Ελάχιστο με λογάριθμους

Broly · #1

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\log_{x_1}(x_2-\frac{1}{4})+\log_{x_2}(x_3-\frac{1}{4})+...+\log_{x_n}(x_1-\frac{1}{4})$ , για όλα τα $x_1,x_2,...,x_n \in (\frac{1}{4},1)$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Broly · #2

Επαναφορά.

#3

Παρατηρούμε ότι για κάθε $\displaystyle{k \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}}$ ισχύει

$\displaystyle{{\left( {{x_k} - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow x_k^2 - {x_k} + \frac{1}{4} \ge 0 \Rightarrow x_k^2 \ge {x_k} - \frac{1}{4},}$

και άρα, αφού $\displaystyle{{x_k} \in \left( {0,1} \right),}$ θα είναι

$\displaystyle{{\log _{{x_k}}}\left( {x_{k + 1}^2} \right) \le {\log _{{x_k}}}\left( {{x_{k + 1}} - \frac{1}{4}} \right)}$

(όπου $\displaystyle{{{x_{n + 1}}: = {x_1}}}$ ).

Επομένως, θα είναι

$\displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\log }_{{x_k}}}\left( {{x_{k + 1}} - \frac{1}{4}} \right) \ge \sum\limits_{k = 1}^n {{{\log }_{{x_k}}}\left( {x_{k + 1}^2} \right)} } = 2\sum\limits_{k = 1}^n {{{\log }_{{x_k}}}\left( {{x_{k + 1}}} \right)} .}$

Αλλά από τον τύπο αλλαγής βάσης και την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου προκύπτει ότι

$\displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\log }_{{x_k}}}\left( {{x_{k + 1}}} \right)} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\ln {x_{k + 1}}}}{{\ln {x_k}}}} \ge n\sqrt[n]{{\prod\limits_{k = 1}^n {\frac{{\ln {x_{k + 1}}}}{{\ln {x_k}}}} }} = n,}$

οπότε

$\displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\log }_{{x_k}}}\left( {{x_{k + 1}} - \frac{1}{4}} \right) \ge 2n} }$

και άρα η ζητούμενη ελάχιστη τιμή είναι ίση με

, και λαμβάνεται αν και μόνο αν $\displaystyle{{{x_k} = \frac{1}{2}}}$ για κάθε $\displaystyle{k \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}.}$

Ελάχιστο με λογάριθμους

Ελάχιστο με λογάριθμους

Re: Ελάχιστο με λογάριθμους

Re: Ελάχιστο με λογάριθμους

Μέλη σε σύνδεση