Θέμα επανάληψης

Βασίλης Καλαμάτας · #1

Καλησπέρα. Αυτή την εποχή τα επαναληπτικά θέματα έχουν την τιμητική τους και σε μια ανακατασκευή θέματος από τα προτεινόμενα της ε.μ.ε. μου προέκυψε η παρακάτω σύνθεση, για την οποία θα ήθελα τη γνώμη σας για το τελευταίο (κυρίως) ερώτημα.

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x^2ln\left | x \right |-x^2+1\; ,\: x\neq 0\\1\; ,\, x=0 \end{matrix}\right.$

1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .
2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα, να αποδείξετε ότι είναι άρτια και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.
4. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε η εξίσωση $2x^2ln\left | x \right |=x^2+\alpha -1$ να έχει 4 διαφορετικές ρίζες.
5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και τους άξονες x'x και y'y.

#2

Βασίλης Καλαμάτας έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 15, 2018 1:09 pm
Καλησπέρα. Αυτή την εποχή τα επαναληπτικά θέματα έχουν την τιμητική τους και σε μια ανακατασκευή θέματος από τα προτεινόμενα της ε.μ.ε. μου προέκυψε η παρακάτω σύνθεση, για την οποία θα ήθελα τη γνώμη σας για το τελευταίο (κυρίως) ερώτημα.

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x^2ln\left | x \right |-x^2+1\; ,\: x\neq 0\\1\; ,\, x=0 \end{matrix}\right.$

1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .
2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα, να αποδείξετε ότι είναι άρτια και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.
4. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε η εξίσωση $2x^2ln\left | x \right |=x^2+\alpha -1$ να έχει 4 διαφορετικές ρίζες.
5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και τους άξονες x'x και y'y.

...προσπαθώντας....

1. Είναι η

συνεχής για $x\ne 0$ (πράξεις μεταξύ συνεχών ) και εξετάζουμε στο x=0

και είναι

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(2{{x}^{2}}ln\left| x \right|-{{x}^{2}}+1)=1$ γιατί

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(xln\left| x \right|)\overset{0\cdot \infty }{\mathop{=}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln |x|}{\frac{1}{x}}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{{x}^{2}}}}=0$ οπότε

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)$ επομένως συνεχής και στο x=0

άρα συνεχής στο

2. Είναι η

παραγωγίσιμη για $x\ne 0$ , πράξεις παραγωγίσιμων με ${f}'(x)=(2{{x}^{2}}ln\left| x \right|-{{x}^{2}}+1{)}'=4xln\left| x \right|+2{{x}^{2}}\frac{1}{x}-2x=4xln\left| x \right|$ και

${f}'(x)=0\Leftrightarrow 4xln\left| x \right|=0\Leftrightarrow ln\left| x \right|=0\Leftrightarrow |x|=1\Leftrightarrow x=-1,\,\,x=1$ με

${f}'(x)>0\Leftrightarrow 4xln\left| x \right|>0\Leftrightarrow ln\left| x \right|>0\Leftrightarrow |x|>1\Leftrightarrow x<-1,\,\,x>1$ και

${f}'(x)<0\Leftrightarrow 4xln\left| x \right|<0\Leftrightarrow ln\left| x \right|<0\Leftrightarrow |x|<1\Leftrightarrow -1<x<0,\,\,0<x<1$

επομένως η

είναι γνήσια αύξουσα στα διαστήματα $[-1,\,\,0],\,\,[1,\,+\infty )$ και γνήσια φθίνουσα στα διαστήματα $(-\infty ,\,\,-1],\,\,[0,\,\,1]$ έτσι έχουμε

$f([-1,\,\,0])=[f(-1),\,\,f(0)],\,\,\,f([1,\,+\infty ))=[f(1),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))$ ή

$f([-1,\,\,0])=[0,\,\,1],\,\,\,f([1,\,+\infty ))=[0,\,\,+\infty )$ αφου $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}(2\ln |x|-1)+1)=+\infty$

