Θέμα Β

Giorgos S · #1

Έστω μιγαδικοί αριθμοί z , w

, για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις:

$\bullet$ $\displaystyle |z|^2|z^2-2z+1|=2Re(\bar{z}(z-1))Im(\bar{z}(z-1))$

$\bullet$ $\displaystyle w^2=Im(2Re(w)w)i+c , c>0$ .

B1.

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του

.

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των

και $w^{2}$ .

B3.

Να αποδείξετε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z , w

ισχύει ότι: $\displaystyle |z|-|w| \leq \sqrt{2}-\sqrt{c}$ .

B4.

Έστω

σημείο τομής του γεωμετρικού τόπου του

με αυτόν του

. Αν ο

είναι ακέραιος, να βρείτε το θετικό αριθμό

.

Να υπολογίσετε το $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}(\int_{-1}^{x}{\sqrt{t^{2}-1} dt)}$ .

Edit: Έγινε αλλαγή στα Β3 και Β5

kochris · #2

Για το α ερωτημα

$|z(z-1)|^{2}-2\frac{\bar{z}(z-1)+z(\bar{z}-1)}{2} \frac{\bar{z}(z-1)-z(\bar{z}-1)}{2i} = 0 \rightarrow$

$2i|z(z-1)|^{2}+z^{2}(\bar{z}-1)^{2}-\bar{z}^{2}(z-1)^{2} = 0 \rightarrow$

$2i \bar(z)(z-1)z(\bar{z}-1)+(z(\bar{z}-1))^{2}+(\bar{z}(z-1)i)^{2} = 0 \rightarrow$

$(z(\bar{z}-1)+i\bar{z}(z-1))^{2} = 0 \rightarrow$

$z(\bar{z}-1)+i\bar{z}(z-1) = 0 \rightarrow$

με συντομες πραξεις καταληγουμε...

$x^{2}+y^{2}-x-y = 0 \rightarrow (x-\frac{1}{2})^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}$

ArgirisM · #3

Αλλιώς για το πρώτο:
$|z|^2|z - 1|^2 = 2 Re(\bar{z}(z - 1)) Im(\bar{z}(z - 1)) \Longleftrightarrow |\bar{z}(z - 1)|^2 = 2 Re(\bar{z}(z - 1)) Im(\bar{z}(z - 1)) \Longleftrightarrow [Re(\bar{z}(z - 1))]^2 + [Im(\bar{z}(z - 1))]^2 = 2 Re(\bar{z}(z - 1)) Im(\bar{z}(z - 1)) \Longleftrightarrow [Re(\bar{z}(z - 1)) - Im(\bar{z}(z - 1))]^2 = 0 \Longleftrightarrow Re(\bar{z}(z - 1)) = Im(\bar{z}(z - 1)) \Longleftrightarrow Re(|z|^2 - \bar{z}) = Im(|z|^2 - \bar{z}) \Longleftrightarrow Re(|z|^2) - Re(\bar{z}) = Im(|z|^2) - Im(\bar{z}) \Longleftrightarrow x^2 + y^2 - x = y \Longleftrightarrow (x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$
Άρα η εικόνα του

ανήκει στον κύκλο κέντρου $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ και ακτίνας $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
β) Θέτουμε w = a + bi

και με αντικατάσταση έχουμε:
$a^2 - b^2 + 2abi = Im(2a(a + bi))i + c \Longleftrightarrow a^2 - b^2 + 2abi = 2abi + c \Longleftrightarrow a^2 - b^2 = c$
Η παραπάνω σχέση δείχνει πως η εικόνα του

ανήκει σε ισοσκελή υπερβολή με εστίες $E(\sqrt{2c}, 0) , E'(- \sqrt{2c}, 0)$ . Τώρα για το w^2

, δεδομένου ότι γράφεται w^2 = c + 2abi

και το γινονόμενο

μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή, λογικά ο γεωμετρικός του τόπος είναι η ευθεία x = c

.
γ)Είναι $|z| \le \sqrt{2}$ . Πρέπει να υπολογίσουμε την ελάχιστη τιμή του |w|

. Αυτή λαμβάνεται όταν η εικόνα του

ταυτίζεται με μία από τις κορυφές της υπερβολής, που τότε έχουμε $|w| = \sqrt{c} \Longleftrightarrow |z| - |w| \le \sqrt{2} - \sqrt{c}$ .
Θα επανέλθω αργότερα για το τέταρτο. Όσο για το πέμπτο, επειδή ολοκληρώματα δεν ξέρω, το αφήνω σε όσους τα έχουν ήδη κάνει.
edit: Ελπίζω να μην χρειάζεται τίποτα άλλο...

ArgirisM · #4

Έφτασε και το τέταρτο. Είναι $\frac{1 - \sqrt{2}}{2} \le x \le \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \Longrightarrow 0 \le x \le 1 \Longrightarrow x = 0 \vee x = 1$ . Για x = 0

έχουμε από την εξίσωση του κύκλου $y = 0 \vee y = 1$ , τα οποία όμως εάν τα αντικαταστήσουμε στην εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής δίνουν $c = 0 \vee c = - 1$ , αντίστοιχα (άτοπο αφού c > 0

). Έτσι, για x = 1

προκύπτουν πάλι $y = 0 \vee y = 1$ , τα οποία όμως αυτή τη φορά δίνουν $c = 1 \vee c = 0$ . Απορρίπτουμε τη δεύτερη τιμή λόγω του περιορισμού και προκύπτει τελικά ότι c = 1

.

kochris · #5

ArgirisM έγραψε: β) Θέτουμε και με αντικατάσταση έχουμε:
$a^2 - b^2 + 2abi = Im(2a(a + bi)) + c \Longleftrightarrow a^2 - b^2 + 2abi = 2abi + c$

Το

ισουται με 2ab

Giorgos S · #6

kochris έγραψε:
ArgirisM έγραψε: β) Θέτουμε και με αντικατάσταση έχουμε:
$a^2 - b^2 + 2abi = Im(2a(a + bi)) + c \Longleftrightarrow a^2 - b^2 + 2abi = 2abi + c$
Το ισουται με

έχεις δίκιο, το διόρθωσα

kochris · #7

Μεγαλη προσοχη στις εκφωνησεις!!

ArgirisM · #8

Έγιναν νομίζω οι απαραίτητες διορθώσεις. Συγγνώμη παιδιά αλλά ήδη έχουν αρχίσει να πειράζονται τα νεύρα μου με τις εξετάσεις. Κι είναι ακόμα Οκτώβρης... Ευτυχώς που πλησιάζει 28η και μετα είναι σχετικά σύντομα και το Πολυτεχνείο. Παρ' όλα αυτά είναι σίγουρα εντάξει η εκφώνηση του γ;

Giorgos S · #9

Για το

:

Είναι $\displaystyle 0 \leq |z| \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Επειδή τo |w|

γίνεται ελάχιστο όταν Im(w)=0

, δηλαδή όταν $Re^{2}(w)=c$ , θα έχουμε ότι:

$\displaystyle |w| \geq \sqrt{c} \Rightarrow -|w| \leq -\sqrt{c}$

Άρα $|z|-|w| \leq \frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{c}$ .

#10

Giorgos S έγραψε:Για το :

Είναι $\displaystyle 0 \leq |z| \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Επειδή τo γίνεται ελάχιστο όταν , δηλαδή όταν $Re^{2}(w)=c$ , θα έχουμε ότι:

$\displaystyle |w| \geq \sqrt{c} \Rightarrow -|w| \leq -\sqrt{c}$

Άρα $|z|-|w| \leq \frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{c}$ .

το σωστό είναι $\displaystyle 0 \leq |z| \leq \sqrt{2}$

και μάλλον έχει γίνει κάποια παρατυπία στο ζητούμενο και όπως το έχει ο Αργύρης είναι εντάξει..

