Ασκήσεις στην Ανάλυση!

BAGGP93 · #81

Ευχαριστούμε κύριε Μιχάλη για τον σύνδεσμο. Και εγώ αυτή τη λύση έχω.

BAGGP93 · #82

BAGGP93 έγραψε:Άσκηση 25 (Έυκολη αλλά ωραία)

Ας είναι $\displaystyle{\left(X,\mathbb{T}\right)}$ ένας τοπολογικός χώρος και $\displaystyle{f:X\longrightarrow X}$

μια συνάρτηση. Θεωρούμε την οικογένεια υποσυνόλων του $\displaystyle{X}$ , $\displaystyle{\mathbb{T}(f)=\left\{A\in\mathbb{P}(X): f(A)\subseteq A^{0}\right\}}$ .

1. Να δείξετε ότι η $\displaystyle{\mathbb{T}(f)}$ είναι μια τοπολογία στο σύνολο $\displaystyle{X}$ .

2. Αν $\displaystyle{f=Id_{X}}$ , τότε $\displaystyle{\mathbb{T}(f)=\mathbb{T}}$ .

3. Αν η $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή, βρείτε την $\displaystyle{\mathbb{T}(f)}$ .

4. Αν $\displaystyle{f\circ f=Id_{X}}$ , τότε $\displaystyle{\mathbb{T}(f)\subseteq \mathbb{T}}$ .

5. Αν $\displaystyle{x_1\,,x_2\in X\,,x_1\neq x_2}$ ( $\displaystyle{|X|\geq 3}$ ) και $\displaystyle{f:X\longrightarrow X}$

με $\displaystyle{f(x)=\begin{cases} x\,\,\,\,\,\,\,\,,x\in X-\left\{x_1\,,x_2\right\}\\ x_1\,\,\,\,\,,x=x_2\\ x_2\,\,\,\,\,,x=x_1 \end{cases}$

να βρείτε την $\displaystyle{\mathbb{T}(f)}$ .

Έχω προτείνει την ίδια άσκηση και στο $\displaystyle{\rm{mathimatikoi.org}}$ http://www.mathimatikoi.org/index.php/e ... n-topology

Γεια σας. Κάνω μια προσπάθεια.

1. Ισχύει ότι $\displaystyle{f(\varnothing)=\varnothing=\varnothing^{0}\,\,,f(X)\subseteq X=X^{0}}$ , άρα $\displaystyle{\varnothing\,,X\in\mathbb{T}(f)}$ .

Έστω $\displaystyle{A\,,B\in\mathbb{T}(f)}$ . Τότε, $\displaystyle{f(A)\subseteq A^{0}\,\,,f(B)\subseteq B^{0}}$ και

$\displaystyle{A\cap B\subseteq A\implies f(A\cap B)\subseteq f(A)\subseteq A^{0}}$

$\displaystyle{A\cap B\subseteq B\implies f(A\cap B)\subseteq f(B)\subseteq B^{0}}$

άρα $\displaystyle{f(A\cap B)\subseteq A^{0}\cap B^{0}=\left(A\cap B\right)^{0}\implies A\cap B\in\mathbb{T}(f)}$ .

Ας είναι τέλος, $\displaystyle{\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ οικογένεια στοιχείων της $\displaystyle{\mathbb{T}(f)}$ . Εξ' ορισμού,

$\displaystyle{f(A_{i})\subseteq A_{i}^{0}\,,\forall\,i\in I}$ . Θα δείξουμε ότι $\displaystyle{f\,\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)\subseteq \left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)^{0}$ .

Πρός τούτο, έστω $\displaystyle{y\in f\,\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)}$ . Τότε, υπάρχει $\displaystyle{x\in\bigcup_{i\in I}A_{i}}$ τέτοιο, ώστε

$\displaystyle{y=f(x)}$ , δηλαδή, υπάρχει $\displaystyle{i\in I}$ με $\displaystyle{x\in A_{i}}$ και $\displaystyle{y=f(x)}$ . Τότε,

$\displaystyle{x\in A_{i}\implies y=f(x)\in f\,(A_{i})\implies y\in A_{i}^{0}\implies y\in \bigcup_{i\in I}A_{i}^{0}\subseteq \left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)^{0}}$ .

Ώστε, $\displaystyle{f\,\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)\subseteq \left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)^{0}\iff \bigcup_{i\in I}A_{i}\in\mathbb{T}(f)}$

και απ'όλα τα παραπάνω έχουμε ότι η $\displaystyle{\mathbb{T}(f)}$ είναι τοπολογία στο σύνολο $\displaystyle{X}$ .

2. Αν $\displaystyle{f=Id_{X}}$ , τότε για κάθε $\displaystyle{A\in\mathbb{P}(X)}$ έχουμε :

$\displaystyle{A\in\mathbb{T}(f)\iff f(A)\subseteq A^{0}\iff A\subseteq A^{0}\iff A=A^{0}\iff A\in\mathbb{T}}$ , οπότε $\displaystyle{\mathbb{T}(f)=\mathbb{T}}$ .

3. Έστω $\displaystyle{f(x)=x_{0}\,,x\in X}$ για κάποιο $\displaystyle{x_{0}\in X}$ . Έστω $\displaystyle{A\in\mathbb{T}(f)-\left\{\varnothing\right\}}$ .

Τότε, $\displaystyle{f(A)\subseteq A^{0}\,\,(I)}$ , άρα : $\displaystyle{f(A)=\left\{f(x)\in X: x\in A\right\}=\left\{x_{0}\right\}}$ και από τη σχέση έχουμε :

$\displaystyle{x_{0}\in A^{0}\implies x_{0}\in A}$ , οπότε το σύνολο $\displaystyle{A}$ είναι στοιχείο της τοπολογίας του ιδιαιτέρου σημείου $\displaystyle{x_{0}}$ .

Αν $\displaystyle{A=\varnothing}$ , τότε και πάλι ανήκει σε αυτήν την τοπολογία. Απ' την άλλη, αν $\displaystyle{B}$ είναι ένα στοιχείο της

τοπολογίας του ιδιαιτέρου σημείου $\displaystyle{x_{0}}$ , τότε $\displaystyle{B=\varnothing}$ ή $\displaystyle{x_{0}\in B}$ .

Αν $\displaystyle{B=\varnothing}$ , τότε $\displaystyle{B\in\mathbb{T}(f)}$ ενώ αν $\displaystyle{x_{0}\in B}$ τότε

$\displaystyle{f(B)=\left\{f(x)\in X: x\in B\right\}=\left\{x_{0}\right\}\subseteq B$ .

Εδώ κόλλησα, πώς μπορώ να συνεχίσω. Έχω μόνο μια έγκλειση.

4. Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{f\circ f=Id_{X}}$ . Έστω $\displaystyle{A\in\mathbb{T}(f)}$ . Τότε, $\displaystyle{f(A)\subseteq A^{0}}$ .

Όμως, $\displaystyle{\left(f\circ f\right)(A)=Id_{X}(A)=A\implies f(f(A))=A\implies A\subseteq f(A^{0})\subseteq f(A)\subseteq A^{0}\implies A=A^{0}\implies A\in\mathbb{T}}$

και συνεπώς, $\displaystyle{\mathbb{T}(f)\subseteq \mathbb{T}}$ .

5. Για αυτήν την $\displaystyle{f}$ ισχύει $\displaystyle{f\circ f=Id_{X}}$ και τότε $\displaystyle{\mathbb{T}(f)\subseteq \mathbb{T}}$ .

Και εδώ δεν μπόρεσα να συνεχίσω. Κάποια υπόδειξη ;

Υ.Γ: Εν τω μεταξύ, στην εκφώνηση γράφω ότι πρόκειται για εύκολη άσκηση και τελικά στην προσπάθεια επίλυσης, δυσκολεύτηκα.

BAGGP93 · #83

Άσκηση 26

Έστωσαν $\displaystyle{\left(E,||\cdot||_{E}\right)\,,\left(F,||\cdot||_{F}\right)}$ δύο χώροι $\displaystyle{\rm{Banach}}$ υπεράνω του $\displaystyle{\mathbb{R}}$

και $\displaystyle{T:E\longrightarrow F}$ ένας φραγμένος γραμμικός τελεστής.

Ορίζουμε απεικόνιση $\displaystyle{||\cdot||:E\longrightarrow \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{||x||=||x||_{E}+||T(x)||_{F}}$ .

Να δειχθεί ότι η απεικόνιση $\displaystyle{||\cdot||}$ είναι νόρμα στον $\displaystyle{\left(E,+,\cdot\right)}$ και ότι ο χώρος με νόρμα

$\displaystyle{\left(E,||\cdot||\right)}$ είναι χώρος $\displaystyle{\rm{Banach}}$ .

Επιτρέψτε μου να κάνω επαναφορά της Ασκησης 25 για κάποια σημεία που δεν έχω δώσει λύση πιο πάνω.

#84

BAGGP93 έγραψε:Άσκηση 26

Έστωσαν $\displaystyle{\left(E,||\cdot||_{E}\right)\,,\left(F,||\cdot||_{F}\right)}$ δύο χώροι $\displaystyle{\rm{Banach}}$ υπεράνω του $\displaystyle{\mathbb{R}}$

και $\displaystyle{T:E\longrightarrow F}$ ένας γραμμικός τελεστής.

Ορίζουμε απεικόνιση $\displaystyle{||\cdot||:E\longrightarrow \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{||x||=||x||_{E}+||T(x)||_{F}}$ .

Να δειχθεί ότι η απεικόνιση $\displaystyle{||\cdot||}$ είναι νόρμα στον $\displaystyle{\left(E,+,\cdot\right)}$ και ότι ο χώρος με νόρμα

$\displaystyle{\left(E,||\cdot||\right)}$ είναι χώρος $\displaystyle{\rm{Banach}}$ .

Επιτρέψτε μου να κάνω επαναφορά της Ασκησης 25 για κάποια σημεία που δεν έχω δώσει λύση πιο πάνω.

Υποθέτω ότι με τον όρο "τελεστής" εννοείς "συνεχής γραμμική απεικόνιση", αλλιώς το αποτέλεσμα δεν ισχύει. Τότε όμως η άσκηση είναι τετριμμένη διότι α) οι ιδιότητες της νόρμας για την ||.||

είναι άμεσες και η πληρότητά της επίσης άμεση διότι οι $||.||, \, ||.||_E$ είναι ισοδύναμες, όπως φαίνεται από τις ανισότητες

$\displaystyle{||x||_{E} \le ||x||=||x||_{E}+||T(x)||_{F}}\le (1+||T|| ) ||x||_E$

M.

BAGGP93 · #85

Συγγνώμη κύριε Μιχάλη, ξέχασα τη λέξη φραγμένος.

Ευχαριστούμε για την άμεση απάντηση.

Για το γεγονός ότι αυτή η απεικόνιση είναι όντως νόρμα, αρκεί απλά η γραμμικότητα.

#86

BAGGP93 έγραψε: Εδώ κόλλησα, πώς μπορώ να συνεχίσω. Έχω μόνο μια έγκλειση.

Είσαι σε σωστό δρόμο, απλά να ξεκαθαρίσεις στο μυαλό σου πιο είναι το αποδεικτέο.

Υπόδειξη: Ανοικτά σύνολα της τοπολογίας για αυτήν την (σταθερή) συνάρτηση είναι εξ ορισμού εκείνα τα υποσύνολα του

που περιέχουν το συγκεκριμένο στοιχείο x_o

(με εξαίρεση το κενό).

#87

BAGGP93 έγραψε: 5. Αν $\displaystyle{x_1\,,x_2\in X\,,x_1\neq x_2}$ ( $\displaystyle{|X|\geq 3}$ ) και $\displaystyle{f:X\longrightarrow X}$

με $\displaystyle{f(x)=\begin{cases} x\,\,\,\,\,\,\,\,,x\in X-\left\{x_1\,,x_2\right\}\\ x_1\,\,\,\,\,,x=x_2\\ x_2\,\,\,\,\,,x=x_1 \end{cases}$

να βρείτε την $\displaystyle{\mathbb{T}(f)}$ .

BAGGP93 έγραψε: 5. Για αυτήν την $\displaystyle{f}$ ισχύει $\displaystyle{f\circ f=Id_{X}}$ και τότε $\displaystyle{\mathbb{T}(f)\subseteq \mathbb{T}}$ .

Και εδώ δεν μπόρεσα να συνεχίσω. Κάποια υπόδειξη ;

Υπόδειξη: Η τοπολογία των ανοικτών για αυτή την

είναι τα στοιχεία της αρχικής που δεν περιέχουν κανένα από τα x_1,x_2

και εκείνα που περιέχουν και τα δύο.