$f((-\infty ,\,-1])=[f(-1),\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)),\,\,\,f([0,\,1])=[f(1),\,\,f(0)]$ ή

$f((-\infty ,\,-1])=[0,\,\,+\infty ),\,\,\,f([0,\,1])=[0,\,\,1]$ άρα το σύνολο τιμών της

είναι το $[0,\,+\infty )$

3. Είναι για $x\ne 0$ ${f}''(x)=(4xln\left| x \right|{)}'=4(\ln |x|+1)$ με

${f}''(x)=0\Leftrightarrow (4xln\left| x \right|{)}'=0\Leftrightarrow 4(\ln |x|+1)=0\Leftrightarrow |x|=\frac{1}{e}\Leftrightarrow (x=-\frac{1}{e},\,\,x=\frac{1}{e})$

${f}''(x)>0\Leftrightarrow (4xln\left| x \right|{)}'>0\Leftrightarrow 4(\ln |x|+1)>0\Leftrightarrow |x|>\frac{1}{e}\Leftrightarrow (x<-\frac{1}{e},\,\,x>\frac{1}{e})$

${f}''(x)<0\Leftrightarrow (4xln\left| x \right|{)}'<0\Leftrightarrow 4(\ln |x|+1)<0\Leftrightarrow |x|>\frac{1}{e}\Leftrightarrow (-\frac{1}{e}<x<0,\,\,0<x<\frac{1}{e})$

άρα η

είναι κυρτή στα διαστήματα $(-\infty ,\,-\frac{1}{e}],\,\,[\frac{1}{e},\,+\infty )$ και κοίλη στα διαστήματα $[-\frac{1}{e},\,0],\,\,[0,\,\,\frac{1}{e}]$

και επειδή $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x)}{1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(4xln\left| x \right|)=0$

άρα παραγωγίσιμη στο x=0

κοίλη στο $[-\frac{1}{e},\,\,\frac{1}{e}]$

Τώρα επειδή $f(-x)=2{{(-x)}^{2}}ln|-x|-{{(-x)}^{2}}+1=2xln|x|-x+1=f(x),\,\,\,x\ne 0$ είναι άρτια.

: 150418 ΘΕΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ.jpg (12.58 KiB) Προβλήθηκε 2510 φορές

4. Είναι $2{{x}^{2}}ln\left| x \right|={{x}^{2}}+\alpha -1\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}ln\left| x \right|-{{x}^{2}}-1=\alpha \Leftrightarrow f(x)=a$

και προφανώς λόγω του συνόλου τιμών της

όταν ο πραγματικός αριθμός α παίρνει τιμές στο διάστημα $(0,\,1)$ η εξίσωση

$2x^2ln\left | x \right |=x^2+\alpha -1$ να έχει 4 διαφορετικές ρίζες

μία σε κάθε διάστημα $(-\infty ,\,\,-1),\,\,(-1,\,\,0),\,\,(0,\,\,1),\,\,(1,\,+\infty )$

5. Για το ζητούμενο εμβαδό λόγω του ότι η

είναι άρτια θα βρούμε το εμβαδό μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

των ευθειών $x=0,\,\,x=1$ και του {x}'x

και θα το διπλασιάσουμε, έτσι τότε

πρέπει να βρούμε την αρχική της $f(x)=\left\{ \begin{matrix} 2{{x}^{2}}\ln x-{{x}^{2}}+1\ ,\;x>0 \\ 1\ ,x=0 \\ \end{matrix} \right.$

…εδώ όπως έχει επισημάνει και ο Βασίλης έχουμε θέμα με την σχολική ύλη αφού στην ουσία για να βρούμε αρχική της

$2{{x}^{2}}\ln x-{{x}^{2}}+1$ χρειάζεται παραγοντική βρίσκοντας το αόριστο ολοκλήρωμα ή με την χρήση της συνάρτησης ολοκλήρωμα αφού αν

