Άσκηση 29 από την προσφορά του Μιχάλη Νάννου

#1

Ας δούμε την άσκηση 29 του φίλου του Μιχάλη.

: Mike_29_ekfonisi.png (24.56 KiB) Προβλήθηκε 2009 φορές

Πρώτα η κατασκευή του σχήματος.

: Mike_29.png (22.05 KiB) Προβλήθηκε 2009 φορές

Έστω ευθύγραμμο τμήμα

.κατασκευάζω τετράγωνο ZBHP

και γράφω ημικύκλιο με κέντρο το

και ακτίνα

, που τέμνει την ευθεία

στα

με το

ανάμεσα

στα A,B

. Κατασκευάζω και νέο τετράγωνο ABCD

στο ίδιο ημιεπίπεδο με το προηγούμενο και γράφω τον περιγεγραμμένο του κύκλο ${K_1}$

Φέρνω την ευθεία

που τέμνει τον κύκλο αυτό στο

.

Τα τρίγωνα $BAC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,BZH$ είναι ισοσκελή ορθογώνια . Αφού δε $AZ = ZH = HC = ZB\sqrt 2$ το τετράπλευρο AZHC

είναι ισοσκελές τραπέζιο και άρα $\widehat \xi = \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ .

Επειδή όμως $\widehat {{\theta _1}} + \widehat {{\theta _2}} = {45^0} \Rightarrow \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = {22,5^0}$ . Αφού τώρα $\widehat x = \widehat {{\theta _2}}$ γιατί βαίνουν στο ίδιο τόξο , θα είναι : $\boxed{\widehat x = {{22,5}^0}}$ .

Φιλικά Νίκος

Paolos · #2

Ονομάζουμε $\displaystyle{a = ZB}$ . Τότε $\displaystyle{AB = \alpha (\sqrt 2 + 1).}$

Φέρνουμε την $\displaystyle{{\rm A}\Gamma }$ . Τότε $\displaystyle{{\rm A}\mathop \Gamma \limits^\Lambda {\rm Z} = {\rm Z}\mathop {\rm B}\limits^\Lambda {\rm E} = x}$ , ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο.

Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma :}$

$\displaystyle{{\rm A}{\Gamma ^2} = 2{\rm A}{{\rm B}^2} = 2{\alpha ^2}{(\sqrt 2 + 1)^2} \Rightarrow {\rm A}\Gamma = \alpha (2 + \sqrt 2 ).}$

Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $\displaystyle{\Gamma {\rm Z}{\rm B}:}$

$\displaystyle{\Gamma {{\rm Z}^2} = {\rm B}{\Gamma ^2} + {\rm Z}{{\rm B}^2} = {\rm A}{{\rm B}^2} + {\rm Z}{{\rm B}^2} = 2{\alpha ^2}(2 + \sqrt 2 ) \Rightarrow \Gamma {\rm Z} = \alpha \sqrt 2 \sqrt {2 + \sqrt 2 } .}$

Νόμος συνημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}\Gamma {\rm Z}:}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \chi = \frac{{{\rm A}{\Gamma ^2} + {\rm Z}{\Gamma ^2} - {\rm A}{{\rm Z}^2}}}{{2 \cdot {\rm A}\Gamma \cdot {\rm Z}\Gamma }} = ... = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}.}$

Οπότε
$\displaystyle{\eta \mu \chi = \sqrt {1 - \sigma \upsilon {\nu ^2}\chi } = \sqrt {1 - \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}.}$
Τελικά
$\displaystyle{\eta \mu 2\chi = 2\eta \mu \chi \sigma \upsilon \nu \chi = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow 2\chi = {45^0} \Rightarrow \chi = {22,5^0}.}$

Συγχαρητήρια και δημοσίως στο Μιχάλη για το πολύτιμο αρχείο.

#3

Και με προσεχώς νόμιμη (;) Τριγωνομετρία...

: 14-08-2014 Γεωμετρία b.jpg (13.48 KiB) Προβλήθηκε 1871 φορές

Έστω

, οπότε $\displaystyle AZ + BZ = 1 \Leftrightarrow BZ\left( {\sqrt 2 + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow BZ = \sqrt 2 - 1$

Είναι $\displaystyle \widehat {ACE} = x$ ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο.

Έστω $\displaystyle t = \widehat {BCZ}$ οπότε $\displaystyle \varepsilon \varphi t = \sqrt 2 - 1$ , δηλαδή $\displaystyle t = 22,5^\circ \Rightarrow x = 90^\circ - 45^\circ - 22,5^\circ = 22,5^\circ$

ΣΧΟΛΙΟ: Το ότι $\displaystyle \varepsilon \varphi 22,5^\circ = \sqrt 2 - 1$ προκύπτει εύκολα είτε από τους τύπους του διπλασίου τόξου (εντός (;) ύλης φέτος) είτε και γεωμετρικά:

: 14-08-2014 Γεωμετρία c.jpg (6.24 KiB) Προβλήθηκε 1871 φορές

Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κάθετες πλευρές AB=AC=1

είναι $\displaystyle BC = \sqrt 2$ και από θεώρημα διχοτόμων $\displaystyle AD = \frac{{AB \cdot AB}}{{AC + BC}} = \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}} = \sqrt 2 - 1$ , άρα $\displaystyle \varepsilon \varphi 22,5^\circ = \sqrt 2 - 1$

p_gianno · #4

Αν a η πλευρά του τετραγώνου τότε $AC=a \sqrt{2}$

Είναι τότε $\displaystyle \frac{CA}{CB} =\frac{a\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}=\frac{AZ}{BZ}$

Συνεπώς από αντίστροφο Θ.Εσωτερικής Διχοτόμου προκύπτει ότι

διχοτόμος της γων ACB

συνεπώς

$\displaystyle ACZ=45^0:2=22,5^0=\frac{1}{2}\tau o \xi AE=x$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Χρόνια πολλά σε όλους.

Έστω $\displaystyle{\alpha }$ η πλευρά του τετραγώνου. Από $\displaystyle{AZ + ZB = \alpha ,AZ = \sqrt 2 ZB \Rightarrow \boxed{ZB = \alpha \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}$ .Ακόμη, $\displaystyle{\angle ACE = \angle ABE = x}$
$\displaystyle{AE \cap CB = T}$ .Τότε, $\displaystyle{ZBTE}$ εγγράψιμο κι επειδή $\displaystyle{ACBE}$ εγγράψιμο $\displaystyle{ \Rightarrow \angle ACB = \angle BET = \angle TZB = {45^0} \Rightarrow ZB = BT = \alpha \left( {\sqrt 2 - 1} \right) \Rightarrow CT = \alpha \left( {\sqrt 2 - 1} \right) + \alpha \Rightarrow \boxed{CT = CA = \alpha \sqrt 2 }}$ κι έτσι το ύψος $\displaystyle{CE}$ είναι και διχοτόμος.Άρα $\displaystyle{2x = {45^0} \Rightarrow \boxed{x = {{22.5}^0}}}$

Paolos · #6

Καλημέρα σε όλους.

Μια ελαφρώς τροποποιημένη λύση από αυτή που έδωσα παραπάνω.

Φέρνω $\displaystyle{{\rm A}\Gamma ,{\rm O}{\rm E}.}$ . Τότε $\displaystyle{{\rm A}{\rm E} \bot \Gamma {\rm E},}$ , διότι η γωνία $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}\Gamma }$ είναι εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο.
Επίσης $\displaystyle{{\rm A}\mathop {\rm O}\limits^\Lambda {\rm E} = 2{\rm A}\mathop \Gamma \limits^\Lambda {\rm E} = 2x}$ (σχέση επίκεντρης-εγγεγραμμένης γωνίας).

Αν $\displaystyle{{\rm Z}{\rm B} = \alpha \Rightarrow {\rm A}{\rm Z} = \alpha \sqrt 2 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,{\rm A}{\rm B} = \alpha (\sqrt 2 + 1).}$

Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma :}$

$\displaystyle{{\rm A}{\Gamma ^2} = 2{\rm A}{{\rm B}^2} = 2{\alpha ^2}{(\sqrt 2 + 1)^2} \Rightarrow {\rm A}\Gamma = \alpha (2 + \sqrt 2 ).}$

Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $\displaystyle{\Gamma {\rm Z}{\rm B}:}$
$\displaystyle{\Gamma {{\rm Z}^2} = {\rm B}{\Gamma ^2} + {\rm Z}{{\rm B}^2} = {\rm A}{{\rm B}^2} + {\rm Z}{{\rm B}^2} = 2{\alpha ^2}(2 + \sqrt 2 ) \Rightarrow \Gamma {\rm Z} = \alpha \sqrt 2 \sqrt {2 + \sqrt 2 } .}$

Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}{\rm Z}:}$

$\displaystyle{A{E^2} = {\rm Z}{{\rm A}^2} - {\rm Z}{{\rm E}^2} = 2{\alpha ^2} - \frac{{{\alpha ^2}}}{{2 + \sqrt 2 }} = \frac{{3{\alpha ^2} + 2{\alpha ^2}\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }} \Rightarrow {\rm A}{\rm E} = \frac{{\alpha \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}.}$

Νόμος συνημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm O}{\rm E}}$ :

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 2x = \frac{{{\rm O}{{\rm A}^2} + {\rm O}{{\rm E}^2} - {\rm A}{{\rm E}^2}}}{{2 \cdot {\rm O}{\rm A} \cdot {\rm O}{\rm E}}} = \frac{{\frac{{{a^2}{{(2 + \sqrt 2 )}^2}}}{2} - \frac{{{a^2}(3 + 2\sqrt 2 )}}{{2 + \sqrt 2 }}}}{{\frac{{{a^2}{{(2 + \sqrt 2 )}^2}}}{2}}} = ... = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow 2x = {45^o} \Rightarrow x = {22,5^o}.}$

Άσκηση 29 από την προσφορά του Μιχάλη Νάννου

Άσκηση 29 από την προσφορά του Μιχάλη Νάννου

Re: Άσκηση 29 από την προσφορά του Μιχάλη Νάννου

Re: Άσκηση 29 από την προσφορά του Μιχάλη Νάννου

Re: Άσκηση 29 από την προσφορά του Μιχάλη Νάννου

Re: Άσκηση 29 από την προσφορά του Μιχάλη Νάννου

Re: Άσκηση 29 από την προσφορά του Μιχάλη Νάννου

Μέλη σε σύνδεση