Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

M.S.Vovos · #21

george visvikis έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:
george visvikis έγραψε:Το δεν λύνεται. Πρέπει να αλλάξει το σημείο , π. χ σε .
Λύνεται, αλλά τα νούμερα δεν βγαίνουν καλά. Ψάχνω για καλύτερα νούμερα.
Δεν λύνεται γιατί πώς θα λύσεις την εξίσωση ;
Αν όμως βάλεις , η εξίσωση λύνεται.

Επίσης το διαγώνισμα έχει αλλάξει τόσες φορές, ώστε κάποιες προηγούμενες αναρτήσεις δικές μου, δικές σου και του irakleios στο τότε , είναι σαν μην έχουν κανένα νόημα.
Κάποιος που θα κατεβάσει τώρα το διαγώνισμα και θα διαβάσει τις προηγούμενες δημοσιεύσεις, θα νομίζει ότι έχουμε τρελαθεί όλοι.

Διαφωνώ, με το σημείο. Θα αποστείλω τη λύση μου σε προσωπικό μήνυμα.

#22

Η συνάρτηση στο $\Delta1$ δεν είναι καλά ορισμένη, αφού πρέπει x>-1

M.S.Vovos · #23

Επαναφορά, μετά από διορθώσεις και τροποποιήσεις, που πρότεινε ο κ. Γιώργος Βισβίκης.

#24

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί , οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση:
$\displaystyle{\left| {\left( {z - i} \right){{\left( {\frac{{1 + i\sqrt 3 }}{2}} \right)}^{2015}}} \right| = Im(z) \cdot {{\mathop{\rm i}\nolimits} ^{2016}}}$

Β.1 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο.
Μονάδες 8

Είναι $\displaystyle{\left| {{{\left( {\frac{{1 + i\sqrt 3 }}{2}} \right)}^{2015}}} \right| = 1,{i^{2016}} = {\left( {{i^4}} \right)^{504}} = 1}$ , οπότε η δοσμένη σχέση γράφεται:
$\displaystyle{|z - i| = {\mathop{\rm Im}\nolimits} (z)}$ . Έστω z=x+yi

$\displaystyle{|x + (y - 1)i| = y \Leftrightarrow {x^2} - 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{{x^2} + 1}}{2}}$

Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του

είναι η παραβολή με εξίσωση $\boxed{y = \frac{{{x^2} + 1}}{2}}}$

Β.2 Να δείξετε ότι $\displaystyle{{\mathop{\rm Im}\nolimits} ({\mathop{\rm z}\nolimits} ) \ge \frac{{1 - {{\left( {{\mathop{\rm Re}\nolimits} ({\mathop{\rm z}\nolimits} )} \right)}^2}}}{2}}$ .
Μονάδες 4

$\displaystyle{{\mathop{\rm Im}\nolimits} (z) - \frac{{1 - {{\left( {{\mathop{\rm Re}\nolimits} (z)} \right)}^2}}}{2} = y - \frac{{1 - {x^2}}}{2} = \frac{{1 + {x^2}}}{2} - \frac{{1 - {x^2}}}{2} = {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{{\mathop{\rm Im}\nolimits} (z) \ge \frac{{1 - {{\left( {{\mathop{\rm Re}\nolimits} (z)} \right)}^2}}}{2}}$

Β.3 Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του και το μιγαδικό για τον οποίο ικανοποιείται.
Μονάδες 6

To ελάχιστο μέτρο του

είναι η απόσταση της κορυφής της παραβολής από την αρχή των αξόνων. Είναι $\displaystyle{|z{|_{\min }} = \frac{1}{2}}$ και ικανοποιείται από τον μιγαδικό $\displaystyle{{z_0} = \frac{1}{2}i}$

: ΘΕΜΑ Β.png (7.71 KiB) Προβλήθηκε 733 φορές

Β.4 Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση του σημείου απ’ το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του .
Μονάδες 7

Η απόσταση του K(2,0)

, από ένα σημείο του γεωμετρικού τόπου είναι:

$\displaystyle{d(x) = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{2}} \right)}^2}} }$ . Η συνάρτηση

έχει παράγωγο $\displaystyle{d'(x) = \frac{{{x^3} + 3x - 4}}{{\sqrt {{x^4} + 6{x^2} - 16x + 17} }} \ge 0 \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} + x + 4) \ge 0}$ , παρουσιάζει ελάχιστο για

x=1

και έχει ελάχιστη τιμή $\boxed{{d_{\min }} = d(1) = \sqrt 2 }$

Λάμπρος Μπαλός · #25

Το Γ Θέμα εξακολουθεί να έχει πρόβλημα. Πρέπει να πούμε a>0

.

M.S.Vovos · #26

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Το Γ Θέμα εξακολουθεί να έχει πρόβλημα. Πρέπει να πούμε .

Επαναφορά.

Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Μέλη σε σύνδεση