Όμορφη σε παραγώγους!

math246 · #1

Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το R!Αν g(1)=eg(0) ώστε να ισχύει f(g(x))=x για κάθε χ να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ : f ΄(ξ)=1/ξ.
Πρόκειται για πανέμορφη άσκηση!Όποιος μπορεί ας την γράψει σε latex!Πιστεύω αξίζει να συζητηθεί!

#2

Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g

με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το

.
Αν

ώστε να ισχύει f(g(x))=x

για κάθε

να δείξετε ότι υπάρχει
ένα τουλάχιστον $\xi$ : $f'(\xi)=\frac{1}{\xi}$ .

#3

math246 έγραψε:Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ !Αν ώστε να ισχύει για κάθε να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (0,1) : f ΄(\xi)=1/\xi.$
Πρόκειται για πανέμορφη άσκηση!Όποιος μπορεί ας την γράψει σε latex!Πιστεύω αξίζει να συζητηθεί!

Καλησπέρα. Σου είναι εύκολο να διαβάσεις τα προσωπικά σου μηνύματα.
Είναι εξαιρετικά ακατανόητο γιατί δεν καταλαβαίνετε γενικότερα πως ΠΡΕΠΕΙ να γράφετε τα μαθηματικά σε Latex.
Αν δε γνωρίζετε καλύτερα να μη γράφετε όπως να ' ναι.
Γιατί πρέπει να το λέμε πάντα αυτό; Τι δεν είναι κατανοητό;

math246 · #4

Η συνθήκη που αντιγράφηκε δε είναι δύναμη αλλά γινόμενο!
Eιδα το προσωπικό μήνυμα και νομίζω ότι η απάντηση μου να σας κάλυψε!Πολλές φορές είναι προτιμότερο να γράφουμε ότι να ναι από το να εκφραζόμαστε όπως να ναι!Καλή χρονιά και από εδώ με την υπόσχεση πως δε θα ξανασυμβεί!

nikoszan · #5

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ
... $f\left( {g\left( x \right)} \right) = x:\left( 1 \right)$
... $\left( 1 \right) \Rightarrow {\left[ {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right]^\prime } = {\left( x \right)^\prime } \Rightarrow f'\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right) = 1:\left( 2 \right)$
Θεωρούμε την συνάρτηση $h\left( x \right) = g\left( x \right){e^{ - x}}$ $x \in R$ , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο

με $h'\left( x \right) = {\left( {g\left( x \right){e^{ - x}}} \right)^\prime } = \left( {g'\left( x \right) - g\left( x \right)} \right){e^{ - x}}$ ,οπότε η

είναι συνεχής στο $\left[ {0,1} \right]$
και παραγωγίσιμη στο $\left( {0,1} \right)$ .Ακόμη είναι $h\left( 0 \right) = g\left( 0 \right){e^{ - 0}} = g\left( 0 \right)$ και $h\left( 1 \right) = g\left( 1 \right){e^{ - 1}}\mathop = \limits^{\left( {g\left( 1 \right) = e.g\left( 0 \right)} \right)} e.g\left( 0 \right){e^{ - 1}} = g\left( 0 \right) = h\left( 0 \right)$ .
Επομένως η

ικανοποιεί τις προυποθέσεις του θ.ROLLE στο $\left[ {0,1} \right]$ ,οπότε υπάρχει ${x_0} \in \left( {0,1} \right)$ τέτοιο ώστε
$h'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {g'\left( {{x_0}} \right) - g\left( {{x_0}} \right)} \right){e^{ - {x_0}}} = 0 \Leftrightarrow g'\left( {{x_0}} \right) = g\left( {{x_0}} \right):\left( a \right)$
Απο την $\left( 2 \right)$ για $x = {x_0}$ έχουμε $f'\left( {g\left( {{x_0}} \right)} \right)g'\left( {{x_0}} \right) = 1\mathop \Rightarrow \limits^{\left( a \right)} f'\left( {g\left( {{x_0}} \right)} \right)g\left( {{x_0}} \right) = 1 \Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} g\left( {{x_0}} \right) \ne 0\\ f'\left( {g\left( {{x_0}} \right)} \right) = \frac{1}{{g\left( {{x_0}} \right)}} \end{array} \right.$
Αρα υπάρχει το $\xi = g\left( {{x_0}} \right) \in R - \left\{ 0 \right\}$ ,τέτοιο ώστε $f'\left( \xi \right) = \frac{1}{\xi }$ .
Σημ.Δεν χρειάστηκε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων.
Ν.Ζ.

math246 · #6

Όντως δε χρειάζεται το σύνολο τιμών!Το έδωσα εκ παραδρομής!

Christos.N · #7

Πραγματικά έχω μπερδευτεί , που ανήκει το $\displaystyle{\xi }$ ;

chris_gatos έγραψε:
math246 έγραψε: να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (0,1) : f ΄(\xi)=1/\xi.$

xr.tsif έγραψε: να δείξετε ότι υπάρχει
ένα τουλάχιστον $\xi$ : $f'(\xi)=\frac{1}{\xi}$ .

#8

Christos.N έγραψε:Πραγματικά έχω μπερδευτεί , που ανήκει το $\displaystyle{\xi }$ ;

chris_gatos έγραψε:
math246 έγραψε: να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (0,1) : f ΄(\xi)=1/\xi.$

xr.tsif έγραψε: να δείξετε ότι υπάρχει
ένα τουλάχιστον $\xi$ : $f'(\xi)=\frac{1}{\xi}$ .

Είδες τι προβλήματα δημιουργούνται από αυτές τις δημοσιεύσεις;
Για το $\xi \in (0,1)$ φταίω εγώ είναι δική μου λανθασμένη προσθήκη, για την ύψωση σε δύναμη ο έτερος Χρήστος. Αυτά για να καταλαβαίνουμε κάποια πράγματα όσον αφορά την αναγκαιότητα ομοιομορφίας αλλά και σωστής ανάγνωσης των δημοσιεύσεων μας.

math246 · #9

Kύριε Κυριαζή νομίζω ότι με το μήνυμα που σας έστειλα καταλάβατε ότι κατάλαβα!Εκτός από το ότι δε θα ξαναποστάρω υπάρχει κάτι άλλο που μπορώ να κάνω, να διορθώσω το λάθος που έκανα, ώστε να μη μου το ξανά επισημάνετε?

#10

math246 έγραψε:Kύριε Κυριαζή νομίζω ότι με το μήνυμα που σας έστειλα καταλάβατε ότι κατάλαβα!Εκτός από το ότι δε θα ξαναποστάρω υπάρχει κάτι άλλο που μπορώ να κάνω, να διορθώσω το λάθος που έκανα, ώστε να μη μου το ξανά επισημάνετε?

Νομίζω πως το καλύτερο όλων είναι αυτό που αναφέρατε. Δηλαδή πως δε θα ξαναποστάρετε τουλάχιστον με αυτόν τον τρόπο. Σας ευχαριστώ.

Όμορφη σε παραγώγους!

Όμορφη σε παραγώγους!

Re: Όμορφη σε παραγώγους!

Re: Όμορφη σε παραγώγους!

Re: Όμορφη σε παραγώγους!

Re: Όμορφη σε παραγώγους!

Re: Όμορφη σε παραγώγους!

Re: Όμορφη σε παραγώγους!

Re: Όμορφη σε παραγώγους!

Re: Όμορφη σε παραγώγους!

Re: Όμορφη σε παραγώγους!

Μέλη σε σύνδεση