Lipschitz και σταθερό σημείο

Andreas A. · #1

Να δειχθεί ότι:

Άν: $f: A \rightarrow A \ \ \mu\varepsilon \ \ \left | f(x)-f(y)\right|\leqslant k\left | x-y \right | \ ,\ \forall x,y\in A\ \ ,\ k\in\left [ 0,1 \right )$ , όπου

κλειστό υποσύνολο του $\mathbb{R}$

Τότε: $\exists !x_0\in\mathbb{R}:f(x_0)=x_0$

Προτάσεις-υποδείξεις:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δίνω και τις βοηθητικές προτάσεις, των οποίων οι λύσεις πιστεύω ότι εμφανίζουν ενδιαφέρον, γιατί η λύση της αρχικής πρότασης χωρίς αυτές μου φαίνεται κάπως ουρανοκατέβατη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Andreas A. έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2018 6:12 pm
Να δειχθεί ότι:

Άν: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ \ \mu\varepsilon \ \ \left | f(x)-f(y)\right|\leqslant k\left | x-y \right | \ ,\ \forall x,y\in\mathbb{R} \ ,\ k\in\left [ 0,1 \right )$

Τότε: $\exists !x_0\in\mathbb{R}:f(x_0)=x_0$

Προτάσεις-υποδείξεις:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Έστω $f:A\rightarrow A$ , συνεχής. Άν η ακολουθία (όπου τυχόν στοιχείο του ) συγκλίνει, τότε συγκλίνει σε σταθερό σημείο της

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Αν για μια ακολουθία ισχύει: $\left | a_{n+1}-a_n \right |\leqslant k\left | a_n-a_{n-1} \right |\ , \forall n\in\mathbb{N} \ ,\ k\in\left [ 0,1 \right )$ τότε η είναι συγκλiνουσα.
Δίνω και τις βοηθητικές προτάσεις, των οποίων οι λύσεις πιστεύω ότι εμφανίζουν ενδιαφέρον, γιατί η λύση της αρχικής πρότασης χωρίς αυτές μου φαίνεται κάπως ουρανοκατέβατη.

Πρόκειται για μια ειδική περίπτωση του Θεωρήματος σταθερού σημείου του Banach

https://en.wikipedia.org/wiki/Banach_fi ... nt_theorem

πολύ καλά έκανες Αντρέα και το έβαλες.

Σου εύχομαι καλή διασκέδαση στο

Andreas A. · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2018 6:36 pm
Πρόκειται για μια ειδική περίπτωση του Θεωρήματος σταθερού σημείου του Banach

https://en.wikipedia.org/wiki/Banach_fi ... nt_theorem

πολύ καλά έκανες Αντρέα και το έβαλες.

Σου εύχομαι καλή διασκέδαση στο

Ευχαριστώ για την εύστοχη παρατήρηση και το καλωσόρισμα, η αλήθεια είναι ότι δεν γνώριζα το εν λόγω θεώρημα, αλλά την θεώρησα ενδιαφέρουσα άσκηση για φοιτητές που τώρα γνωριζόμαστε με την Ανάλυση και για αυτό την ανήρτησα.

#4

Andreas A. έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2018 6:12 pm
Δίνω και τις βοηθητικές προτάσεις, των οποίων οι λύσεις πιστεύω ότι εμφανίζουν ενδιαφέρον, γιατί η λύση της αρχικής πρότασης χωρίς αυτές μου φαίνεται κάπως ουρανοκατέβατη.

Ανδρέα, ευχαριστούμε, όμως για να μην αποκομίζει κανείς εσφαλμένες εντυπώσεις επισημαίνω ότι η πρόταση είναι πάρα πολύ γνωστή και υπάρχει σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης ή Μετρικών Χώρων ή Τοπολογίας, στο κεφάλαιο της πληρότητας. Επίσης υπάρχει σε σχεδόν όλες τις Αριθμητικές Αναλύσεις.

Τέλος, ο τρόπος απόδειξης όχι ουρανοκατέβατος δεν είναι αλλά είναι απόλυτα φυσιολογικός, ιδίως στην Αριθμητική Ανάλυση όπου χρησιμοποιείται κατά κώρον η μέθοδος αναδρομής (iteration).

Andreas A. · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2018 6:59 pm

Andreas A. έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2018 6:12 pm
Δίνω και τις βοηθητικές προτάσεις, των οποίων οι λύσεις πιστεύω ότι εμφανίζουν ενδιαφέρον, γιατί η λύση της αρχικής πρότασης χωρίς αυτές μου φαίνεται κάπως ουρανοκατέβατη.
Ανδρέα, ευχαριστούμε, όμως για να μην αποκομίζει κανείς εσφαλμένες εντυπώσεις επισημαίνω ότι η πρόταση είναι πάρα πολύ γνωστή και υπάρχει σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης ή Μετρικών Χώρων ή Τοπολογίας, στο κεφάλαιο της πληρότητας. Επίσης υπάρχει σε σχεδόν όλες τις Αριθμητικές Αναλύσεις.

Τέλος, ο τρόπος απόδειξης όχι ουρανοκατέβατος δεν είναι αλλά είναι απόλυτα φυσιολογικός, ιδίως στην Αριθμητική Ανάλυση όπου χρησιμοποιείται κατά κώρον η μέθοδος αναδρομής (iteration).

Θα συμφωνήσω ότι αυτό μάλλον προκύπτει από τις περιορισμένες μου μαθηματικές γνώσεις παρά από οτιδήποτε άλλο. Ελπίζω να μην γεμίζω το

με κοινότυπες προτάσεις

mikemoke · #6

Andreas A. έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2018 6:12 pm
Να δειχθεί ότι:

Άν: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ \ \mu\varepsilon \ \ \left | f(x)-f(y)\right|\leqslant k\left | x-y \right | \ ,\ \forall x,y\in\mathbb{R} \ ,\ k\in\left [ 0,1 \right )$

Τότε: $\exists !x_0\in\mathbb{R}:f(x_0)=x_0$

Προτάσεις-υποδείξεις:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Έστω $f:A\rightarrow A$ , συνεχής. Άν η ακολουθία (όπου τυχόν στοιχείο του ) συγκλίνει, τότε συγκλίνει σε σταθερό σημείο της

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Αν για μια ακολουθία ισχύει: $\left | a_{n+1}-a_n \right |\leqslant k\left | a_n-a_{n-1} \right |\ , \forall n\in\mathbb{N} \ ,\ k\in\left [ 0,1 \right )$ τότε η είναι συγκλiνουσα.
Δίνω και τις βοηθητικές προτάσεις, των οποίων οι λύσεις πιστεύω ότι εμφανίζουν ενδιαφέρον, γιατί η λύση της αρχικής πρότασης χωρίς αυτές μου φαίνεται κάπως ουρανοκατέβατη.

$0\leq |f(x)-f(y)|\leq k|x-y|\Rightarrow 0\leq \lim_{y\to x} |f(x)-f(y)|\leq \lim_{y\to x}|x-y|$
Aπό KΠ $\lim_{y\to x} |f(x)-f(y)|=0$ Άρα

συνεχής στο $\mathbb{R}$
Για την μοναδικότητα του x_0

έστω ότι $\exists x_1\neq x_0:f(x_1)=x_1$
Καταλήγουμε σε $1\leq k$ ΑΤΟΠΟ
Θεωρούμε f(0)=a>0

τότε από $| f(x)-f(y)|\right|\leqslant k\left | x-y \right |$

$-k|x|+a\leq f(x)\leq k|x|+a\Leftrightarrow -x-k|x|+a\leq f(x)-x \leq-x+k|x|+a$

Άρα $\lim_{x\to +\infty}f(x)-x\leq \lim_{x\to +\infty}-x+k|x|+a \Rightarrow \lim_{x\to +\infty}f(x)-x=-\infty$

και $\lim_{x\to -\infty}-x-k|x|+a\leq \lim_{x\to -\infty}-x+f(x) \Rightarrow \lim_{x\to -\infty}f(x)-x=+\infty$

Aναλόγως το πρόσημο του f(0)

επιλέγουμε $\xi$ κοντά στο συν ή πλην άπειρο

Andreas A. · #7

mikemoke έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2018 7:38 pm

$0\leq |f(x)-f(y)|\leq k|x-y|\Rightarrow 0\leq \lim_{y\to x} |f(x)-f(y)|\leq \lim_{y\to x}|x-y|$
Aπό KΠ $\lim_{y\to x} |f(x)-f(y)|=0$ Άρα συνεχής στο $\mathbb{R}$
Για την μοναδικότητα του έστω ότι $\exists x_1\neq x_0:f(x_1)=x_1$
Καταλήγουμε σε $1\leq k$ ΑΤΟΠΟ
Θεωρούμε τότε από $| f(x)-f(y)|\right|\leqslant k\left | x-y \right |$

$-k|x|+a\leq f(x)\leq k|x|+a\Leftrightarrow -x-k|x|+a\leq f(x)-x \leq-x+k|x|+a$

Άρα $\lim_{x\to +\infty}f(x)-x\leq \lim_{x\to +\infty}-x+k|x|+a \Rightarrow \lim_{x\to +\infty}f(x)-x=-\infty$

και $\lim_{x\to -\infty}-x-k|x|+a\leq \lim_{x\to -\infty}-x+f(x) \Rightarrow \lim_{x\to -\infty}f(x)-x=+\infty$

Aναλόγως το πρόσημο του επιλέγουμε $\xi$ κοντά στο συν ή πλην άπειρο

Σωστή λύση, αλλά έκανα τυπογραφικό στην αρχική εκφώνηση καθώς στο

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

ήθελα να γράψω
$f:A\rightarrow A$
Οπότε δεν είναι δυνατή η χρήση ορίων στο άπειρο.
Το διορθώνω και στο αρχικό.

mikemoke · #8

Andreas A. έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2018 7:58 pm

mikemoke έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2018 7:38 pm

$0\leq |f(x)-f(y)|\leq k|x-y|\Rightarrow 0\leq \lim_{y\to x} |f(x)-f(y)|\leq \lim_{y\to x}|x-y|$
Aπό KΠ $\lim_{y\to x} |f(x)-f(y)|=0$ Άρα συνεχής στο $\mathbb{R}$
Για την μοναδικότητα του έστω ότι $\exists x_1\neq x_0:f(x_1)=x_1$
Καταλήγουμε σε $1\leq k$ ΑΤΟΠΟ
Θεωρούμε τότε από $| f(x)-f(y)|\right|\leqslant k\left | x-y \right |$

$-k|x|+a\leq f(x)\leq k|x|+a\Leftrightarrow -x-k|x|+a\leq f(x)-x \leq-x+k|x|+a$

Άρα $\lim_{x\to +\infty}f(x)-x\leq \lim_{x\to +\infty}-x+k|x|+a \Rightarrow \lim_{x\to +\infty}f(x)-x=-\infty$

και $\lim_{x\to -\infty}-x-k|x|+a\leq \lim_{x\to -\infty}-x+f(x) \Rightarrow \lim_{x\to -\infty}f(x)-x=+\infty$

Aναλόγως το πρόσημο του επιλέγουμε $\xi$ κοντά στο συν ή πλην άπειρο
Σωστή λύση, αλλά έκανα τυπογραφικό στην αρχική εκφώνηση καθώς στο
$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
ήθελα να γράψω
$f:A\rightarrow A$
Οπότε δεν είναι δυνατή η χρήση ορίων στο άπειρο.
Το διορθώνω και στο αρχικό.

Άρα θα έχουμε το πολύ ένα x_0

που έχει αποδειχτεί με άτοπο.

Andreas A. · #9

Άρα θα έχουμε το πολύ ένα που έχει αποδειχτεί με άτοπο.

Ναι, θα έχουμε το πολύ ένα x_0

τέτοιο ώστε f(x_0)=x_0

, όπως έδειξες με άτοπο. Η υπόλοιπη λύση θέλει τροποποίηση

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Αντρέα δεν μπορείς να βάλεις

οτιδήποτε.
Το

πρέπει να είναι πλήρης μετρικός χώρος.
Στην περίπτωση του $\mathbb{R}$
αναγκαία και ικανή συνθήκη είναι το

να είναι κλειστό σύνολο.

Το θεώρημα αυτό του Banach έχει πάρα πολλές εφαρμογές.
Και σε θεωρητικό και σε πρακτικό επίπεδο.
Πολλά θεωρήματα ύπαρξης και μονοσήμαντου αποδεικνύονται με την βοήθεια του.
π.χ Διαφορικές εξισώσεις.
Επίσης επειδή η απόδειξη του είναι κατασκευαστική σου δίνει αλγόριθμο
για την προσέγγιση του σταθερού σημείου.
Και όχι μόνο αυτό αλλά και εκτιμήσεις σφάλματος.

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/Wint ... nzweig.pdf

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~prazak/u ... ino-FP.pdf

Andreas A. · #11

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2018 8:40 pm
Αντρέα δεν μπορείς να βάλεις οτιδήποτε.
Το πρέπει να είναι πλήρης μετρικός χώρος.
Στην περίπτωση του $\mathbb{R}$
αναγκαία και ικανή συνθήκη είναι το να είναι κλειστό σύνολο.

Το θεώρημα αυτό του Banach έχει πάρα πολλές εφαρμογές.
Και σε θεωρητικό και σε πρακτικό επίπεδο.
Πολλά θεωρήματα ύπαρξης και μονοσήμαντου αποδεικνύονται με την βοήθεια του.
π.χ Διαφορικές εξισώσεις.
Επίσης επειδή η απόδειξη του είναι κατασκευαστική σου δίνει αλγόριθμο
για την προσέγγιση του σταθερού σημείου.
Και όχι μόνο αυτό αλλά και εκτιμήσεις σφάλματος.

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/Wint ... nzweig.pdf

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~prazak/u ... ino-FP.pdf

Σοβαρή παράλειψή μου στην εκφώνηση, προφανώς πρεπει να είναι κλειστό εφόσον απαιτούμε να περιλαμβάνει κάθε σημείο συσσώρευσής του. Βιαζόμενος να το διορθώσω το αρχικό λάθος υπέπεσα σε νέο.

#12

mikemoke έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2018 7:38 pm
Θεωρούμε τότε από $| f(x)-f(y)|\right|\leqslant k\left | x-y \right |$

$-k|x|+a\leq f(x)\leq k|x|+a\Leftrightarrow -x-k|x|+a\leq f(x)-x \leq-x+k|x|+a$

Άρα $\lim_{x\to +\infty}f(x)-x\leq \lim_{x\to +\infty}-x+k|x|+a \Rightarrow \lim_{x\to +\infty}f(x)-x=-\infty$

και $\lim_{x\to -\infty}-x-k|x|+a\leq \lim_{x\to -\infty}-x+f(x) \Rightarrow \lim_{x\to -\infty}f(x)-x=+\infty$

Aναλόγως το πρόσημο του επιλέγουμε $\xi$ κοντά στο συν ή πλην άπειρο

Μιχάλη, δεν έχω καταλάβει. Τι είναι τα παραπάνω; Τι δείχνουν; To $\xi$ τι είναι; Εμφανίζεται μόνο στην τελευταία γραμμή.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #13

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2018 9:16 pm

mikemoke έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2018 7:38 pm
Θεωρούμε τότε από $| f(x)-f(y)|\right|\leqslant k\left | x-y \right |$

$-k|x|+a\leq f(x)\leq k|x|+a\Leftrightarrow -x-k|x|+a\leq f(x)-x \leq-x+k|x|+a$

Άρα $\lim_{x\to +\infty}f(x)-x\leq \lim_{x\to +\infty}-x+k|x|+a \Rightarrow \lim_{x\to +\infty}f(x)-x=-\infty$

και $\lim_{x\to -\infty}-x-k|x|+a\leq \lim_{x\to -\infty}-x+f(x) \Rightarrow \lim_{x\to -\infty}f(x)-x=+\infty$

Aναλόγως το πρόσημο του επιλέγουμε $\xi$ κοντά στο συν ή πλην άπειρο
Μιχάλη, δεν έχω καταλάβει. Τι είναι τα παραπάνω; Τι δείχνουν; To $\xi$ τι είναι; Εμφανίζεται μόνο στην τελευταία γραμμή.

mikemoke ελπίζω να μου δίνεις την άδεια.
Μιχάλη (Λάμπρου) είναι η απόδειξη του σταθερού σημείου στο $\mathbb{R}$
Το $\xi$ είναι το σταθερό σημείο.Λόγω ορίων προκύπτει από Bolzano.

#14

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2018 9:16 pm
To $\xi$ τι είναι; Εμφανίζεται μόνο στην τελευταία γραμμή.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2018 9:46 pm
Το $\xi$ είναι το σταθερό σημείο.

Σταύρο, ευχαριστώ.

Πού να το καταλάβω

, παρ' όλη την ωραιότατη απόδειξη.

Lipschitz και σταθερό σημείο

Lipschitz και σταθερό σημείο

Re: Lipschitz και σταθερό σημείο

Re: Lipschitz και σταθερό σημείο

Re: Lipschitz και σταθερό σημείο

Re: Lipschitz και σταθερό σημείο

Re: Lipschitz και σταθερό σημείο

Re: Lipschitz και σταθερό σημείο

Re: Lipschitz και σταθερό σημείο

Re: Lipschitz και σταθερό σημείο

Re: Lipschitz και σταθερό σημείο

Re: Lipschitz και σταθερό σημείο

Re: Lipschitz και σταθερό σημείο

Re: Lipschitz και σταθερό σημείο

Re: Lipschitz και σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση