Απορία με όριο

kostas232 · #1

Καλησπέρα και πάλι.

Να ρωτήσω:

Είναι σωστό εάν γνωρίζω ότι $\latex{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=a}$ να κάνω την αντικατάσταση $x-x_{0}\rightarrow -h$ και να πω ότι
$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{-h}\Leftrightarrow -\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{h}=a\Leftrightarrow \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{h}=-a$
;

#2

.
Κώστα, όλα καλά με εξαίρεση της εξής ασάφεια:

kostas232 έγραψε:να κάνω την αντικατάσταση $x-x_{0}\rightarrow -h$

Τίποτα από αυτά που γράφεις δεν έχει μέσα του το

, οπότε για ποια αντικατάσταση μιλάς;

Υποθέτω ότι αυτό που εννοείς είναι να κάνεις την αντικατάσταση $h \rightarrow -h$ . Με αυτό ως δεδομένο δεν έχει κανένα πρόβλημα ο συλλογισμός που κάνεις.

Ratio · #3

kostas232 έγραψε:Καλησπέρα και πάλι.

Να ρωτήσω:

Είναι σωστό εάν γνωρίζω ότι $\latex{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=a}$ να κάνω την αντικατάσταση $x-x_{0}\rightarrow -h$ και να πω ότι
$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{-h}\Leftrightarrow -\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{h}=a\Leftrightarrow \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{h}=-a$
;

Με την προϋπόθεση ότι ξεκινούσατε $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=a\leftrightarrow\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=a\leftrightarrow\....$
όπου $x=x_{0}+h$ με $h\rightarrow 0$
και αναζητούσατε όριο για $x=x_{0}-h \Leftrightarrow x-x_{0}=-h$

θα εμφανιζόταν εξ' αρχής το x και θα ήταν σαφές ότι αναζητείται όριο στην περιοχή $(x_{0}-h,x_{0}+h), h\rightarrow 0$

Βέβαια οφείλουμε να δούμε το κλάσμα και με αυτή τη μορφή

$\displaystyle\lim_{-h\to0}\frac{f(x_{0}+(-h))-f(x_{0})}{+(-h)}$

οπότε αν θέσουμε $-h = u , u\rightarrow 0$
προκύπτει
$\displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{f(x_{0}+u)-f(x_{0})}{u}=a$

kostas232 · #4

Με την προϋπόθεση ότι ξεκινούσατε $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=a\leftrightarrow\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=a\leftrightarrow\....$
όπου $x=x_{0}+h$ με $h\rightarrow 0$
και αναζητούσατε όριο για $x=x_{0}-h \Leftrightarrow x-x_{0}=-h$

θα εμφανιζόταν εξ' αρχής το x και θα ήταν σαφές ότι αναζητείται όριο στην περιοχή $(x_{0}-h,x_{0}+h), h\rightarrow 0$

Βέβαια οφείλουμε να δούμε το κλάσμα και με αυτή τη μορφή

$\displaystyle\lim_{-h\to0}\frac{f(x_{0}+(-h))-f(x_{0})}{+(-h)}$

οπότε αν θέσουμε $-h = u , u\rightarrow 0$
προκύπτει
$\displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{f(x_{0}+u)-f(x_{0})}{u}=a$

Αυτόν ακριβώς το λογισμό είχα στο μυαλό μου. Ευχαριστώ για όλες τις υποδείξεις.

Σημείωση: Η πλήρης άσκηση βρίσκεται στη σελίδα 103 του σχολικού βιβλίου.

Απορία με όριο

Απορία με όριο

Re: Απορία με όριο

Re: Απορία με όριο

Re: Απορία με όριο

Μέλη σε σύνδεση