (KZ\Gamma M} \right)$ και ελαχιστοποιείται όταν μεγιστοποιηθεί το $EKM\Delta.$

Αυτό όμως θα συμβεί όταν γίνει τετράγωνο (έχει σταθερή περίμετρο), δηλαδή όταν το

συμπέσει με το κέντρο του $AB\Gamma\Delta$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 16, 2018 8:30 pm

exdx έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm
Το $\displaystyle K$ βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και $\displaystyle KE \bot A\Delta$ .
Ποια θέση του $\displaystyle K$ ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;
Άθροισμα εμβαδών.K1.png
$\displaystyle {E_1} + {E_2} = \frac{1}{2}\left( {(AEKN) + (KNBZ) + (KZ\Gamma M} \right)$ και ελαχιστοποιείται όταν μεγιστοποιηθεί το $EKM\Delta.$

Αυτό όμως θα συμβεί όταν γίνει τετράγωνο (έχει σταθερή περίμετρο), δηλαδή όταν το συμπέσει με το κέντρο του $AB\Gamma\Delta$ .

Γεια σου Γιώργο.Περίπου αυτή την λύση είχα στο μυαλό μου.

Απλά την πήγα μέχρι το τέλος Γεωμετρικά.

Δηλαδή αν

το κέντρο του τετραγώνου ,

το μέσο της $\Delta \Gamma$ ,

το μέσο της $\Delta A$ και

η τομή της

με την

τότε η διαφορά των $MKEAB \Gamma M$ με $TOSAB \Gamma T$ είναι το τρίγωνο

OQK

.

Ετσι έχουμε ελαχιστοποίηση όταν το τρίγωνο γίνει σημείο.

Δηλαδή $K\equiv O$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #11

exdx έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm
Το $\displaystyle K$ βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και $\displaystyle KE \bot A\Delta$ .
Ποια θέση του $\displaystyle K$ ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;

$\displaystyle 2\left( {{S_1} + {S_2}} \right) = {x^2} + a\left( {a - x} \right) = \frac{{2{x^2} - 2ax + 2{a^2}}}{2} = \frac{{{x^2} + {{(a - x)}^2} + {a^2}}}{2}$

Άρα, $\displaystyle {{S_1} + {S_2} = \min }$ όταν $\displaystyle {{x^2} + {{(a - x)}^2} = \min }$

Αλλά $\displaystyle K{B^2} = {x^2} + {(a - x)^2}$ κι επομένως $\displaystyle {{S_1} + {S_2} = \min }$

όταν $\displaystyle KB = \min$ δηλαδή όταν $\displaystyle KB \bot AC$ δηλ. όταν $\displaystyle KB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Τότε $\displaystyle K{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2} = {x^2} + {(a - x)^2} \Rightarrow \boxed{x = \frac{a}{2}}$

: a.e.png (6.03 KiB) Προβλήθηκε 1379 φορές

Άθροισμα εμβαδών

Άθροισμα εμβαδών

Re: Άθροισμα εμβαδών

Re: Άθροισμα εμβαδών

Re: Άθροισμα εμβαδών

Re: Άθροισμα εμβαδών

Re: Άθροισμα εμβαδών

Re: Άθροισμα εμβαδών

Re: Άθροισμα εμβαδών

Re: Άθροισμα εμβαδών

Re: Άθροισμα εμβαδών

Re: Άθροισμα εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση