Θέση μέγιστου

#1

: Θέση μέγιστου.png (7.34 KiB) Προβλήθηκε 1068 φορές

Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα AB=a

και ένα σημείο του

ώστε

Φέρνω την ημιευθεία $\displaystyle{Ax \bot AB}.$

Να εντοπίσετε σημείο

της

ώστε η γωνία $B\widehat PS=\theta$ να είναι μέγιστη και (για αυτή τη θέση) να υπολογίσετε την $\displaystyle{\tan \theta }.$

Όλες οι λύσεις είναι δεκτές, αλλά κερδίζει όποιος κάνει γεωμετρική κατασκευή πριν τους υπολογισμούς

KARKAR · #2

Γιώργο το πρόβλημα έχει λυθεί με διάφορες εκφάνσεις ουκ ολίγες φορές στο φόρουμ .

Μόνο ο KARKAR έχει αναρτήσει 4-5 σχετικές ασκήσεις . Δείτε μια εκδοχή εδώ

#3

Η πιο πρόσφατη παραπομπή τοποθετείται το 2012

(ένα χρόνο πριν γίνω μέλος) και οι περισσότεροι σημερινοί μαθητές, αν όχι όλοι, σίγουρα δεν την έχουν συναντήσει εδώ! Ενδεχομένως κάπου αλλού, όχι όμως εδώ! Αυτό βέβαια πολύ λίγη σημασία έχει. Ας δούμε όμως τι αναφέρει η σχετική ανακοίνωση των Γενικών Συντονιστών:

Συμβαίνει συχνά ασκήσεις αυτούσιες ή παρόμοιες με προηγούμενες να κάνουν την επανεμφάνισή τους. Αυτό δεν είναι κακό αφού όλο και κάποιος θα την βλέπει για πρώτη φορά. Ας μην στερούμε την διδακτική αξία τους δίνοντας αμέσως την παραπομπή στην λυμένη άσκηση. Βάζουμε και εδώ ένα διάστημα 48 ωρών στο οποίο αν δεν έχει εν τω μεταξύ λυθεί η άσκηση καλό είναι να μην δίνουμε την παραπομπή.

#4

george visvikis έγραψε: Συμβαίνει συχνά ασκήσεις αυτούσιες ή παρόμοιες με προηγούμενες να κάνουν την επανεμφάνισή τους. Αυτό δεν είναι κακό αφού όλο και κάποιος θα την βλέπει για πρώτη φορά.

Καλημέρα σε όλους. Εκτός από όσους τη βλέπουν πρώτη φορά υπάρχουμε και κάποιοι που ξεχνάμε τι λύσαμε χτες, πόσο μάλλον πριν πενταετία και βάλε...

Δίχως να κοιτάξω τις παλιές αναρτήσεις, μια τριγωνομετρική προσέγγιση με παραγώγους και γεωμετρική κατασκευή.
(Ελπίζω να μην έχει ήδη αναρτηθεί ίδια απάντηση).

: 03-05-2017 Γεωμετρία.jpg (13.29 KiB) Προβλήθηκε 982 φορές

Έστω

και $\displaystyle \widehat {APS} = \omega ,\;\;\varepsilon \varphi \theta = y$ , με $\displaystyle 0 < \omega + \theta < \frac{\pi }{2}$ οπότε

$\displaystyle \varepsilon \varphi \left( {\omega + \theta } \right) = \frac{{\varepsilon \varphi \omega + \varepsilon \varphi \theta }}{{1 - \varepsilon \varphi \omega \cdot \varepsilon \varphi \theta }} \Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{{\frac{d}{x} + y}}{{1 - \frac{{dy}}{x}}} \Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{{d + xy}}{{x - dy}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow ax - ady = dx + {x^2}y \Leftrightarrow y = \frac{{\left( {a - d} \right)x}}{{{x^2} + ad}}$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{\left( {a - d} \right)x}}{{{x^2} + ad}},\;\;x > 0$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = \frac{{\left( {a - d} \right)\left( {ad - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + ad} \right)}^2}}}$ .

Μελετώντας το πρόσημο της παραγώγου, βρίσκουμε ότι παρουσιάζει μέγιστο όταν $\displaystyle x = \sqrt {ad}$ .

Τότε $\displaystyle y = \frac{{\left( {a - d} \right)\sqrt {ad} }}{{2ad}}$ .

Η κατασκευή του

είναι απλή. Φαίνεται στο σχήμα.

: 03-05-2017 Γεωμετρία a.jpg (10.17 KiB) Προβλήθηκε 982 φορές

#5

Σ' ευχαριστώ Γιώργο για την ενασχόληση με το θέμα. Θα δώσω άλλη μία γεωμετρική κατασκευή που από ότι είδα δεν υπάρχει στις παραπομπές.

: Θέση μέγιστου.β.png (16.05 KiB) Προβλήθηκε 920 φορές

Ανάλυση: Έστω

το κέντρο του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία P, S, B

και

το μέσο του SB.

Για να είναι

η γωνία μέγιστη θα πρέπει, αφού το τμήμα

είναι σταθερό, η ακτίνα του κύκλου (K)

να είναι ελάχιστη. Αυτό όμως

συμβαίνει όταν $\displaystyle{KP \bot Ax}.$ Προφανώς, $KP=MA=\dfrac{a+d}{2}.$

Κατασκευή: Γράφω τον κύκλο $(B,\dfrac{a+d}{2})$ που τέμνει τη μεσοκάθετο του

στο

και φέρνω από το

κάθετη στην Ax.

Το σημείο τομής τους είναι το ζητούμενο σημείο

#6

george visvikis έγραψε:Σ' ευχαριστώ Γιώργο για την ενασχόληση με το θέμα. Θα δώσω άλλη μία γεωμετρική κατασκευή που από ότι είδα δεν υπάρχει στις παραπομπές.

Θέση μέγιστου.β.png
Ανάλυση: Έστω το κέντρο του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία και το μέσο του Για να είναι

η γωνία μέγιστη θα πρέπει, αφού το τμήμα είναι σταθερό, η ακτίνα του κύκλου να είναι ελάχιστη. Αυτό όμως

συμβαίνει όταν $\displaystyle{KP \bot Ax}.$ Προφανώς, $KP=MA=\dfrac{a+d}{2}.$

Κατασκευή: Γράφω τον κύκλο $(B,\dfrac{a+d}{2})$ που τέμνει τη μεσοκάθετο του στο και φέρνω από το κάθετη στην

Το σημείο τομής τους είναι το ζητούμενο σημείο

Ωραίο !

Θέση μέγιστου

Θέση μέγιστου

Re: Θέση μέγιστου

Re: Θέση μέγιστου

Re: Θέση μέγιστου

Re: Θέση μέγιστου

Re: Θέση μέγιστου

Μέλη σε σύνδεση