Καλοκαιρινή συναρτησιακή 21

#1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση τέτοια ώστε

$\displaystyle{ f(f(x + f(y))) = f(x + y) − f(y + f(x)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

α) Δείξτε ότι δεν υπάρχει γνησίως μονότονη συνάρτηση με την παραπάνω ιδιότητα.

β) Προσδιορίστε όλες τις αύξουσες συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα.

γ) Προσδιορίστε όλες τις φθίνουσες συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα, για τις οποίες επιπλέον υπάρχει $a\in \Bbb{R}$ με $\displaystyle{f(a)=a.}$

δ) Μπορούμε άραγε να προσδιορίσουμε όλες τις φθίνουσες συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα; Δυστυχώς, δεν έχω απάντηση...

Thanasis Tasoulas · #2

Μια λύση για τα α),β) και γ).
α)
$\centerdot$ Έστω

γν. αύξουσα.
$x=y=0:f\left( f\left( f(0) \right) \right)=f(0)-f\left( f(0) \right)$
Έστω $f(0)>0\Rightarrow f\left( f(0) \right)-f(0)>0\Rightarrow f\left( f\left( f(0) \right) \right)<0<f(0)\Rightarrow$
$f\left( f(0) \right)<0<f(0)\Rightarrow f(0)<0$ , άτοπο.
Ομοίως άτοπο αν f(0)<0

, άρα

.
$x=0:f\left( f\left( f(x) \right) \right)=f(x)-f(x)=0=f(0)\overset{f:1-1}{\mathop{\Rightarrow }}\,...\Rightarrow f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$ , άτοπο.
Άρα δεν υπάρχει γν. αύξουσα συνάρτηση.
$\centerdot$ Έστω

γν. φθίνουσα.
Έστω $x<y\Rightarrow f(y)<f(x)\Rightarrow x+f(y)<y+f(x)\Rightarrow f\left( x+f(y) \right)>f\left( y+f(x) \right),(1)$
$\displaystyle{(1)\Rightarrow f\left( f\left( x+f(y) \right) \right)<f\left( f\left( y+f(x) \right) \right)\Rightarrow f(x+y)-f(y+f(x))<f(y+x)-f(x+f(y))\Rightarrow }$ \displaystyle{f\left( x+f(y) \right)<f\left( y+f(x) \right),(2) Από

(1)

(2)

f

x<y\Rightarrow f(x)\le f(y) και

f(x)<f(y)\Rightarrow x<y .
Έστω

f(0)>0\Rightarrow f\left( f(0) \right)-f(0)\ge 0\Rightarrow f\left( f\left( f(0) \right) \right)\le 0<f(0)\Rightarrow

f\left( f(0) \right)<0<f(0)\Rightarrow f(0)<0 , άτοπο.
Ομοίως άτοπο αν

f(0)<0

f(0)=0

x=0:f\left( f\left( f(x) \right) \right)=0,(1)

y=0:2f\left( f(x) \right)=f(x),(2)

(2):x=f(x):f\left( f(x) \right)=0\overset{(2)}{\mathop{\Rightarrow }}\,f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R} , που ικανοποιεί και τα δεδομένα.

γ)

f

x<y\Rightarrow f(y)\le f(x) και

f(x)<f(y)\Rightarrow x>y και

\exists a\in \mathbb{R}:f(a)=a .
Έστω

x<y\Rightarrow f(y)\le f(x)\Rightarrow x+f(y)<y+f(x)\Rightarrow f\left( x+f(y) \right)\ge f\left( y+f(x) \right),(1)

\displaystyle{(1)\Rightarrow f\left( f\left( x+f(y) \right) \right)\le f\left( f\left( y+f(x) \right) \right)\Rightarrow f(x+y)-f(y+f(x))\le f(y+x)-f(x+f(y))\Rightarrow }} $f\left( x+f(y) \right)\le f\left( y+f(x) \right),(2)$
Από (1)

και

$\Rightarrow f\left( x+f(y) \right)=f\left( y+f(x) \right)$ .
Άρα η αρχική γίνεται $f\left( f\left( x+f(y) \right) \right)=f(x+y)-f\left( x+f(y) \right)$ .
$x=0:f\left( f\left( f(x) \right) \right)=f(x)-f\left( f(x) \right)$
$y=a:f\left( f\left( x+a \right) \right)=f(x+a)-f(x+a)=0\overset{x=x-a}{\mathop{\Rightarrow }}\,f\left( f(x) \right)=0$
άρα $f(0)=f(x)-0\Rightarrow f(x)=f(0)=c$ και c=0

από την αρχική άρα $f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$ , που ικανοποιεί και τα δεδομένα.

#3

Μια άλλη λύση στο γ):

Είναι $\displaystyle{f(f(a+f(0)))=f(a+0)-f(0+f(a))=0}$ δηλαδή υπάρχει c:f(c)=0.

Για

έχουμε $\displaystyle{f(0)=f(2c).}$

Όμως, $\displaystyle{0\leq c\leq 2c}$ ή $\displaystyle{0\geq c\geq 2c}$ οπότε $\displaystyle{f(0)\geq f(c)\geq f(2c)}$ ή $\displaystyle{f(0)\leq f(c)\leq f(2c)}$

οπότε $\displaystyle{f(0)\geq 0\geq f(0)}$ ή $f(0)\leq 0\leq f(0)$

και σε κάθε περίπτωση f(0)=0.

Όπως στο β), είναι $f\equiv 0.$

#4

socrates έγραψε:Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση τέτοια ώστε

$\displaystyle{ f(f(x + f(y))) = f(x + y) − f(y + f(x)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

δ) Μπορούμε άραγε να προσδιορίσουμε όλες τις φθίνουσες συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα; Δυστυχώς, δεν έχω απάντηση...

Μπορούμε!

Δείτε μια αντιμετώπιση εδώ:

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=551237

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 21

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 21

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 21

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 21

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 21

Μέλη σε σύνδεση