τελευταία 007: τρια τόξα 60 μοιρών + ισόπλευρο τρίγωνο

parmenides51 · #1

Συνεχίζοντας από εδώ ..

Η άσκηση είναι γνωστή στο

αλλά περιέχει βοηθητικά ερωτήματα , ας την προσπαθήσει όποιος δεν την έχει δει ...
Ειδάλλως, αν ένα μήνα μετά παραμείνει άλυτη, θα δώσω τις σχετικές παραπομπές.

Δίνεται κύκλος $\displaystyle{ (O)}$ και πάνω σε αυτόν παίρνουμε τα τόξα $\displaystyle{AB,CD,EZ}$ της ίδιας φοράς και το καθένα ίσο με $\displaystyle{60^o}$ .
Ας είναι $\displaystyle{H,T,K }$ τα μέσα των χορδών $\displaystyle{BC, DE,ZA}$ αντίστοιχα και $\displaystyle{A_1,D_1 }$ τα μέσα των ακτίνων $\displaystyle{OA,OD }$ αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε οτι το τρίγωνο $\displaystyle{HD_1A_1}$ είναι ισόπλευρο και οτι οι ευθείες $\displaystyle{TD_1}$ και $\displaystyle{ KA_1}$ τέμνονται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του $\displaystyle{HD_1A_1}$ .
β) Να αποδείξετε οτι τα τρίγωνα $\displaystyle{HD_1T }$ και $\displaystyle{HA_1K}$ είναι ίσα και οτι το τρίγωνο $\displaystyle{HTK}$ είναι ισόπλευρο.

: last 007.png (87.13 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές

Υ.Γ. Είναι άλυτη στο συγκεκριμένο βιβλίο, η πηγή θα δοθεί μετά την λύση

ΛΕΩΝΙΔΑΣ · #2

α) $A_1D_1\parallel AD\parallel BC$ και αφού $OH\perp BC$ είναι $OH\perp A_1D_1$ .

Επιπλέον αφού $\triangle A_1OD_1$ ισοσκελές,

μεσο $\perp A_1D_1$ άρα HA_1=HD_1

.

Αρκεί άρα $\angle A_1HD_1=60^o$ , όμως από το ισόπλευρο $\triange ABO, BA_1\perp AO$ δηλ. BA_1OH

εγγράψιμο. Αυτό σημαίνει ότι $\angle BHA_1=\angle AOB=60^o$ δηλ.

$\angle A_1HO=30^o \Leftrightarrow \angle A_1HD_1=60^o \Leftrightarrow \triangle A_1HD_1$ ισόπλευρο.

Ακόμα είναι $KA_1\parallel OZ$ και $TD_1\parallel OE$ δηλ. η γωνία που σχηματίζουν οι δύο ευθείες είναι ίση με $\angle ZOE=60^o=\angle A_1HD_1$
άρα όντως το σημείο τομής τους βρίσκεται στον ζητούμενο κύκλο.

β) Προφανώς αρκεί

$\angle HA_1K=\angle HD_1T \Leftrightarrow 180^o-\angle A_1OZ +60^o +\angle OA_1D_1=120^o -\angle OD_1A_1+\angle D_1OT \Leftrightarrow 120^o +\angle OA_1D_1+\angle OD_1A_1=\angle D_1OT+\angle A_1OZ \Leftrightarrow 300^o=\angle D_1OT+\angle A_1OZ+\angle A_1OD_1$
που ισχύει.

Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα απ'όπου KH=HT

και $\angle KHA_1=THD_1 \Leftrightarrow \angle KHT=\angle A_1HD_1=60^o$ και έχουμε το ζητούμενο.

parmenides51 · #3

Η άσκηση είναι η 305 (τελευταία στο κεφάλαιο 7 από τα 8) από το βιβλίο του Στράτη Παπαδόπουλου
Γεωμετρία, μέρος Α, τόμος δεύτερος
Ιδιότητες Θέσεως Επιπεδομετρίας Ευκλείδειου χώρου
έχει 295 σελίδες κι εκδόθηκε το 1976 στην Αθήνα, εκδόσεις δεν αναφέρονται κάπου

Δεν είναι η τελευταία του βιβλίου, γιατί η τελευταία του όπως ανακάλυψα εκ των υστέρων ήταν θέμα εξετάσεων,
και την είχα προτείνει χωρίς να το ξέρω τότε εδώ (τελευταία 003)

προσεχώς θα συγκεντρώσω όσες άλλες λύσεις της έχουμε (το τελευταίο ερώτημα) στο

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:προσεχώς θα συγκεντρώσω όσες άλλες λύσεις της έχουμε (το τελευταίο ερώτημα) στο

άλλες λύσεις εδώ κι εδώ (με συνημμένες λύσεις από το περιοδικό Απολλώνιος)

η γενίκευση της (με συνημμένες λύσεις από το περιοδικό Απολλώνιος) βρίσκεται εδώ
(ήταν η πρώτη άσκηση του μέγιστου Στάθη)

ξαναπροτάθηκε χωρίς νέες λύσεις εδώ κι εδώ

τελευταία 007: τρια τόξα 60 μοιρών + ισόπλευρο τρίγωνο

τελευταία 007: τρια τόξα 60 μοιρών + ισόπλευρο τρίγωνο

Re: τελευταία 007: τρια τόξα 60 μοιρών + ισόπλευρο τρίγωνο

Re: τελευταία 007: τρια τόξα 60 μοιρών + ισόπλευρο τρίγωνο

Re: τελευταία 007: τρια τόξα 60 μοιρών + ισόπλευρο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση