Ομοκυκλικά σημεία

#1

: Ομοκυκλικά σημεία..png (9.21 KiB) Προβλήθηκε 2554 φορές

Έστω

το ορθόκεντρο τριγώνου ABC,

μέσο του

και

μέσο του

Από το

φέρνω κάθετη στη

που τέμνει τις AC, AB

στα

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία B, E, C, D

είναι ομοκυκλικά.

Κώστας Παππέλης · #2

Η

είναι κάθετη στην AA'

όπου

το αντιδιαμετρικό του

, διότι το

είναι ως γνωστόν το συμμετρικό του

ως προς το

. Άρα η

είναι παράλληλη στην εφαπτόμενη από το

. Συνεπώς από εντός εναλλάξ τα ABC

,

είναι όμοια με επακόλουθο το συμπέρασμα εγγραψιμότητας.

#3

Κώστας Παππέλης έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 03, 2018 7:58 pm
Η είναι κάθετη στην όπου το αντιδιαμετρικό του , διότι το είναι ως γνωστόν το συμμετρικό του ως προς το . Άρα η είναι παράλληλη στην εφαπτόμενη από το . Συνεπώς από εντός εναλλάξ τα , είναι όμοια με επακόλουθο το συμπέρασμα εγγραψιμότητας.

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 03, 2018 7:45 pm
Ομοκυκλικά σημεία..png
Έστω το ορθόκεντρο τριγώνου μέσο του και μέσο του Από το φέρνω κάθετη στη

που τέμνει τις στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

: Ομοκυκλικά σημεία_1.png (37.62 KiB) Προβλήθηκε 2475 φορές

Ας είναι

το κέντρο του κύκλου (A,B,C)

και

το απόστημα προς την

.

Το τετράπλευρο ANMO

είναι παραλληλόγραμμο αφού OM// = AN

. Έτσι διαδοχικά έχουμε:

$\widehat C = \widehat {{\theta _1}}$ ( Η εγγεγραμμένη είναι το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης)

$\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ ( αφού AO//NM

) και

$\widehat {{\theta _2}} = \widehat E$ ( αφού το τετράπλευρο TKEM

είναι προφανώς εγγράψιμο, όπου $T \to \{ KO \cap MN\}$ )

Άρα $\boxed{\widehat C = \widehat E}$ που μας εξασφαλίζει το ζητούμενο .

#5

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 04, 2018 9:57 am

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 03, 2018 7:45 pm
Ομοκυκλικά σημεία..png
Έστω το ορθόκεντρο τριγώνου μέσο του και μέσο του Από το φέρνω κάθετη στη

που τέμνει τις στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Ομοκυκλικά σημεία_1.png

Ας είναι το κέντρο του κύκλου και το απόστημα προς την .

Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αφού . Έτσι διαδοχικά έχουμε:

$\widehat C = \widehat {{\theta _1}}$ ( Η εγγεγραμμένη είναι το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης)

$\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ ( αφού ) και

$\widehat {{\theta _2}} = \widehat E$ ( αφού το τετράπλευρο είναι προφανώς εγγράψιμο, όπου $T \to \{ KO \cap MN\}$ )

Άρα $\boxed{\widehat C = \widehat E}$ που μας εξασφαλίζει το ζητούμενο .

Επίσης πολύ ωραία λύση!

STOPJOHN · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 03, 2018 7:45 pm
Ομοκυκλικά σημεία..png
Έστω το ορθόκεντρο τριγώνου μέσο του και μέσο του Από το φέρνω κάθετη στη

που τέμνει τις στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Καλημέρα

H

είναι μεσοκάθετος στην

γιατί απο τα ορθογώνια τρίγωνα BTC,BSC,AHS,AHT , TN=NS=HN=NA,TM=MB=MC=MS

Οπότε $TS//ED,\hat{ATS}=\hat{AED},(1)$
Απο το εγράψιμο τετράπλευρο $TSCB,\hat{ATS}=\hat{ACB},(2), (1),(2)\Rightarrow \hat{BCA}=\hat{BED}$
συνεπώς τα σημεία B,E,C,D

είναι ομκυκλικά

Γιάννης

Το σχήμα ομοκυκλικά σημεία (α) εχει τα γράμματα που αντιστοιχούν στην εκφώνηση της άσκησης

#7

STOPJOHN έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 04, 2018 11:51 am

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 03, 2018 7:45 pm
Ομοκυκλικά σημεία..png
Έστω το ορθόκεντρο τριγώνου μέσο του και μέσο του Από το φέρνω κάθετη στη