Μ.

sokratis lyras · #88

Ασχολούμαι με μία εργασία αυτόν τον καιρό, και συνάντησα ένα πραγματικά πανέμορφο πρόβλημα:

ΑΣΚΗΣΗ 27

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τετράγωνο στο επίπεδο, του οποίου οι πλευρές-ευθείες είναι καθρέφτες (φανταστείτε τους 'ιδανικούς').

Από εσωτερικό σημείο του τετραγώνου, εκτοξεύεται μια ακτίνα φωτός η οποία ανακλάται συνεχώς λόγω των καθρεφτών,εσωτερικά του τετραγώνου.Να περιγραφεί η κίνηση της ακτίνας.

Υ.Γ. Το ερώτημα είναι πολύ 'φλου'.Για τυχόν διευκρινίσεις, ρωτήστε.

#89

sokratis lyras έγραψε:Ασχολούμαι με μία εργασία αυτόν τον καιρό, και συνάντησα ένα πραγματικά πανέμορφο πρόβλημα:

ΑΣΚΗΣΗ 27

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τετράγωνο στο επίπεδο, του οποίου οι πλευρές-ευθείες είναι καθρέφτες (φανταστείτε τους 'ιδανικούς').

Από εσωτερικό σημείο του τετραγώνου, εκτοξεύεται μια ακτίνα φωτός η οποία ανακλάται συνεχώς λόγω των καθρεφτών,εσωτερικά του τετραγώνου.Να περιγραφεί η κίνηση της ακτίνας.

Υ.Γ. Το ερώτημα είναι πολύ 'φλου'.Για τυχόν διευκρινίσεις, ρωτήστε.

Δεν γράφω απάντηση γιατί τυχαίνει και την γνωρίζω από παλαιότερα. Ας την χαρούν άλλοι. Όμως για μία παρεμφερή περίπτωση θέλω να παραπέμψω στο ιστορικό σχόλιο για τον Nicola Oresme που είχα γράψει κάποτε εδώ

BAGGP93 · #90

Έχω αποδείξει το εξής : $\displaystyle{\mathbb{T}(f)\subseteq \left\{\varnothing\right\}\cup\left\{A\subseteq X: x_0\in A\right\}=\mathbb{T}_{1}}$ .

Όμως,

$\displaystyle{\mathbb{T}(f)=\left\{A\subseteq X: f(A)\subseteq A^{0}\right\}=\left\{\varnothing\right\}\cup\left\{A\subseteq X: x_0\in A^{0}\subseteq A\right\}=\left\{\varnothing\right\}\cup\left\{A\subseteq X: \exists\,U(A)\in\mathbb{T}: x_0\in U(A)\subseteq A\right\}}$

Έστω λοιπόν, $\displaystyle{B\in\mathbb{T}_{1}}$ . Αν $\displaystyle{B=\varnothing}$ , τότε, $\displaystyle{B\in\mathbb{T}(f)}$ .

Υποθέτουμε τώρα ότι $\displaystyle{x_0\in B}$ . Τότε, $\displaystyle{f(B)=\left\{x_0\right\}\subseteq B}$ και αφού $\displaystyle{x_0\in f(B)}$

έχουμε : $\displaystyle{x_0\in int_{\mathbb{T}_{1}} f(B)=f(B)$ με $\displaystyle{\left(int_{\mathbb{T}_{1}}\,f(B)\right)^{0}\subseteq B^{0}\subseteq B}$

και $\displaystyle{\left(int_{\mathbb{T}_{1}} f(B)\right)^{0}\in\mathbb{T}}$ . Ώστε, $\displaystyle{B\in\mathbb{T}(f)}}$ .

#91

Ας συμπληρώσουμε την 26. Οι αλλαγές που κάνω είναι με κόκκινο. Το ζητούμενο είναι ένα μερικό αντίστροφο της αρχικής άσκησης. Αφορμή της είναι το σχόλιο στην παραπάνω λύση μου της 26.

Άσκηση 26Β

Έστωσαν $\displaystyle{\left(E,||\cdot||_{E}\right)\,,\left(F,||\cdot||_{F}\right)}$ δύο χώροι $\displaystyle{\rm{Banach}}$ υπεράνω του $\displaystyle{\mathbb{R}}$

και $\displaystyle{T:E\longrightarrow F}$ μία γραμμική αλλά όχι κατ' ανάγκη φραγμένη απεικόνιση.

Ορίζουμε απεικόνιση $\displaystyle{||\cdot||:E\longrightarrow \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{||x||=||x||_{E}+||T(x)||_{F}}$ η οποία εύκολα βλέπουμε ότι είναι νόρμα.

