Ισόπλευρο τρίγωνο 7.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 777.png (7.42 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

Καλησπέρα.

Το τρίγωνο $AB\Gamma$ του σχήματος είναι ισόπλευρο. Ευθεία διέρχεται από την
κορυφή του

ώστε, τα κάθετα προς αυτήν ευθύγραμμα τμήματα $A\Delta$ και $\Gamma E$
που φέρνουμε από τις κορυφές

και $\Gamma$ να έχουν μέτρα

και

αντίστοιχα.
Υπολογίστε την πλευρά του τριγώνου $AB\Gamma$ .

#2

Καλημέρα σε όλους.

: 05-03-2017 Γεωμετρία.jpg (12.08 KiB) Προβλήθηκε 754 φορές

Στο

είναι $\displaystyle \eta \mu \varphi = \frac{{13}}{\alpha }$

Στο BEC

είναι $\displaystyle \eta \mu \left( {120^\circ - \varphi } \right) = \frac{{11}}{\alpha } \Leftrightarrow \eta \mu 120^\circ \sigma \upsilon \nu \varphi - \sigma \upsilon \nu 120^\circ \eta \mu \varphi = \frac{{11}}{\alpha }$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sigma \upsilon \nu \varphi + \frac{1}{2} \cdot \frac{{13}}{\alpha } = \frac{{11}}{\alpha } \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{3\sqrt 3 }}{\alpha }$

Είναι $\displaystyle \eta {\mu ^2}\varphi + \sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi = 1 \Rightarrow \frac{{169}}{{{\alpha ^2}}} + \frac{{27}}{{{\alpha ^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\alpha ^2} = 196 \Leftrightarrow \alpha = 14$ (αφού είναι θετικός αριθμός).

Ιστοσελίδα · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Καλησπέρα.

Το τρίγωνο $AB\Gamma$ του σχήματος είναι ισόπλευρο. Ευθεία διέρχεται από την
κορυφή του ώστε, τα κάθετα προς αυτήν ευθύγραμμα τμήματα $A\Delta$ και $\Gamma E$
που φέρνουμε από τις κορυφές και $\Gamma$ να έχουν μέτρα και αντίστοιχα.
Υπολογίστε την πλευρά του τριγώνου $AB\Gamma$ .

Χαιρετώ!

: Ισόπλευρο-τρίγωνο-7.png (38.84 KiB) Προβλήθηκε 734 φορές

Έστω $AM = MC = \dfrac{a}{2}$ και $MN \bot DE,\,CZ \bot AD$

Από το τραπέζιο ACED

είναι $MN = \dfrac{{11 + 13}}{2} = 12$ και από τα όμοια $\triangleleft MNB, \triangleleft CZA$ : $CZ = 8\sqrt 3$

Τέλος, από Π.Θ στο $\triangleleft CAZ:a = 14$

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:777.png

Καλησπέρα.

Το τρίγωνο $AB\Gamma$ του σχήματος είναι ισόπλευρο. Ευθεία διέρχεται από την
κορυφή του ώστε, τα κάθετα προς αυτήν ευθύγραμμα τμήματα $A\Delta$ και $\Gamma E$
που φέρνουμε από τις κορυφές και $\Gamma$ να έχουν μέτρα και αντίστοιχα.
Υπολογίστε την πλευρά του τριγώνου $AB\Gamma$ .

Καλησπέρα!

: Ισόπλευρο τρίγωνο 7.png (18.54 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

Έστω

η πλευρά του ισοπλεύρου και

το ύψος του. Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα AMBD, MCEB

εύκολα προκύπτει ότι και το MDE

είναι ισόπλευρο και έστω

η πλευρά του. Εφαρμόζω το θεώρημα Πτολεμαίου στα δύο εγγράψιμα:

$\displaystyle{aBD + 13a\sqrt 3 = 2ab,aBE + 11a\sqrt 3 = 2ab\mathop \Rightarrow \limits^ \oplus ab + 24a\sqrt 3 = 4ab \Leftrightarrow }$ $\boxed{b=8\sqrt 3}$ (1)

Νόμος συνημιτόνων στο AMD

, $\displaystyle{{a^2} = 169 + {b^2} - 13b\sqrt 3 \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} a = 7 \Leftrightarrow }$ $\boxed{2a=14}$

#5

Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle ABC$ που τέμνει ακόμα τις AD,CE

στα

αντίστοιχα. Κάθε μια από τις γωνίες $\widehat {{a_1}}\,\,,\,\,\widehat {{a_2}}$ είναι από $60^\circ$ ως εξωτερικές στα

εγγεγραμμένα τετράπλευρα $ABHC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AZBC$ . Αν λοιπόν $DZ = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EH = y$

θα είναι $BZ = 2x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BH = 2y$ . Επειδή όμως $\widehat \omega + \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{a_1}} = 60^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat \omega + \widehat {{\theta _1}} = 60^\circ$

θα είναι ${\widehat \theta _1} = {\widehat \theta _2}$ και άρα τα τρίγωνα $ZBA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HCB$ θα είναι ίσα οπότε :

$ZA = BH = 2y\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,ZB = CH = 2x$ θα ισχύουν λοιπόν:

: ισόπλευρο 7_ Φάνης.png (37.72 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

$\left\{ \begin{gathered} 13 - x = 2y \hfill \\ 11 - y = 2x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ y = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Τώρα από το θεώρημα των προβολών στο τρίγωνο

HBC

έχω : $B{C^2} = B{H^2} + B{C^2} + 2HC \cdot HE = {10^2} + {6^2} + 2 \cdot 6 \cdot 5 = 196$ και άρα

$\boxed{a = 14}$

Ισόπλευρο τρίγωνο 7.

Ισόπλευρο τρίγωνο 7.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 7.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 7.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 7.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 7.

Μέλη σε σύνδεση