$F(x)=\int\limits_{1}^{x}{(2{{t}^{2}}\ln t-{{t}^{2}}+1})dt$ μία αρχική της έχουμε

$F(x)=\int\limits_{1}^{x}{(2{{t}^{2}}\ln t-{{t}^{2}}+1})dt=2\int\limits_{1}^{x}{({{t}^{2}}lnt)dt-}\int\limits_{1}^{x}{({{t}^{2}}-1})dt=$

$=\left[ \frac{2}{3}{{t}^{3}}\ln t \right]_{1}^{x}-\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{x}{({{t}^{3}}\frac{1}{t})dt-}\left[ \frac{1}{3}{{t}^{3}}-t \right]_{1}^{x}=\frac{2}{3}{{x}^{3}}\ln x-\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{x}{({{t}^{2}})dt-}\frac{1}{3}{{x}^{3}}+t+\frac{2}{3}$

$=\frac{2}{3}{{x}^{3}}\ln x-\frac{5}{9}{{x}^{3}}+x+\frac{8}{9}$ έτσι τώρα θεωρώντας την

$F(x)=\left\{ \begin{matrix} & \frac{2}{3}{{x}^{3}}\ln x-\frac{5}{9}{{x}^{3}}+x+\frac{8}{9},\,\,\,\,\,\,\,\,\,x>0 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,F(0),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=0 \\ \end{matrix} \right.$ για να είναι αρχική της

$f(x)=\left\{ \begin{matrix} 2{{x}^{2}}\ln x-{{x}^{2}}+1\ ,\;x>0 \\ 1\ ,x=0 \\ \end{matrix} \right.$

κατ αρχάς πρέπει να είναι συνεχής στο x=0

και είναι $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,F(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{2}{3}{{x}^{3}}\ln x-\frac{5}{9}{{x}^{3}}+x+\frac{8}{9})=\frac{8}{9}=F(0)$

(…αφού $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(x\ln x)\overset{0\cdot \infty }{\mathop{=}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\underset{DLH}{\mathop{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}\,}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{{x}^{2}}}}=0$ )

έτσι $F(x)=\left\{ \begin{matrix} & \frac{2}{3}{{x}^{3}}\ln x-\frac{5}{9}{{x}^{3}}+x+\frac{8}{9},x>0 \\ & \frac{8}{9}x=0 \\ \end{matrix} \right.$

και επίσης παραγωγίσιμη και συγκεκριμένα πρέπει {F}'(0)=f(0)=1

και έτσι για την παραπάνω

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{F(x)-F(0)}{x}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{F}'(x)}{1}=$

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(\frac{2}{3}{{x}^{3}}\ln x-\frac{5}{9}{{x}^{3}}+x{)}'=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(2{{x}^{2}}\ln x+\frac{2}{3}{{x}^{2}}\frac{1}{x}-\frac{5}{3}{{x}^{2}}+1)=1=f(1)$

άρα η παραπάνω είναι μια αρχική της

και τότε $E=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\left[ F(x) \right]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=\frac{4}{9}$ και το ζητούμενο τελικά είναι $2E=\frac{8}{9}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Βασίλης Καλαμάτας · #3

Ευχαριστώ πολύ το συνονόματο για την υποδειγματική λύση .

Σχόλιο 1: Στο ερώτημα 5 η αρχική εκφώνηση θέλει διόρθωση

(και ζητώ συγγνώμη για αυτό, ειδικά από το Βασίλη που αφιέρωσε τόσο χρόνο για να γράψει την εξαιρετική λύση).
Δε χρειάζεται ο άξονας y'y, δηλαδή πρέπει να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα x'x. (Δεν ήξερα αν πρέπει να διορθώσω το αρχικό για να μην αλλοιωθεί η ροή των απαντήσεων σύμφωνα με τον κανονισμό).

Σχόλιο 2: Θα ήθελα τη γνώμη σας για την εξής απάντηση.
Αφού δικαιολογήσουμε το πρόσημο της f από το σχήμα ή από το σύνολο τιμών, να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα $E=\int_{-1}^{1}f(x)dx$ χωρίς τη χρήση της αρχικής που κατασκεύασε και δικαιολόγησε ο συνάδελφος στην παραπάνω λύση και με χρήση βασικών μεθόδων ολοκλήρωσης (που είναι μέσα στη σχολική ύλη) να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα.

pito · #4

Βασίλης Καλαμάτας έγραψε: ↑
Δευ Απρ 16, 2018 10:18 am
Ευχαριστώ πολύ το συνονόματο για την υποδειγματική λύση .

Σχόλιο 1: Στο ερώτημα 5 η αρχική εκφώνηση θέλει διόρθωση (και ζητώ συγγνώμη για αυτό, ειδικά από το Βασίλη που αφιέρωσε τόσο χρόνο για να γράψει την εξαιρετική λύση).
Δε χρειάζεται ο άξονας y'y, δηλαδή πρέπει να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα x'x. (Δεν ήξερα αν πρέπει να διορθώσω το αρχικό για να μην αλλοιωθεί η ροή των απαντήσεων σύμφωνα με τον κανονισμό).

Σχόλιο 2: Θα ήθελα τη γνώμη σας για την εξής απάντηση.
Αφού δικαιολογήσουμε το πρόσημο της f από το σχήμα ή από το σύνολο τιμών, να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα $E=\int_{-1}^{1}f(x)dx$ χωρίς τη χρήση της αρχικής που κατασκεύασε και δικαιολόγησε ο συνάδελφος στην παραπάνω λύση και με χρήση βασικών μεθόδων ολοκλήρωσης (που είναι μέσα στη σχολική ύλη) να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα.

Επαναφορά για το σχόλιο 2 του κ.Καλαμάτα.

Christos.N · #5

Ναι φαίνεται ,στα μάτια τα δικά μου,προβληματικό.

Συμβολικά μπορούμε να γράψουμε $\displaystyle \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} \,dx + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,dx$ και τα δύο έχουν νόημα επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής.

Όμως χωρίς να υπολογίσουμε (έμμεσα ή με οποιονδήποτε τρόπο να μας είναι γνωστή) την αρχική (παράγουσα) της συνάρτηση θα καταφύγουμε ας πούμε(με την σύμβαση ότι εξακολουθούμε να αναφερόμαστε στην συνεχή συνάρτηση) σε ένα ολοκλήρωμα της μορφής $\displaystyle \int\limits_0^1 {{x^2}\ln x} \,dx$ εδώ τώρα θα δημιουργηθούν πολλά προβλήματα ,γιατί πρέπει να το συμβολίσουμε: $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{s \to {0^ + }} \int\limits_s^1 {{x^2}\ln x} \,dx$ προκειμένου να το υπολογίσουμε και κάτι τέτοιο δεν υπονοείτε στο βιβλίο (γενικευμένο ολοκλήρωμα β' είδους).

Ωστόσο αν σε μια πολύκλαδη συνάρτηση,π.χ. $\displaystyle f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {f_1}\left( x \right),x \in A\\ {f_2}\left( x \right),x \in B \end{array} \right.$ με $\displaystyle \overline A \cap \overline B = \left\{ {{x_0}} \right\},{x_0} \in R$ και $\displaystyle {x_0} \in A \cup B$ με την επιπλέον υπόθεση ότι οι τύποι των συναρτήσεων $\displaystyle {f_1},{f_2}$ ορίζονται στο κατ' επέκταση σημείο $\displaystyle {x_0} \in R$ .

Αν λοιπόν συνέβαιναν όλα τα παραπάνω θα μπορούσαμε να "σπάσουμε" το ολοκλήρωμα και να αντικαταστήσουμε τους επιμέρους κλειστούς τύπους.

