ΣΧΟΛΙΑ-ΠΡΟΒΛΗΑΜΤΙΣΜΟΙ - ΣΤΟΧΑΣΜΟΙ
Τη στιγμή που έχουμε φτάσει να διδάσκουμε στους μαθητές μας ασύλληπτα υπαρξιακά θέματα και μεθόδους ολοκλήρωσης σε τόσο ανεβασμένο επίπεδο, είναι αδιανόητο(ντροπή θα έλεγα για την ίδια την μαθηματικά κοινότητα) να συζητάμε για τόσο βασικά θέματα από την κλασική άλγεβρα ή την Ευκλείδεια Γεωμετρία.
Είναι καιρός να απελευθερωθούμε από την μανειώδη καταθλιπτική εξάρτηση από τα σχολικά βιβλία και να αφήσουμε το μάθημα των μαθηματικών να αναδείξει τη μαγεία του. Μην το κάνουμε σαν την Ιστορία και τη Λογοτεχνία που ο μαθητής πρέπει να έχει το σχολικό βιβλίο Ευαγγέλιο και όλα κρίνονται να από την στείρα αποστήθισή τους.Ας μην οδηγήσουμε λοιπόν το μάθημά μας εκεί που όλοι μας αντιπαθούμε και χλευάζουμε .
Τα μαθηματικά πρέπει να τα δούμε μόνο ως ικανότητα διατύπωσης λογικού επιχειρήματος και επίλυσης προβλημάτων. Αν τα βλέπουμε πρωταρχικά ως μέσο εξέτασης και ως αφορμή απώλειας μονάδων στις εξετάσεις , ειδικά αν γράψει κάτι εκτός βιβλίου, τότε καλύτερα να καταργηθούν από σχολικό μάθημα.Το λέω με πόνο, αλλά καλύτερα να γίνει έτσι, αν εμείς οι ίδιοι δεν έχουμε επίγνωση της μοναδικότητας και της τελειότητας του μαθήματος που διδάσκουμε .Να είστε σίγουροι ότι θα είναι πολύ εκείνοι που θα θυσιάσουν ευχαρίστως τον οβελό τους να μάθουν μαθηματικά, ανατρέχοντας σε διάφορες μεθόδους !
Με την ευκαιρία να επαναλάβω αλλά και να στείλλω σε όλους τους εξαίρετους συναδέλφους που υπηρετούν στα σχολεία της πατρίδας μας με πάθος και αυτοθυσία αυτό το μάθημα το εξής μήνυμα :
Ας στείλουμε επιτέλους στο διάβολο τις εξετάσεις , τις βαθμολογίες και μαζί τους τις άσκοπες απώλειες μονάδων και ας χαρούμε τα μαθηματικά. Να μάθουμε να τα διδάσκουμε σωστά και να δείξουμε στα παιδιά για ποιο λόγο εμείς απολαμβάνουμε να διδάσκουμε άλγεβρα, ανάλυση και γεωμετρία. Να τους δείξουμε πως όλα αυτά τα εξαιρετικά θεωρήματα που έχουν μια ιστορία 4000 χρόνων είναι αποτέλεσμα άπειρης προσπάθειας, πώς αυτά αποτελούν μια μεγάλη επιστημονική-τη μεγαλύτερη - κατάκτηση , όχι στο χώρο μόνο του ορθολογισμού αλλά της τέχνης και του πολιτισμού γενικότερα. Τα μαθηματικά είναι το μεγάλο καμάρι της ανθρωπότητας. Η έννοια της απόδειξης που αυτά πρώτα χάρισαν στους σκεπτόμενους ανθρώπους είναι μια μεγάλη ηθική κατάκτηση της ανθρωπότητας.
Την τεράστια σε σημασία αυτή δήλωση έκανε ο Τολστόϊ και όταν την ανέφερα πρόσφατα σε ένα τμήμα, ρώτησα τα παιδιά αν καταλαβαίνουν τι άραγε εννούσε ο μεγάλος αυτός διανοούμενος. Δεν περίμενα βέβαια από τα παιδιά να βρουν τον πυρήνα του αποφθέγματος, τη στιγμή που εγώ ο ίδιος δεν θα τον εύρισκα ούτε στα σαράντα μου.
Τα μαθηματικά λοιπόν είναι ηθική κατάκτηση διότι μισούν το ψέμα, την αυθαιρεσία και την απάτη.
Συγκινήθηκα όταν διαπίστωσα ότι μετά τον ολιγόλεπτο διάλογο τα παιδιά κατάλαβαν το νόημα και έδειξαν ενθουσιασμένα.
Λοιπόν, ας παραμερίσουμε όλες εκείνες, τις ελάχιστες περιπτώσεις , που κάποιος μαθητής θα προσπαθήσει σε ένα γραπτό να εξαπατήσει με κάποιο κόλπο τον βαθμολογητή του( κρίμα, γιατί κάποιος από μας τον μύησε σε αυτό) και ας χαρίσουμε απλόχερα στον τίμιο μαθητή το άριστα και το μπράβο σε κάθε ορθή λύση, όσο σύντομη και αν είναι, όσες μικροπαραλήψεις και να έχει. Πλήρης απόδειξη σε ένα γραπτό δεν υπάρχει, εκτός κι αν γυρίσουμε πίσω μέχρι τα αξιώματα και τις πρωταρχικές έννοιες !.
Ό,τι σωστό γράφει ο μαθητής, ας το δεχτούμε με μεγαλοψυχία αλλά και με αναγνώριση για τον κόπο του, είτε το ανακάλυψε ο ίδιος είτε το διδάχτηκε σε κάποις αίθουσα, φροντιστηριακή ή σχολική !
Μόνο αν αντιμετωπίσουμε το γραπτό με αυτό το πρίσμα θα απελευθερωθούμε οι ίδιοι από την αγωνία της καλής και δίκαιης διόρθωσης και συγχρόνως θα δώσουμε φτερά στη σκέψη των παιδιών να προσπαθήσουν, να παλέψουν και να επινοήσουν λύσεις την ώρα της εξέτασης αλλά και σε άλλη ευκαιρία, χωρίς να έχουν το άγχος(αλλά και την κρυφή απογοήτευση για τους δασκάλους τους) ότι θα χάσουν μονάδες από την παράλειψη άσκοπων αιτιολογήσεων ή τη χρήση σκέψεων και παρατήρησεων που εμείς οι ίδιοι διδάσκουμε με κατάθεση ψυχής, αψηφώντας τις δυσκολίες της ζωής και τον οικονομικό μαρασμό στον οποίο έχουμε περιέλθει.
Ελπίζω ότι σιγά -σιγά, ειδικά αν δημιουργηθεί σώμα βαθμολογητών , στο οποίο θα ακούγονται όλες οι απόψεις και θα γνωριστούν καλά μεταξύ τους οι καθηγητές ,σε συνδυασμό με την δημιουργία ενός εθνικού φορέα εξετάσεων, όπου ο θεματοδότης θα ελέγχεται αλλά και θα λογοδοτεί , θα εξαλειφθεί ο τρόμος για την απώλεια μονάδων από το τίποτα, που δεν ξέρω τελικά από ποιους καλλιεργείται και για ποιον λόγο !
Μόνο τότε θα διδάσκουμε ελεύθερα καλά μαθηματικά και με τον σωστό τρόπο, κάτι που χαρίζει ικανοποίηση,ψυχαγωγία, ευχαρίστηση , γνώση και καταξίωση, τόσο σε μας όσο και στους μαθητές μας.
Μπάμπης
(Η ώρα πέρασε, το μήνυμα τελείωσε, νόμιζα πως ήθελα να πω και κάτι άλλο !)
,δε μπορεί να χρησιμοποιήσει απευθείας την ισοδυναμία 
για τους πραγματικούς 
,αλλά θα πρέπει να διακρίνει περιπτώσεις για το πρόσημο των 
,αν η 
είναι γνησίως αύξουσα, η οποία έχει συζητηθεί πολλάκις, αλλά στο αν μπορεί ένας μαθητής να χρησιμοποιήσει τη σχέση 
χωρίς να διακρίνει περιπτώσεις για το πρόσημο των 
έστω και σαν εφαρμογή στην Α Λυκείου(κεφάλαιο 7.1).