Να δειχθεί ότι αν ως προς την νόρμα αυτή ο χώρος $\displaystyle{\left(E,||\cdot||\right)}$ είναι χώρος $\displaystyle{\rm{Banach}}$ ,

τότε ο

είναι φραγμένος.

(Σχόλιο: Πρόκειται για εύκολη άσκηση που λύνεται σε δυο-τρεις γραμμές, όμως χρησιμοποιεί ένα από τα κλασικά, μεγάλα, θεωρήματα της Συναρτησιακής)

BAGGP93 · #92

Σύμφωνα με το θεώρημα Κλειστού Γραφήματος, αρκεί να αποδείξουμε ότι το γράφημα της $\displaystyle{T}$ ,

$\displaystyle{G(T)=\left\{\left(x,T(x)\right): x\in E\right\}\subseteq E\times F}$ , όπου ο $\displaystyle{\mathbb{R}}$

διανυσματικός χώρος $\displaystyle{E\times F}$ ( με πράξεις κατά συνιστώσα) είναι εφοδιασμένος με τη νόρμα

$\displaystyle{||\cdot||_{1}:E\times F\,,\left(x,y\right)\mapsto ||(x,y)||_{1}=||x||+||y||_{F}$ , και είναι χώρος

$\displaystyle{\rm{Banach}$ ως προς αυτή τη νόρμα. Όπως έδειξε, ο κύριος Μιχάλης, οι νόρμες $\displaystyle{||\cdot||_{E}\,,||\cdot||}$

είναι ισοδύναμες, οπότε, ό,τι συγκλίνει ως προς τη μια, συγκλίνει και ως προς την άλλη.

Ας είναι $\displaystyle{\left(\left(x_{n},T(x_{n})\right)\right)_{n\in\mathbb{N}}$ , ακολουθία του γραφήματος της

$\displaystyle{T}$ με $\displaystyle{\left(x_{n},T(x_{n})\right)\longrightarrow \left(x,y\right)}$ , δηλαδή

$\displaystyle{x_{n}\longrightarrow x}$ ως προς την $\displaystyle{||\cdot||}$ και $\displaystyle{T(x_{n})\longrightarrow y}$

ως προς την $\displaystyle{||\cdot||_{F}$ . Για κάθε $\displaystyle{n\in\mathbb{N}}$ ισχύει :

$\displaystyle{||T(x_{n})-T(x)||_{F}=||T(x_{n}-x)||_{F}=||x_{n}-x||-||x_{n}-x||_{E}}$ και οι δύο τελευταίες

συγκλίνουν προς το $\displaystyle{0}$ , οπότε : $\displaystyle{T(x_{n})\longrightarrow T(x)}$ και λόγω

μοναδικότητας του ορίου, $\displaystyle{y=T(x)}$ , που σημαίνει ότι $\displaystyle{\left(x,y\right)=\left(x,T(x)\right)\in G(T)}$ ,

όπως θέλαμε.

#93

BAGGP93 έγραψε: $\displaystyle{\rm{Banach}$ ως προς αυτή τη νόρμα. Όπως έδειξε, ο κύριος Μιχάλης, οι νόρμες $\displaystyle{||\cdot||_{E}\,,||\cdot||}$

είναι ισοδύναμες,

Βαγγέλη, μέσες άκρες σωστά αλλά στις λεπτομέρειες πρέπει να κάνεις κάποιες διορθώσεις. Για παράδειγμα το παραπάνω δεν είναι σωστό.

Αυτό που είχα δείξει είναι ότι οι νόρμες είναι ισοδύναμες στην περίπτωση που ο

είναι φραγμένος. Τώρα όμως, στην νέα εκδοχή, η υπόθεση αυτή έχει φύγει.

Μ.

BAGGP93 · #94

Ευχαριστώ κύριε Μιχάλη για την παρατήρηση. Μήπως αυτό διορθώνει τα πράγματα ;

$\displaystyle{\forall\,x\in E: ||x||_{E}=||x||-||T(x)||_{F}\leq ||x||}$ .

Υπάρχει ένα πόρισμα του Θεωρήματος Ανοικτής Απεικόνισης που αναφέρει τα παρακάτω.