που τέμνει τις στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Καλημέρα

H είναι μεσοκάθετος στην γιατί απο τα ορθογώνια τρίγωνα
Οπότε $TS//ED,\hat{ATS}=\hat{AED},(1)$
Απο το εγράψιμο τετράπλευρο $TSCB,\hat{ATS}=\hat{ACB},(2), (1),(2)\Rightarrow \hat{BCA}=\hat{BED}$
συνεπώς τα σημεία
είναι ομκυκλικά

Γιάννης

Το σχήμα ομοκυκλικά σημεία (α) εχει τα γράμματα που αντιστοιχούν στην εκφώνηση της άσκησης

Και μία ΘΡΥΛΙΚΗ λύση

#8

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 03, 2018 7:45 pm
Ομοκυκλικά σημεία..pngΈστω το ορθόκεντρο τριγώνου μέσο του και μέσο του Από το φέρνω κάθετη στη που τέμνει τις στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Άντε και εγώ τελευταίος και καταϊδρωμένος

: ομοκυκλικά σημεία.png (32.2 KiB) Προβλήθηκε 2430 φορές

Έστω και οι ορθές προβολές των στις αντίστοιχα. Με τα μέσα των αντίστοιχα και από $NK\parallel C{C}'\parallel ML,NF\parallel B{B}'\parallel MS$ προκύπτει ότι: $KL=\dfrac{AB}{2},FS=\dfrac{AC}{2}:\left( 1 \right)$ .

Με $NM\bot ED$ σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem προκύπτει ότι: $\dfrac{KL}{FS}=\dfrac{AD}{AE}\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}\Rightarrow AB\cdot AE=AD\cdot AC\Rightarrow B,E,C,D$ ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Γιώργος Μήτσιος · #9

Χαιρετώ όλη την παρέα ! Παραλλαγή με χρήση του σχήματος

: 4-3-18 Ομοκυκλικά.PNG (12.37 KiB) Προβλήθηκε 2369 φορές

Το

ύψος του

, έτσι τα

είναι τα

από τα

σημεία του κύκλου του Euler
ο οποίος περνά και από το μέσον

του

.

Η

διάμετρος άρα EMD

εφαπτομένη του κύκλου οπότε $\widehat{ILM}=\widehat{BME}=\theta$ (χορδής-εφαπτομένης με εγγεγραμμένη).

Ακόμη $LM \parallel AC \Rightarrow \widehat{LMB}=\widehat{ACB}=\omega$ και IL=LB

(διάμεσος προς υποτείνουσα)

Έχουμε λοιπόν $\varphi +\theta =\widehat{LBI}=\widehat{LIB}=\omega +\theta \Rightarrow \varphi =\omega$ ή $\widehat{BED}=\widehat{BCD}$ που μας οδηγεί στο ζητούμενο.

Φιλικά Γιώργος.

#10

Χρησιμοποιώ το σχήμα του Νίκου ( Doloros ), πιο πάνω ( 4η δημοσίευση ).

$\bullet$ Από $OM\parallel = AN\Rightarrow$ $AO\parallel = NM\ \ \ ,(1)$

Από (1)

και $NM\perp DE\Rightarrow$ $AO\perp DE\ \ \ ,(2)$

Από (2)

, σύμφωνα με το Θεώρημα Nagel, συμπεραίνεται ότι το τετράπλευρο BECD

είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί. (*)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κώστας Βήττας.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #11

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 03, 2018 7:45 pm
Ομοκυκλικά σημεία..png
Έστω το ορθόκεντρο τριγώνου μέσο του και μέσο του Από το φέρνω κάθετη στη

που τέμνει τις στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Το τετράπλευρο $\displaystyle TPEM$ είναι εγγράψιμο,άρα οι γωνίες $\displaystyle \omega$ είναι ίσες

Με $\displaystyle Z$ μέσον της $\displaystyle AC$ $\displaystyle \Rightarrow NZ//CP$ και $\displaystyle ZM//AB$ άρα $\displaystyle NZ \bot ZM$

Έτσι το $\displaystyle NZMS$ είναι εγγράψιμο ,οπότε οι γωνίες $\displaystyle x$ είναι ίσες

Άρα $\displaystyle \angle x = \angle \omega$ $\displaystyle \Rightarrow BECD$ εγγράψιμο

: ομοκυκλικά.png (15.98 KiB) Προβλήθηκε 2278 φορές

#12

Τοποθετήθηκα ήδη στις λύσεις των Κώστα Παππέλη, Νίκου και Γιάννη. Να ευχαριστήσω λοιπόν ακόμα τους Στάθη, Γιώργο,

Κώστα Βήττα και Μιχάλη για την ενασχόλησή τους με το θέμα και να

τις λύσεις τους. Νιώθω πάντα ιδιαίτερη χαρά κάθε

φορά που η Dream Team της Γεωμετρίας ασχολείται με προτεινόμενο θέμα μου.

Ομοκυκλικά σημεία

Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Μέλη σε σύνδεση