π.χ. $\displaystyle f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{c} x - 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,x < 2\\ 2 - x{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,2 \le x \le 3\\ 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,3 < x \end{array} \right.$

Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής, ο αριθμός 2 ανήκει στις θήκες των συνόλων και ταυτόχρονα σε κάποιο απο τα δύο σύνολα. Ο τύπος της συνάρτησης που δεν περιέχει στο διάστημα που ορίζεται τον αριθμό 2, μπορεί να επεκταθεί σε αυτό ,ανάλογα και στον αριθμό 3.

$\displaystyle f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{c} x - 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,x < 2\\ 2 - x{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,2 \le x \le 3\\ 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,3 < x \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{c} x - 2,x \le 2\\ 2 - x,2 \le x \le 3\\ 1,3 \le x \end{array} \right.$

και εδώ ισχύει αβίαστα το $\displaystyle \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,dx = \int\limits_1^2 {x - 2} \,dx + \int\limits_2^3 {2 - x} \,dx$ .

Σε κάθε περίπτωση όμως βλέπω ότι συνολικά το θέμα είναι πολύ θεωρητικό και αναρωτιέμαι πόσοι μαθητές θα δικαιολογούσαν την ισότητα $\displaystyle \left\{ \begin{array}{c} x - 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,x < 2\\ 2 - x{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,2 \le x \le 3\\ 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,3 < x \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{c} x - 2,x \le 2\\ 2 - x,2 \le x \le 3\\ 1,3 \le x \end{array} \right.$ επαρκώς.

Ρητορικά λοιπόν σαν μαθητής θα απαντούσα ότι προφανώς θα καταφύγουμε σε μια ισότητα συναρτήσεων όπως η προηγούμενη και επειδή ήδη θα έχουμε δείξει την συνέχεια δεν θα έχουμε και πολλά να πούμε γιατί είναι προφανές.

#6

...προσθέτω και εγώ την άποψη μου φέρνοντας και την συζήτηση που είχα ξεκινήσει

πριν λίγο καιρό εδώ https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 54&t=61478

βλέποντας και τις άλλες απόψεις...Θεωρώ πάντως ότι με τέτοιες περιπτώσεις ασυνέχειας

όπως στο θέμα του Βασίλη δεν μπορούμε στα πλαίσια της σχολικής να το υπολογίσουμε

χωρίς την εύρεση της αρχικής...για τις άλλες περιπτώσεις δίκλαδης νομίζω ότι η άποψη του Σταύρου

στο post καλύπτει πλήρως την διαδικασία του υπολογισμού...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Βασίλης Καλαμάτας · #7

Ευχαριστώ πολύ τους συναδέλφους για τα σχόλια και τις παρατηρήσεις. Να παραθέσω ακόμη μια σκέψη, με την οποία ελπίζω να εξηγήσω ακόμη καλύτερα τον προβληματισμό μου στο συγκεκριμένο θέμα.

Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό, άρα και στην περίπτωσή μας η f έχει παράγουσα μια συνάρτηση F οπότε σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού ισχύει $\int_{-1}^{1}f(x)dx=F(1)-F(-1)$ .

Για να υπολογίσουμε τους αριθμούς F(-1)

και

που μας χρειάζονται για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα που θα μας δώσει το εμβαδόν του χωρίου, δε χρειάζεται να υπολογίσουμε τον αριθμό F(0)

(ο οποίος βέβαια μπορεί να υπολογισθεί όπως ήδη μας έχει γράψει στη λύση του ο Βασίλης). Οπότε υπολογίζοντας με χρήση βασικών μεθόδων το ολοκλήρωμα, βρίσκουμε ουσιαστικά τον τύπο της αρχικής που μας χρειάζεται, ώστε να υπολογίσουμε τους αριθμούς F(1)

και

.

Θέμα επανάληψης

Θέμα επανάληψης

Re: Θέμα επανάληψης

Re: Θέμα επανάληψης

Re: Θέμα επανάληψης

Re: Θέμα επανάληψης

Re: Θέμα επανάληψης

Re: Θέμα επανάληψης

Μέλη σε σύνδεση