Αν $\displaystyle{\left(E,+,\cdot\right)}$ είναι ένας $\displaystyle{\mathbb{R}}$ διανυσματικός χώρος, ο οποίος

είναι χώρος $\displaystyle{\rm{Banach}}$ ως προς τις νόρμες $\displaystyle{||\cdot||_{1}\,,||\cdot||_{2}}$

και υπάρχει $\displaystyle{c>0}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{||x||_{2}\leq c\,||x||_{1}\,,\forall\,x\in E}$ ,

τότε υπάρχει $\displaystyle{d>0}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{||x||_{1}\leq d\,||x||_{2}\,,\forall\,x\in E}$ .

#95

Βαγγέλη, σωστά αλλά πάει μακριά η βαλίτσα. Γράφω την λύση που είχα στον νου, η οποία είναι παρόμοια με την δική σου αλλά με κάποιες μικρολεπτομέρειες διαφορετικές.

Θα εργαστούμε με το Θεώρημα Κλειστού Γραφήματος, οπότε έστω $x_n\to x$ , δηλαδή $||x_n-x||_E\to 0$ , και $\displaystyle{||Tx_n-y||_F\to 0}$ . Τότε η (x_n)

είναι Cauchy ως προς την νέα νόρμα καθώς $||x_m-x_n|| = ||x_m-x_n||_E + ||Tx_m-Tx_n||_F\to 0$ .

Από πληρότητα ως προς την νέα νόρμα, υπάρχει

με $||x_n-p||_E + ||Tx_n-Tp||_F= ||x_n-p||\to 0$ .

Παίρνοντας όμως όριο στην προηγούμενη, καταλήγουμε ότι ||x-p||_E + ||y-Tp||_F=0

. Άρα
$x=p, \, y=Tp$ και άρα y=Tp=Tx

, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

BAGGP93 · #96

'Ασκηση 28

Ας δούμε και άλλη μια άσκηση Συναρτησιακής Ανάλυσης.

Έστωσαν $\displaystyle{\left(E,||\cdot||_{E}\right)\,,\left(F,||\cdot||_{F}\right)}$ δύο πραγματικοί χώροι $\displaystyle{\rm{Banach}}$

και $\displaystyle{D}$ ένας υπόχωρος του $\displaystyle{\left(E,+,\cdot\right)}$ . Αν $\displaystyle{A:D\longrightarrow F}$

είναι ένας κλειστός(βλέπε πιο κάτω) και γραμμικός τελεστής, τότε να αποδείξετε ότι ο

$\displaystyle{N(A)=\left\{x\in E: A(x)=\overline{0}_{F}\right\}}$ είναι κλειστός υπόχωρος του $\displaystyle{\left(E,+,\cdot\right)}$ .

Ορισμός : Ο $\displaystyle{A}$ λέγεται κλειστός, αν το γράφημα του $\displaystyle{G(A)=\left\{\left(x,A(x)\right)\in E\times F: x\in D\right\}$

είναι κλειστό στον $\displaystyle{\left(E\times F,||\cdot||\right)\,,||(x,y)||=||x||_{E}+||y||_{F}\,,\forall\,\left(x,y\right)\in E\times F}$ .

#97

BAGGP93 έγραψε:'Ασκηση 28

Ας δούμε και άλλη μια άσκηση Συναρτησιακής Ανάλυσης.

Έστωσαν $\displaystyle{\left(E,||\cdot||_{E}\right)\,,\left(F,||\cdot||_{F}\right)}$ δύο πραγματικοί χώροι $\displaystyle{\rm{Banach}}$

και $\displaystyle{D}$ ένας υπόχωρος του $\displaystyle{\left(E,+,\cdot\right)}$ . Αν $\displaystyle{A:D\longrightarrow F}$

είναι ένας κλειστός(βλέπε πιο κάτω) και γραμμικός τελεστής, τότε να αποδείξετε ότι ο

$\displaystyle{N(A)=\left\{x\in E: A(x)=\overline{0}_{F}\right\}}$ είναι κλειστός υπόχωρος του $\displaystyle{\left(E,+,\cdot\right)}$ .

Ορισμός : Ο $\displaystyle{A}$ λέγεται κλειστός, αν το γράφημα του $\displaystyle{G(A)=\left\{\left(x,A(x)\right)\in E\times F: x\in D\right\}$

είναι κλειστό στον $\displaystyle{\left(E\times F,||\cdot||\right)\,,||(x,y)||=||x||_{E}+||y||_{F}\,,\forall\,\left(x,y\right)\in E\times F}$ .

