Πρόχειρα Μαθηματικά!

Γιώργος Απόκης · #1

$\displaystyle{1+2+3+4+...=-\frac{1}{12}}$

Εδώ

#2

Γιώργος Απόκης έγραψε: $\displaystyle{1+2+3+4+...=-\frac{1}{12}}$

Εδώ

Φοβερό!!!

Christos.N · #3

Η χρησιμότητα των σειρών που δεν συγκλίνουν, Γιώργο ευχαριστώ.

parmenides51 · #4

για περισσότερα σχόλια δείτε κι εδώ

kbatsos · #5

Καλησπέρα σας,
είδα το παρακάτω βίντεο και μου έκανε τρομερή εντύπωση http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZ ... e=youtu.be και όλα ξεκινούν από ένα άθροισμα γνωστό ως Grandi's series, θα ήθελα αν μπορούσε κάποιος να με παραπέμψει σε σχετική βιβλιογραφία ή να εξηγήσει περιληπτικά αυτή την απόδειξη.

Ευχαριστώ.

Γιώργος Απόκης · #6

kbatsos έγραψε:Καλησπέρα σας,
είδα το παρακάτω βίντεο και μου έκανε τρομερή εντύπωση http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZ ... e=youtu.be και όλα ξεκινούν από ένα άθροισμα γνωστό ως Grandi's series, θα ήθελα αν μπορούσε κάποιος να με παραπέμψει σε σχετική βιβλιογραφία ή να εξηγήσει περιληπτικά αυτή την απόδειξη.

Ευχαριστώ.

Kαλησπέρα. Το βίντεο που αναφέρεις είναι το βίντεο στην αρχή της δημοσίευσης. Η "απόδειξη" που γίνεται είναι προφανώς λάθος, γιατί

(όπως ανέφερε κι ο Χρήστος παραπάνω) η σειρά δεν συγκλίνει, άρα δεν μπορούμε να χειριζόμαστε τα αθροίσματα που προκύπτουν σαν

να ήταν πραγματικοί αριθμοί.

Κάτι παρόμοιο (έχει συζητηθεί) που καταλήγει σε παράδοξο (και φυσικά λάθος) αποτέλεσμα είναι :

Να δείξετε ότι : $\displaystyle{1+2+4+8+...=-1}$ (το άθροισμα όλων των δυνάμεων του $\displaystyle{2}$ με εκθέτη φυσικό ισούται με $\displaystyle{-1}$ )

"Aπόδειξη"

Έστω $\displaystyle{S=1+2+4+8+...}$ Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη με το $\displaystyle{2}$ , άρα έχουμε

$\displaystyle{2S=2+4+8+16+...}$ Αφαιρούμε κατά μέλη και προκύπτει

$\displaystyle{2S-S=-1+(2-2)+(4-4)+(8-8)+...\Rightarrow S=-1}$

Για τη σειρά Grandi δες εδώ

ΛΕΩΝΙΔΑΣ · #7

Να υποθέσω ότι και η παρακάτω απόδειξη είναι λάθος;

http://www.youtube.com/watch?v=E-d9mgo8 ... e=youtu.be

Μάκης Χατζόπουλος · #8

ΛΕΩΝΙΔΑΣ έγραψε:Να υποθέσω ότι και η παρακάτω απόδειξη είναι λάθος;

http://www.youtube.com/watch?v=E-d9mgo8 ... e=youtu.be

_____________________________________________________________________________________________________________________________________
Λεωνίδα δεν είχα την υπομονή να το παρακολουθήσω όλο το βίντεο των 20 λεπτών, αφού από την αρχή διαφωνώ.

Θα σου υποδείξω με απλές γνώσεις (δεν γνωρίζω σε ποια τάξη βρίσκεσαι) που σφάλει ο κύριος... (για γνώσεις από το σχολικό βιβλίο της Β΄ Λυκείου δες εδώ)
____________________________________________________________________________________________________________________________________

1) Γνωρίζουμε ότι $1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{v}=\frac{x^{v+1}-1}{x-1}$ (λόγω ταυτότητας ή ως άθροισμα v+1

όρων γεωμετρικής προόδου)

2) Αν $\left|x \right|<1$ το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου για πολύ μεγάλες τιμές του v (απείρων όρων) ισούται με

$1+x+x^{2}+x^{3}+...=\frac{1}{1-x}$ (1)

3) Άρα ο τύπος (1)

που ισχυρίζεται ο κυριούλης ότι ισχύει από την αρχή είναι σωστό ΜΟΝΟ για $\left|x \right|<1$ και όχι για x<1

όπως υποστηρίζει

4) Όμως πιο κάτω αντικαθιστά όπου x=-1

, από εκείνο το σημείο και μετά ότι γράφει είναι άκυρο...

kbatsos · #9

Ευχαριστώ πολύ για τις διευκρινίσεις.

Αριστοφάνης · #10

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:
ΛΕΩΝΙΔΑΣ έγραψε:Να υποθέσω ότι και η παρακάτω απόδειξη είναι λάθος;

http://www.youtube.com/watch?v=E-d9mgo8 ... e=youtu.be
_____________________________________________________________________________________________________________________________________
Λεωνίδα δεν είχα την υπομονή να το παρακολουθήσω όλο το βίντεο των 20 λεπτών, αφού από την αρχή διαφωνώ.

Θα σου υποδείξω με απλές γνώσεις (δεν γνωρίζω σε ποια τάξη βρίσκεσαι) που σφάλει ο κύριος... (για γνώσεις από το σχολικό βιβλίο της Β΄ Λυκείου δες εδώ)
____________________________________________________________________________________________________________________________________

1) Γνωρίζουμε ότι $1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{v}=\frac{x^{v+1}-1}{x-1}$ (λόγω ταυτότητας ή ως άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου)

2) Αν $\left|x \right|<1$ το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου για πολύ μεγάλες τιμές του v (απείρων όρων) ισούται με

$1+x+x^{2}+x^{3}+...=\frac{1}{1-x}$

3) Άρα ο τύπος που ισχυρίζεται ο κυριούλης ότι ισχύει από την αρχή είναι σωστό ΜΟΝΟ για $\left|x \right|<1$ και όχι για όπως υποστηρίζει

4) Όμως πιο κάτω αντικαθιστά όπου , από εκείνο το σημείο και μετά ότι γράφει είναι άκυρο...

Παρακολούθησα το βίντεο στο youtube https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww και αναφέρει πριν κάνει την απόδειξη, ότι 1+2+3+4+5+6+7+....=-1/12 αναφέρει ότι χρησιμοποιείται ως τύπος στο βιβλίο Φυσικής: String Theory του Joseph Polchinski, άρα μάλλο είναι σωστός σαν τύπος...Περιμένω τις απόψεις σας!!!

Γιώργος Απόκης · #11

Αριστοφάνης έγραψε:
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:
ΛΕΩΝΙΔΑΣ έγραψε:Να υποθέσω ότι και η παρακάτω απόδειξη είναι λάθος;

http://www.youtube.com/watch?v=E-d9mgo8 ... e=youtu.be
_____________________________________________________________________________________________________________________________________
Λεωνίδα δεν είχα την υπομονή να το παρακολουθήσω όλο το βίντεο των 20 λεπτών, αφού από την αρχή διαφωνώ.

Θα σου υποδείξω με απλές γνώσεις (δεν γνωρίζω σε ποια τάξη βρίσκεσαι) που σφάλει ο κύριος... (για γνώσεις από το σχολικό βιβλίο της Β΄ Λυκείου δες εδώ)
____________________________________________________________________________________________________________________________________

1) Γνωρίζουμε ότι $1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{v}=\frac{x^{v+1}-1}{x-1}$ (λόγω ταυτότητας ή ως άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου)

2) Αν $\left|x \right|<1$ το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου για πολύ μεγάλες τιμές του v (απείρων όρων) ισούται με

$1+x+x^{2}+x^{3}+...=\frac{1}{1-x}$

3) Άρα ο τύπος που ισχυρίζεται ο κυριούλης ότι ισχύει από την αρχή είναι σωστό ΜΟΝΟ για $\left|x \right|<1$ και όχι για όπως υποστηρίζει

4) Όμως πιο κάτω αντικαθιστά όπου , από εκείνο το σημείο και μετά ότι γράφει είναι άκυρο...
Παρακολούθησα το βίντεο στο youtube https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww και αναφέρει πριν κάνει την απόδειξη, ότι 1+2+3+4+5+6+7+....=-1/12 αναφέρει ότι χρησιμοποιείται ως τύπος στο βιβλίο Φυσικής: String Theory του Joseph Polchinski, άρα μάλλον είναι σωστός σαν τύπος...Περιμένω τις απόψεις σας!!!

Δεν είμαι φυσικός για να ξέρω πως συνδέεται το άθροισμα αυτό με θεωρία της Φυσικής αλλά με απλά λόγια :

ΔΕΝ είναι δυνατόν ένα άθροισμα θετικών αριθμών να είναι αρνητικό!

Αρχιμήδης 6 · #12

Γιώργος Απόκης έγραψε: $\displaystyle{1+2+3+4+...=-\frac{1}{12}}$

Εδώ

To video το είδα.

Καταλήγει στην απόδειξη αυτή επειδή θεώρησε ο ίδιος δεδομένο ότι αν S_1=1-1+1-1+1-1...

τότε $S_1=\dfrac{1}{2}$ προφανώς το άθροισμα παίρνει μόνο 2 τιμές τις 0,1

και (υποθέτω) για να μην αδικήσει κάποιον από τους

επέλεξε την μέση τιμή τους. Είναι τουλάχιστον δίκαιος...

Πρόχειρα Μαθηματικά!

Πρόχειρα Μαθηματικά!

Re: Πρόχειρα Μαθηματικά!

Re: Πρόχειρα Μαθηματικά!

Re: Πρόχειρα Μαθηματικά!

Grandi's series

Re: Grandi's series

Re: Πρόχειρα Μαθηματικά!

Re: Πρόχειρα Μαθηματικά!

Re: Πρόχειρα Μαθηματικά!

Re: Πρόχειρα Μαθηματικά!

Re: Πρόχειρα Μαθηματικά!

Re: Πρόχειρα Μαθηματικά!

Μέλη σε σύνδεση