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#11

ArgirisM έγραψε:Αλλιώς για το πρώτο:
$|z|^2|z - 1|^2 = 2 Re(\bar{z}(z - 1)) Im(\bar{z}(z - 1)) \Longleftrightarrow |\bar{z}(z - 1)|^2 = 2 Re(\bar{z}(z - 1)) Im(\bar{z}(z - 1)) \Longleftrightarrow [Re(\bar{z}(z - 1))]^2 + [Im(\bar{z}(z - 1))]^2 = 2 Re(\bar{z}(z - 1)) Im(\bar{z}(z - 1)) \Longleftrightarrow [Re(\bar{z}(z - 1)) - Im(\bar{z}(z - 1))]^2 = 0 \Longleftrightarrow Re(\bar{z}(z - 1)) = Im(\bar{z}(z - 1)) \Longleftrightarrow Re(|z|^2 - \bar{z}) = Im(|z|^2 - \bar{z}) \Longleftrightarrow Re(|z|^2) - Re(\bar{z}) = Im(|z|^2) - Im(\bar{z}) \Longleftrightarrow x^2 + y^2 - x = y \Longleftrightarrow (x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$
Άρα η εικόνα του ανήκει στον κύκλο κέντρου $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ και ακτίνας $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
β) Θέτουμε και με αντικατάσταση έχουμε:
$a^2 - b^2 + 2abi = Im(2a(a + bi))i + c \Longleftrightarrow a^2 - b^2 + 2abi = 2abi + c \Longleftrightarrow a^2 - b^2 = c$
Η παραπάνω σχέση δείχνει πως η εικόνα του ανήκει σε ισοσκελή υπερβολή με εστίες $E(\sqrt{2c}, 0) , E'(- \sqrt{2c}, 0)$ . Τώρα για το , δεδομένου ότι γράφεται και το γινονόμενο μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή, λογικά ο γεωμετρικός του τόπος είναι η ευθεία .
γ)Είναι $|z| \le \sqrt{2}$ . Πρέπει να υπολογίσουμε την ελάχιστη τιμή του . Αυτή λαμβάνεται όταν η εικόνα του ταυτίζεται με μία από τις εστίες της υπερβολής, που τότε έχουμε $|w| = \sqrt{2c} \Longleftrightarrow |z| - |w| \le \sqrt{2} - \sqrt{2c}$ .
Θα επανέλθω αργότερα για το τέταρτο. Όσο για το πέμπτο, επειδή ολοκληρώματα δεν ξέρω, το αφήνω σε όσους τα έχουν ήδη κάνει.

...μάλλον με μία από τις κορυφές της υπερβολής θέλεις να πεις που είναι ${A}'(-\sqrt{2},\,\,0),\,\,A(\sqrt{2},\,\,0)$ ....

Βασίλης

Giorgos S · #12

Άλλαξα το Β5 και διόρθωσα το Β3

Giorgos S · #13

Giorgos S έγραψε:
Να υπολογίσετε το $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}(\int_{-1}^{x}{\sqrt{t^{2}-1} dt)}$ .

Η προσέγγιση για το B5.

, αν δεν κάνω κάποιο σοβαρό λάθος

:

Για

ισχύει ότι: $\displaystyle \sqrt{t^2-1} \leq \sqrt{t^2}=|t| \leq |t|^2=t^2$ .

Άρα: $\displaystyle \int_{-1}^{x}{\sqrt{t^2-1}dt} \leq \int_{-1}^{x}{t^2dt}=\frac{x^3}{3}+\frac{1}{3}$ .

Επομένως: $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} (\int_{-1}^{x}{\sqrt{t^2-1}dt}) \leq \lim_{x \rightarrow -\infty} (\frac{x^3}{3}+\frac{1}{3})=-\infty$ .

Άρα $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}(\int_{-1}^{x}{\sqrt{t^{2}-1} dt)}=-\infty$ .

Θέμα Β

Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Μέλη σε σύνδεση