απλή δ.ε.

bboybast · #1

Για την $f:(0,+\infty )$ έχουμε f'(1)=f''(1)=1-f(1)

και $f'(x)+\ln f''(x)=1,\, x>0$ . Να βρεθεί ο τύπος της.

Tolaso J Kos · #2

bboybast έγραψε:Για την $f:(0,+\propto )$ έχουμε και $f'(x)+\ln f''(x)=1,x>0$ .Να βρεθεί ο τύπος της.

Θέτουμε στη δοσμένη x=1

και παίρνουμε (1-f(1))+ln(1-f(1))=1

. Θεωρώ τη συνάρτηση g(u)=u+lnu-1

η οποία είναι γνήσια αύξουσα και έχει ρίζα την u=1

άρα

Έχουμε: $\displaystyle{f'(x)+lnf''(x)=1\Leftrightarrow lnf''(x)=1-f'(x)\Leftrightarrow f''(x)=e^{1-f '(x)}}$ $\displaystyle{\Leftrightarrow e^{f'(x)}f''(x)=e}$ .

Οπότε $\displaystyle{e^{f'(x)}=ex+c}$ . Τώρα για x=1

έχω $\displaystyle{e^{f'(1)}=e+c\Leftrightarrow e^{1-f(1)}=e+c\Leftrightarrow c=0}$ . Οπότε λογαριθμώ και έχω $\displaystyle{f'(x)=lnex=lnx+1}$ .
Άρα f(x)=xlnx-x+x+c_1=xlnx+c_1

όμως

οπότε

άρα

.

Ελπίζω να μην έκανα κανά λάθος

Τόλης

bboybast · #3

Tolaso J Kos · #4

Να δώσω την αιτιολόγηση στο τελευταίο βήμα, για την εύρεση της

. Υπάρχουν αρκετοί τρόποι να το δουλέψει κάποιος, θα δώσω ενδεικτικά έναν:

Είναι f'(x)=lnx+1

οπότε ολοκληρώνοντας έχουμε:
$\displaystyle{\int_{1}^{x}f'(t)dt=\int_{1}^{x}(lnt+1)dt\Leftrightarrow \left [ f(t) \right ]_1^x=\int_{1}^{x}lntdt+\int_{1}^{x}dt}\Leftrightarrow$
$\displaystyle{\Leftrightarrow f(x)-f(1)=\int_{1}^{x}lntdt+\int_{1}^{x}dt\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{f(x)=\int_{1}^{x}(t)'lntdt+\left [ t \right ]_1^x= \left [ tlnt \right ]_1^x-\int_{1}^{x}\frac{t}{t}dt+x-1}\Leftrightarrow$
$\displaystyle{f(x)=xlnx-(x-1)+x-1=xlnx-x+1+x-1=xlnx, \, \, \, x>0}$

απλή δ.ε.

απλή δ.ε.

Re: απλή δ.ε

Re: απλή δ.ε.

Re: απλή δ.ε.

Μέλη σε σύνδεση