ΑΠΟΡΙΑ ΣE ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ!

Βασίλης Καλαμάτας · #1

Καλησπέρα σε όλους!
Με αφορμή το τελευταίο ερώτημα Δ4 των φετινών εξετάσεων, να εκφράσω μια απορία:
Η κατασκευή της ζητούμενης ανισότητας ξεκινά (σε έναν από τους τρόπους απόδειξης) από τη σχέση $1\leq x\leq e^{\pi }$ .
Θα μπορούσαμε να την ξεκινήσουμε από τη σχέση $1<x<e^{\pi }$ ;

Υ.Γ. Δε γνωρίζω αν έχει συζητηθεί ξανά στο φόρουμ, από μια αναζήτηση που έκανα δε βρήκα κάτι, αλλά πλέον το υλικό που υπάρχει είναι τόσο μεγάλο σε μέγεθος που μπορεί και να έκανα λάθος. Αν υπάρχει σχετικό νήμα, ας με ενημερώσει κάποιος σας παρακαλώ. Ευχαριστώ εκ των προτέρων!!!

ΣΧΟΛΙΟ: Έγινε διόρθωση στις τιμές της μεταβλητής x.

#2

Βασίλης Καλαμάτας έγραψε:Καλησπέρα σε όλους!
Με αφορμή το τελευταίο ερώτημα Δ4 των φετινών εξετάσεων, να εκφράσω μια απορία:
Η κατασκευή της ζητούμενης ανισότητας ξεκινά (σε έναν από τους τρόπους απόδειξης) από τη σχέση $0\leq x \leq \pi ^2$ .
Θα μπορούσαμε να την ξεκινήσουμε από τη σχέση $0<x<\pi$ ;

Γεια σου Βασίλη !

Θα σου πω τι μου έρχεται στο μυαλό με την πρώτη, μπορεί όμως πιο λεπτομερής μελέτη να δείξει ότι κάνω λάθος. Απλά θέλω και γω να ενώσω μαζί σου τον προβληματισμό μου παρά να δώσω απάντηση .

Δεν ξέρω όμως ποια ακριβώς απόδειξη έχεις στο μυαλό σου, οπότε θα περιοριστώ σε εκείνη που ξεκινάμε με την ανισότητα $1\leq x\leq e^{\pi}$ , αν θυμάμαι καλά .

Λοιπόν , μπορείς να ξεκινήσεις και έτσι όπως λες , αλλά όταν έρθει η ώρα να ολοκληρώσεις πρέπει πάλι να λάβεις υπόψιν(έστω έμμεσα) ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό. Με τον τρόπο που λες έχεις ήδη εξασφαλίσει ότι δεν ισχύει παντού το ίσον, οπότε παίρνεις τελικά γνήσια διάταξη.

Όλα φυσικά αυτά τα λέμε για να είμαστε στα σχολικά πλαίσια, αλλά από άλλη σκοπιά δεν βλέπω να χρειάζεται να πάρουμε κλειστή την αρχική διπλή

ανισότητα.Το ορισμένο ολοκλήρωμα για μια συνεχή συνάρτηση δεν μπορεί να εξαρτηθεί από τις ακραίες τιμές του διαστήματος ολοκλήρωσης , ούτε από

άλλες μεμονωμένες εσωτερικές τιμές.

Πώς όμως να τα πούμε αυτά σε σχολική τάξη , αν δεν έχουμε το ΘΜΤ για τα ολοκληρώματα ;

Αν η περίπτωση που έχεις στο μυαλό σου δημιουργεί άλλα θέματα, πιο λεπτά, θα το τη δούμε.

Βασίλης Καλαμάτας · #3

Καλησπέρα σε όλους!
Η απόδειξη που έχω στο μυαλό μου Μπάμπη (ευχαριστώ για την απάντηση και συγγνώμη που δεν ήμουν σαφής και αναλυτικός) είναι η εξής:

Επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα για $1<x<e^{\pi }\Rightarrow 0<lnx<\pi \Rightarrow f(0)<f(lnx)<f(\pi )\Rightarrow$
$\Rightarrow 0<\frac{f(lnx)}{x}<\frac{\pi }{x}$
Επειδή η f είναι συνεχής στο $[1,e^{\pi }]$ παίρνουμε ολοκλήρωμα (όπως λες χωρίς να γίνει αναφορά στην ισότητα) και κατασκευάζουμε τη ζητούμενη ανισότητα.

Το ερώτημα που θέτω είναι κατά πόσο είναι απαραίτητο στην αρχή να παίρνουμε και τα ίσα στα άκρα, μήπως αρκεί η γνήσια ανισότητα;

ΣΧΟΛΙΟ: Τώρα βλέπω ότι στο αρχικό μου μήνυμα είχα γράψει λάθος τα άκρα για τις τιμές του x. Δεν αποτελεί δικαιολογία, αλλά δυσκολεύομαι τρομερά πλέον με το latex, διότι δε γράφω σχεδόν ποτέ με αυτό!!!

#4

Νομίζω ότι κανονικά έτσι θα έπρεπε να εργαζόμαστε όταν θέλουμε να οδηγηθούμε σε γνήσια ανισότητα. Τα άκρα δεν παίζουν απολύτως καμία σημασία , αφού

έχουμε συνεχή συνάρτηση σε κλειστό διάστημα.Με αυτό τον τρόπο τελειώνουμε απευθείας.

Το σχολικό όμως δεν έχει θεώρημα που από θετική συνάρτηση (στο ανοικτό διάστημα) να περνάει σε θετικό ολοκλήρωμα.Για το λόγο αυτό επιλέγουμε την

ανισότητα με τα κλειστά άκρα και εξετάζουμε στο τέλος αν η ισότητα δεν ισχύει παντού.

Από μαθηματική λοιπόν άποψη δεν υπάρχει καμία διαφορά .

Μπάμπης

Βασίλης Καλαμάτας · #5

Ευχαριστώ πολύ Μπάμπη για το χρόνο που αφιέρωσες!
Σύντομα θα έχω περισσότερο χρόνο και θα το κοιτάξω λίγο περισσότερο, αν έχω κάτι νέο θα επανέλθω!

ΑΠΟΡΙΑ ΣE ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ!

ΑΠΟΡΙΑ ΣE ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ!

Re: ΑΠΟΡΙΑ ΣE ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ!

Re: ΑΠΟΡΙΑ ΣE ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ!

Re: ΑΠΟΡΙΑ ΣE ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ!

Re: ΑΠΟΡΙΑ ΣE ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ!

Μέλη σε σύνδεση