Βγαίνει από τους ορισμούς και μόνο, χωρίς ιδιαίτερα Μαθηματικά:

Αν $x_n\in N(A), x_n\to x$ τότε εξ ορισμού $Ax_n=0\to 0$ , οπότε $(x_n,Ax_n)\to (x,0)$ καθώς $||x_n-x||+||Ax_n-0|| \to 0$ . Και επειδή το G(A)

είναι κλειστό, έπεται εξ ορισμού $(x,0)\in G(A)$ , δηλαδή A(x)=0

που σημαίνει $x\in N(A)$ .

Tolaso J Kos · #98

Άσκηση 29

Δείξτε ότι το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων $\displaystyle{C[a,b]}$ υπό τη μετρική $\displaystyle{\rho(f,g)=\displaystyle{\sqrt{\int_a^b|f(t)-g(t)|^2 \;{\rm d}t}}}$ όπου $f, g \in C[a, b]$ δεν είναι πλήρες μετρικός χώρος.

Ελπίζω να μην έχω χάσει την αρίθμηση. Όσον αναφορά την άσκηση τη βρήκα ενδιαφέρουσα και με παίδεψε αρκετά μέχρι να βγάλω μία λύση της.

#99

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 29

Δείξτε ότι το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων $\displaystyle{C[a,b]}$ υπό τη μετρική $\displaystyle{\rho(f,g)=\displaystyle{\sqrt{\int_a^b|f(t)-g(t)|^2 \;{\rm d}t}}}$ όπου $f, g \in C[a, b]$ δεν είναι πλήρες μετρικός χώρος.

(πλήρης, όχι πλήρες)

Το στάνταρ παράδειγμα της γνωστής αυτής άσκησης είναι f_n(x)=0

στο $\left [0, \frac {1}{2} \right ]$ , f_n(x)=1

στο $\left [ \frac {1}{2} + \frac {1}{n}\,, 1\right ]$ και ευθεία που συνδέει το

με το

στο μικρό διαστηματάκι ενδιάμεσα.

Οι (f_n)

είναι Cauchy γιατί είναι φραγμένες και διαφέρουν μόνο σε διάστημα μήκους $\frac {1}{n}$ , αλλά δεν συγκλίνουν σε συνεχή συνάρτηση: Η μόνη υποψήφια για όριο συνάρτηση έχει f(x)=0

πριν το

και

μετά το

, αλλά είναι ασυνεχής στο 1/2

.

BAGGP93 · #100

Άσκηση 30

Μετά την ωραία άσκηση που έθεσε ο Τόλης, η οποία παρουσιάζει ενδιαφέρον και ως προς την απόδειξη του γεγονότος ότι, όντως, αυτή η απεικόνιση είναι μετρική,

θέτω άλλη μια όμορφη άσκηση Συναρτησιακής Ανάλυσης.

Θεωρούμε τον πραγματικό διανυσματικό χώρο των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων του $\displaystyle{\left[0,1\right]}$ , εφοδιασμένο με την

$\displaystyle{\rm{supremum}}$ νόρμα, $\displaystyle{\left(C\,(\left[0,1\right]),||\cdot||_{\infty}\right)}$ , και την απεικόνιση

$\displaystyle{T:C\,(\left[0,1\right])\longrightarrow C\,(\left[0,1\right])\,,f\mapsto T(f):\left[0,1\right]\longrightarrow \mathbb{R}\,,T(f)(t)=\int_{0}^{t}f(s)\,\mathrm{d}s$ .

Α. Να δείξετε ότι η $\displaystyle{T}$ είναι ένας γραμμικός, φραγμένος, και $\displaystyle{1-1}$ τελεστής.

Β. Να βρεθεί η $\displaystyle{T\,\left(C\,(\left[0,1\right])\right)\subseteq C\,(\left[0,1\right])}$ .

Γ. Είναι ο $\displaystyle{T^{-1}:T\,\left(C\,(\left[0,1\right])\right)\longrightarrow C\,(\left[0,1\right])$ φραγμένος ;

Δ. Βρείτε την $\displaystyle{||T||=\sup\,\left\{||T(f)||_{\infty}\in\mathbb{R}: f\in C\,(\left[0,1\right])\,,||f||_{\infty}\leq 1\right\}}$ .

Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μέλη σε σύνδεση